回転体の比は？？（共立女子中学 2014年）
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上の図は角Ｂが直角な三角形ＡＢＣです。
頂点Ｂから辺ＡＣに下ろした垂線の交点をＨとします。このとき次の問に答えなさい。
（１）ＢＨの長さを求めなさい。
（２）三角形ＡＢＣを辺ＡＣを軸として回転させた立体Ｐ と辺ＡＢを軸として回転させた立体Ｑの体積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
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コメント
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(2)ですが、、最近ではパップス=ギュルダンの知識を中堅校以上の受験生に教えるらしく（私は教育関係者ではないので、、サイトやTwitter等で知ったのですが…）、これを利用すると容易に解けました。。
http://www.fastpic.jp/images.php?file=6275449912.jpg
また、、、この方法だと、三角形の各辺の長さ（比も可）が分かれば、どの辺を軸にしても回転体の体積比がわかるかと。。（詳しく検証していないので、、間違っていたらすみません…）
でも、もし正しければ、、多分、、、このこと自体中学入試では常識なんでしょうね…
ただ、、これだと(1)の誘導問題は完全無視状態です…
投稿: こうへい | 2014年5月 4日 (日) 19時54分
いつも貴重なコメントありがとうございます。
なるほど、こんな定理があったのですね。
重心までの長さの比が辺の長さの逆比になるわけですね。
すみません・・・・・
この比がそのまま回転体の体積比になる過程をもう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
投稿: 管理人 | 2014年5月 6日 (火) 10時15分
パップス＝ギュルタンの定理は、、
回転体の体積 ＝ 回転させたい図形の面積 × 重心が動いた長さ（この問題の場合、重心から軸までの長さを半径とする円周の長さとなります）
となるので、、この問題の場合、どの辺を軸にしても三角形の面積は同じで、、重心が動いた長さは、重心から軸までの距離に比例するので、、最終的に回転体の体積比と同じになるかと。。。
肝心なところの説明を省いて申し訳ございませんでした…
投稿: こうへい | 2014年5月 6日 (火) 18時43分
なるほど・・・
ありがとうございます。
この定理は数Ⅲレベルだそうですね。
確かに塾などでは教えるところもありそうです。
ただ、小学生には「重心」の概念がちょっと難しそうですね。
勉強になりました。
またよろしくお願いします。
投稿: 管理人 | 2014年5月 7日 (水) 07時16分