流水算の応用、速さの比 （吉祥女子中学 2013年）

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川の上流にＡ町、中流にＢ町、下流にＣ町があります。Ａ町からＢ町までの川の流れの速さは、Ｂ町からＣ町までの川の流れの速さの２倍です。静水上を一定の速さで進む船が、この川のＡ町とＣ町の間を往復しています。船がＢ町からＣ町へ進む速さと、Ｃ町からＢ町へ進む速さの比は ３ ： ２です。次の文の【　ア　】～【　カ　】に当てはまる整数を答えなさい。

（１）船が静水上を進む速さと、Ｂ町からＣ町までの川の流れの速さの比を最も簡単な整数の比で表すと【　ア　】　：　【　イ　】

（２）船がＡ町からＢ町へ進む速さと、Ｂ町からＡ町へ進む速さの比を最も簡単な整数の比で表すと【　ウ　】　：　【　エ　】

（３）Ａ町とＢ町の間のキョリと、Ｂ町とＣ町の間のキョリが同じとき、船がＡ町とＢ町の間を往復するのにかかる時間と、Ｂ町とＣ町の間を往復するのにかかる時間の比を最も簡単な整数の比で表すと【　オ　】　：　【　カ　】

考え方と解法例はこちらに！

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今年の名作問題、台形の組み合わせ（桐朋中学 2014年）

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上の図１のような台形の形をした２種類のタイルＡ，Ｂ がそれぞれ何枚かずつあります。

これらのタイルを １ｃｍ の辺どうしをぴったりつなげて並べ、

最後のタイルの １ｃｍ の辺が、はじめに並べたタイルの １ｃｍ の辺にぴったりとつながるようにします。

このように並べてできた図形について考えます。

たとえば、下の図２は、Ａ を３枚並べた図形で、下の図３は、Ａ を２枚、Ｂ を２枚並べた図形です。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）Ａ を２枚、Ｂ を６枚並べて図形を作ります。

できた図形の内側の周で囲まれた部分の面積は、図３ の図形の内側の周で囲まれた部分の面積の何倍ですか。

（２）Ａ を４枚、Ｂ を２枚並べて図形を作ります。

できた図形の外側の周の長さは何ｃｍですか。

作図と解法例はこちらに！

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点の移動と面積の変化をグラフで読む！（浅野中学 2011年）

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下の図１のような台形ＡＢＣＤ があります。ＢＣ とＡＤ は平行で、

ＢＣ＝４ｃｍ、ＡＤ＝１０ｃｍ、ＡＢ＝ＣＤ です。

点Ｐ はこの台形の周上を、Ａを出発しＢからＣを通ってＤまで動きます。

点Ｐ の速さは、ＡＢ間は毎秒１ｃｍ、ＢＣ間は毎秒２ｃｍ、ＣＤ間は毎秒５ｃｍ です。

下の図２は点ＰがＡを出発してからの時間と三角形ＡＤＰ の面積の関係を表したグラフです。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

　　　

（１）台形ＡＢＣＤ の面積を求めなさい。

（２）図２の（ア）、（イ）に当てはまる数を求めなさい。

（３）三角形ＡＤＰの面積が台形ＡＢＣＤ の面積の半分になるのは、点ＰがＡを出発してから何秒後と何秒後ですか。

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高校野球、２回戦から出場するチーム数は？（金蘭千里中学 ２011年）

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夏の甲子園、全国高等学校野球選手権大会は、

４９校がトーナメント（勝ち抜き）戦を行います。

２回戦を行う高校が３２校のとき、

２回戦から出場する高等学校数は何校でしょうか？

考え方と解法例はこちらに！

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体積が一番小さくなるのは？（筑波大学附属中学 ２０１２年）

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下の図は、底面が正方形である直方体の展開図です。

長方形ABCDの面積は４２０ｃ㎡です。

この立体の体積が最も小さくなるのは、ABが何cmのときですか。

ただし、各辺の長さは整数で、ABの長さはADの長さよりも長いものとします。

考え方と解法例はこちらに！

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今年出題された相当算（早稲田実業学校中等部 ２０１４年）

