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2014年12月

2014年12月31日 (水)

直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月30日 (火)

ぬり分け方は何通り? (大妻中学 2014年)

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Pic_4124q

上の図の5つの部分を赤、白、黄 の3色でぬり分けます。

 

ぬり分け方は全部で何通りですか。

ただし、となり合う部分どうしは同じ色にならないようにします。

考え方と解法例はこちらで!

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2014年12月29日 (月)

2015年の海陽中等教育学校入試問題から、3□1□2□4□5=?

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下のように1から5までの5つの数を3、1、2、4、5の順に並べて計算式を作ります。

3□1□2□4□5=?

□には+、-、×、÷ がそれぞれ1度ずつ入ります。

(1)+、-、×、÷ がこの順番に入ったときの計算結果はいくつですか。

(2)計算結果が9/5になるような入れ方を1つ答えなさい。

(3)計算結果が9/2になるような入れ方をひとつ答えなさい。

(4)一番大きい数になるような入れ方を答えなさい。

Bo3

答えはこちらに!

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2014年12月28日 (日)

□に入る数は?(慶應義塾普通部 2009年)

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次の計算式の□に入る数を答えなさい。

    2+4+6+8+・・・+48+50=□×□+□ 

 

 □には同じ数が入ります。

Question153729_150

解法例はこちらに!

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2014年12月27日 (土)

点の移動による面積変化は?(フェリス女学院中学 2013年)

<

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Pic_3582q

上の図のような長方形ABCD があります。

点P は点A を出発し一定の速さで辺AB上をA → B → A の順に動きます。

点Qは、点A を出発し辺AD と直線PQ が平行であるように A → C → Dの順に動きます。

また、点R は四角形APQR が長方形となるような点です。

点P が点A を出発してから 30秒後の長方形APQR の周の長さが 35cm のとき、

次の問に答えなさい。

(1)点Pが点Aを出発して30秒後の長方形APQRの面積を求めなさい。 

(2)点P の速さは毎秒何cmですか。

(3)長方形APQR の面積が長方形ABCD の面積の 4/9倍になるのは、点Pが点A を出発して何秒後と何秒後ですか。

(4)点Pが点A を出発して点Bに着くまでの途中のある30秒間で長方形APQR の面積は 435c㎡ だけ増加します。

それは点Pが点A を出発してから何秒後からの30秒間ですか。

考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月26日 (金)

この立体図形の体積は?(世田谷学園中学 2014年)

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Pic_4121q

上の図は、1辺の長さが12cmの立方体です。

(1)4つの頂点A,C,F,H を結んでできる立体の体積を求めなさい。

(2)立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに!

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2014年12月25日 (木)

角ア、イ、ウの大きさは?(女子学院中学 2013年)

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Pic_3280q

上の図のように、正五角形の中に正方形ABCD と正三角形BEFがあります。

このとき、角ア、イ、ウの大きさを求めなさい。

図解と解法例はこちらに!

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2014年12月24日 (水)

平行四辺形が回転すると・・・(高槻中学 2012年) 

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直線Lと直線Mは垂直に交わっています。

また、下の図のように 平行四辺形ABCD があります。

このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3207q

(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させてできる立体Pの体積を求めなさい。

 (2)平行四辺形ABCDを直線Lのまわりに1回転させてできる立体Qと立体Pの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

図解と解法例はこちらに!

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2014年12月23日 (火)

仕事算の応用! (聖光学院中学 2014年)

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聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに取り組みます。

聖さんだけで仕事A を終わらせるには60分、仕事B を終わらせるには80分かかり、

光さんだけで仕事A を終わらせるには100分、

仕事B を終わらせるには120分かかります。

いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに同時に取り組み始めました。

規則1 1つの仕事に2人で同時に取り組むことはできない。

規則2 仕事が2つとも残っているときには、2人ともどちらかに取り組む

規則3 仕事が1つだけ残っているときには、2人のうちどちらかが取り組む

規則4 仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることができる

このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる時間は考えないものとします。

(1)仕事A を終わらせるのにかかった時間が70分だったとすると、聖さんが仕事A に取り組んだ時間は何分ですか。

また、2人が仕事を始めてから仕事B を終わらせるまでにかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。

