正三角形をしきつめた平面幾何 （麻布中学 2014年）

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下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。また、下の図で表されるような位置に、点Ｏ，点Ｘ，点Ｙ，直線ＸＹ があります。

点Ｙ を中心にして、直線ＸＹ を反時計回りに ６０度回転させたとき、点Ｘ が移る先の点を Ｚ とします。

（１）点 Ｚ を図１に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた黒丸の近くに Ｚ と書きなさい。

（２）角ＸＯＺ の大きさを答えなさい。

次に、下の図２のような正六角形ＡＢＣＤＥＦ の形をした紙を考え、直線ＢＤ と直線ＣＦ の交点を Ｉ とします。点Ａ と点 Ｉ が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。すると、折り目は２つの辺 ＥＦ，ＡＢ と交わりました。このとき、折り目と辺ＥＦ との交点をＰ，辺ＡＢ との交点をＱ とするとき、次の問に答えなさい。

　　　

（３）ＥＰ と ＰＦ の長さの比、およびＡＱ とＱＢ の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（４）四角形ＡＱＰＦ の面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦ の面積の何倍になりますか。分数で答えなさい。

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