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A君はおこづかいを持って買い物に出かけました。

最初に持っていたおこづかいの１/４を使って洋服を買い、

８００円の昼ご飯を食べて、残っていたお金の３/７を使って本を買ったところ、

最初に持っていたおこづかいの１/３が残りました。

最初に持っていたおこづかいはいくらですか。

線分図と解法例はこちらから！

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回転体の体積は？（春日部共栄中学 ２０１４年 改題）

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直角三角形ABCを、

直線（ア）を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

回転体と解法例はこちらに！

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これ、シンプルな良問です！（甲陽学院中学 2010年）

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下の図のような、

ＡＢの長さが１２ｃｍ、ＡＤの長さが４８ｃｍの長方形の紙ＡＢＣＤを、

頂点Ｂと頂点Ｄが重なるように折り、元通り開きました。

折り目の線をＥＦ とするとき、四角形ＢＦＤＥの面積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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グラフを描いて解く、速さ問題（灘中学 2013年）

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Ａ君とＢ君はＰ地点を同時に出発し、Ｐ地点から４２ｋｍはなれたＱ地点に向かいました。

Ａ君は一定の速さで進みました。

また、Ｂ君はＰ地点から２８ｋｍはなれたＭ地点まで一定の速さで進んだのち、

２０分間休み、Ｍ地点から先はそれまでの ３分の１倍の速さで進みました。

Ｂ君がＭ地点を出発して１時間２１分後、Ａ君はＢ君を追い抜き、

その後、Ａ君はＢ君より２０分早くＱ地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｂ君がＭ地点に着いたとき、Ａ君はＢ君の後方何ｋｍ の地点にいましたか。

（２）Ａ君はＰ地点を出発して何時間何分後にＱ地点に着きましたか。

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三角形は五角形の何倍？（東京都市大学付属中学 ２０１４年）

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下の図は、

正三角形ABGと正六角形ＢＣＤＥＦＧを合わせて作った五角形ACDEFです。

ＡＤ、ＡＥがＢＧと交わる点をそれぞれH、Iとするとき、

三角形DIHの面積は、五角形ACDEFの面積の何倍ですか。

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３つの正方形が重なった部分面積比（白百合学園中学 ２０１４年）

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下の図は３つの正方形を重ねたもので、点Eは辺ADのまん中の点です。

アの部分の面積が、イの部分の面積の１/３であるとき、

ウの部分の面積は、正方形ABCDの何分のいくつですか。

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月曜と金曜が４回ある月 （市川中学 2014年）

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ある年の１月には、月曜日と金曜日が、ともに４回ずつあります。

この年の１月２０日は何曜日ですか。

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ぬり分け方の場合の数は？ （甲南中学 2010年）

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下の図のように、円の中に三角形があり、アからエの４つの部分に分けられています。

これらの４つの部分を赤、青、黄の３色のクレヨンを用いて、同じ色がとなりあわないように、ぬり分けます。

このとき、次の問に答えなさい。イ、ウ、エはそれぞれ大きさが異なるものとします。

　　　　　

（１）３色の中から２色を使ってぬり分けると、何通りのぬり方がありますか。

（２）３色すべての色を使ってぬり分けると、何通りのぬり方がありますか。

考え方と解法例はこちらから！

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親の歩数と子供の歩数（白陵中学 2009年）

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ある親子がいっしょに歩くとき、５ｍ あたり ２．７秒かかって、親が６歩で歩くのに対して、子供は８歩で歩きます。親子が別々に歩くとき、親は５ｍあたりの速さも歩数も子供と歩くときと変わりませんが、子供は ３．７秒かかって１０歩で歩きます。この親子が家から公園までの半分のキョリをいっしょに歩き、残り半分を別々に歩いて公園に着いたとき、子供の歩数は親の歩数よりも ７８歩多かったです。このとき、次の問に答えなさい。

（１）家から公園までのキョリは、何 ｍ ですか。

（２）子供が家から公園まで歩くのにかかった時間は何秒ですか。

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今年出題された食塩水問題（武蔵中学 ２０１４年）

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５％の食塩水１００ｇに、３％の食塩水と８％の食塩水を加えて

