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2014年12月31日 (水)

直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

考え方と解法例はこちらに!

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