７％の食塩水６００ｇを作りました。

加えた３％の食塩水と８％の食塩水の重さはそれぞれ何ｇでしたか。

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正三角形をしきつめた平面幾何 （麻布中学 2014年）

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下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。また、下の図で表されるような位置に、点Ｏ，点Ｘ，点Ｙ，直線ＸＹ があります。

点Ｙ を中心にして、直線ＸＹ を反時計回りに ６０度回転させたとき、点Ｘ が移る先の点を Ｚ とします。

（１）点 Ｚ を図１に黒丸で書き入れなさい。また、書き入れた黒丸の近くに Ｚ と書きなさい。

（２）角ＸＯＺ の大きさを答えなさい。

次に、下の図２のような正六角形ＡＢＣＤＥＦ の形をした紙を考え、直線ＢＤ と直線ＣＦ の交点を Ｉ とします。点Ａ と点 Ｉ が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。すると、折り目は２つの辺 ＥＦ，ＡＢ と交わりました。このとき、折り目と辺ＥＦ との交点をＰ，辺ＡＢ との交点をＱ とするとき、次の問に答えなさい。

　　　

（３）ＥＰ と ＰＦ の長さの比、およびＡＱ とＱＢ の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（４）四角形ＡＱＰＦ の面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦ の面積の何倍になりますか。分数で答えなさい。

  図解と解法例はこちらで！

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かけっこの差は何ｍ？（暁星国際中学校 ２０１２年）

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あきお君とたけし君とよしお君の３人が600m競争をしました。

あきお君が１分36秒でゴールに入ったとき、たけし君はゴールまであと24mのところを走っていました。

また、よしお君がゴールに入ったのは、たけし君がゴールに入ってから2.4秒後でした。

あきお君がゴールに入ったとき、よしお君はゴールまで何ｍのところを走っていましたか。

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速さからキョリを求める問題（横浜共立学園中学 2013年）

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Ａ地点とＢ地点の２つの地点があり、自動車ＰはＡ地点からＢ地点へ時速３６ｋｍで走り、自動車ＱはＢ地点からＡ地点へ時速４５ｋｍで走ります。自動車ＰがＡ地点からＢ地点まで行くのにかかる時間と、自動車ＱがＢ地点からＡ地点まで行くのにかかる時間の合計は１時間２４分です。２台の自動車ＰとＱがそれぞれ Ａ地点、Ｂ地点を同時に出発したところ、Ａ地点とＢ地点の間にある Ｃ地点では、自動車Ｐが通りすぎてから自動車Ｑが通りすぎるまでに１分２９秒かかりました。

 このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ地点からＢ地点までのキョリは何ｋｍですか。

（２）自動車ＱがＣ地点を通りすぎたとき、Ｃ地点から自動車Ｐまでのキョリは何ｋｍですか。

（３）Ａ地点からＣ地点までのキョリは何ｋｍですか。

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タイル並べの規則性問題（大妻中学 2013年）

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下の図のように、白、赤、青のタイルを

１行目は 白１枚

２行目は 左から白、赤、青の３枚

３行目は 左から白、赤、青、白、赤の５枚

というように、白、赤、青の順番に並べていきます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１０行目の１番右のタイルは何色ですか。

（２）１行目から１４行目までタイルを並べたとき、青色のタイルは全部で何枚ありますか。

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おうぎ形の上を転がる円 （女子学院中学 2014年）

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下の図のように、半径が１２ｃｍの扇形と、大きさと形が同じである三角定規２枚を組み合わせた図形を作り、壁にぴったりつけました。半径が１ｃｍの円を、図のＡ のところからＢ のところまで、この図形に沿って、はなれないように転がしたとき、この円の通過した部分の面積を求めなさい。

図解と解法例はこちらから！

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できるだけ簡単な計算式で！（須磨学園中学 2011年）

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上の図は１辺１０ｃｍの立方体から、

底面が１辺７ｃｍ の正方形の直方体をくり抜いたものです。

この立体の表面積が ７５４ｃ㎡ のとき、直方体の高さを求めなさい。

計算と解答例はこちらに！

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正方形と半円とおうぎ形（桐光学園中学 ２０１４年）

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図のような正方形と半円、おうぎ形を組み合わせた図形があります。

色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例はこちらで！

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つるかめ算で解く仕事算（浅野中学 ２０１３年）

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A君が１人ですれば12日間かかり、

Ｂ君が１人ですれば18日間かかる仕事があります。

この仕事を、はじめの何日かをＡ君が１人でして、

その後をＡ君とＢ君の２人でしたら、全部で10日間かかりました。

このとき、Ｂ君が仕事をしたのは何日間ですか。

考え方と解法例はこちらから！

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男子の平均点は？（光塩女子学院中等科 ２０１４年）

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男子と女子合わせて40人のクラスで算数のテストをしたところ，

クラスの平均点は70.3点でした。

男子の平均点は女子の平均点より４点だけ高く，

男子の人数は女子の人数より６人多いです。

男子の平均点を求めなさい。

考え方と解法例はこちらに！

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長方形タイルの敷き詰め方は何通り？ （灘中学 2014年）

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２辺の長さが １０ｃｍ、２０ｃｍ の長方形のタイルがたくさんあります。これらのタイルで長方形の壁をすき間がないようにしきつめます。たとえば、縦 ３０ｃｍ、横 ２０ｃｍ の壁の場合、タイルのしきつめ方は、

　　　　

のように、全部で ３通り あります。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）縦 ３０ｃｍ、横 ４０ｃｍ の壁の場合、タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。

（２）縦 ３０ｃｍ、横 ６０ｃｍ の壁の場合、タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。

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名探偵の推理は？（明星中学 2012年）

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Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ の５人のうち、大阪市に住んでいるのは３人で、その３人は北区、中央区、天王寺区に１人ずつ住んでいます。

次の３つの手がかりから、後の問に答えなさい。

 【手がかり】

① Ａ，Ｂ，Ｅ のうち、大阪市に住んでいるのは２人で、その２人のうちの１人は北区に住んでいます。

② Ａ，Ｂ，Ｃ のうち、大阪市に住んでいるのは１人で、その人は中央区に住んでいます。

③ Ｂ，Ｄ，Ｅ のうち、大阪市に住んでいるのは２人で、その２人のうちの１人は天王寺区に住んでいます。

（１）大阪市に住んでいる３人はだれですか。

（２）大阪市の北区、中央区、天王寺区に住んでいる人をそれぞれ答えなさい。

名探偵の推理による解法例はこちらで！

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全国１３５中学校の入試算数問題にチャレンジ！

これが中学入試に出た図形問題！

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今年の入試問題から、和差算と平均算（桐朋中学 ２０１４年）

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Ａ君，Ｂ君，Ｃ君の３人が算数のテストを受たところ，

３人の得点の合計は228点でした。

Ａ君の得点はＢ君の得点より18点高く，

Ａ君とＢ君の平均点はＣ君の得点と同じでした。

Ａ君の得点は何点でしたか。

考え方と解法例はこちらに！

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数字とアルファベットの並べ方は何通り？（フェリス女学院中学 2014年）

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次の【約束１】、【約束２】をまもって、０から９までの１０種類の数字と何種類かのアルファベットを合わせた中から３種類を横一列に並べます。

【約束１】　同じ数字やアルファベットをくりかえし使ってもよいです。

【約束２】　数字だけを３個並べたり、アルファベットだけを３個並べたりしてはいけません。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）アルファベットがＡ，Ｂ，Ｃ の３種類のとき、並べかたは何通りありますか。

（２）アルファベットが＜　ア　＞種類のとき、並べかたは５０００通り以上あります。

＜　ア　＞にあてはまる数のうち最も小さい数を求めなさい。

考え方と解法例はこちらに！

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３つの荷物の重さは？（早稲田実業学校中等部 ２０１４年）

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３つの荷物があります。

２つずつ重さを量ったら，155g，270g，365gでした。

３つの荷物の中で２番目に軽い荷物の重さは何ｇですか。

考え方と解法例はこちらに！

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