(2)仕事A,Bを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事Aに取り組んでいた時間は何分ですか。

また、仕事が終わったのは、2人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。

Question153729_150

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2014年12月22日 (月)

受付のニュートン算(桜蔭中学 2012年)

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ある学校では、文化祭を2日間行いました。

2日とも、入場開始前の受付に、すでに長い列ができていて、

入場開始後は5分ごとに100人の入場希望者が列に加わっていきました。

1日目は受付の数を7ヵ所にしたところ、

入場開始から45分後に列に並んでいる人は10人になりました。

2日目は入場開始前の列が1日目よりも25人多かったので、

受付の数を8ヵ所にしたところ、

入場開始からちょうど20分後に列に並んでいる人がいなくなりました。

どの受付場所でも、5分ごとに受付のできる人数は同じです。 

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1ヵ所の受付場所で5分ごとに何人の受付ができましたか。

(2)2日目の入場開始前に列に並んでいた人は何人ですか。

Ilm07_ca19016s

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2014年12月20日 (土)

この立体図形と展開図の関係は?(渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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辺の長さが等しい正方形と正三角形があります。 

この正方形6個と正三角形8個を組み合わせて、

下の図1のような展開図になる図2のような立体を作りました。

     Pic_4110q

Pic_4111q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の辺の数を答えなさい。

(2)この立体を正方形ABCDの真上から見たときの図を描きなさい。

(3)この展開図から立体を作ったとき、図1の展開図で点P と重なる点すべてに○印をつけなさい。

(4)正方形1個の面積が18c㎡ のとき、この立体の体積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに!

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2014年12月19日 (金)

移動する点の規則性は?(開成中学 2008年) 

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1辺5cmの正五角形ABCDEがあります。

下の図1のように正五角形の各頂点、およびそれぞれの辺に頂点から1cmずつ印がついています。

いま、25個ある印のうち、点E  には黒丸を置き、それ以外の5ヶ所に白丸を置きます。

白丸は正五角形の周上を反時計回りに秒速1cmで動きます。

また、黒丸は正五角形の対角線上をE → B → D → A → C →  E → B → ・・・  の順で3秒ごとに次の頂点に着くように、一定の速さで動きます。

黒丸と白丸が同時に動き出し、黒丸と白丸が重なると、その白丸が消えます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)動き出して15秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方を下の図2に書きこみなさい。

(2)動き出してからちょうど18秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方は何通りありますか。

(3)下の図3のように、白丸が5個連続でならんでいる(白丸の間に印または黒丸がない)ような置き方を考えます。

このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる時間が最も短い場合の白丸の置き方の例を図2に書きこみ、そのときにかかる時間を答えなさい。

図解と解法例はこちらに!

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2014年12月18日 (木)

角度は? (須磨学園中学 2011年) 

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下の図において、太線2本は平行です。

図の角あの大きさを求めなさい。

    Pic_3964q_2

図解と解答例はこちらで!

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2014年12月17日 (水)

何個の奇数がある?(鎌倉学園中学 2014年) 

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次のように奇数がグループに分けられています。

 第1グループ : 1

 第2グループ : 3,5

 第3グループ : 7,9,11,13

 第4グループ : 15,17,19,21,23,25,27,29

 第5グループ : 31,33,35,・・・

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)第10グループには、何個の奇数がありますか。

(2)145は第何グループの小さい方から何番目の奇数ですか。

(3)第10グループに含まれるすべての奇数の和を求めなさい。

Question153729_150



考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月16日 (火)

何段、何列?(愛知淑徳中学 2014年) 

 

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Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って1から16までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

(1)2段の8列にある数はいくつですか。

(2)98は何段の何列にありますか。

規則性と解法例はこちらに!

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2014年12月15日 (月)

数の並べ方は?(学習院中等科 2010年) 

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4けたの整数のある位の数を1つ消し、

その位をつめて3けたの整数を作ったところ、101になりました。

このとき次の問に答えなさい。

(1)この数になる4けたの整数のうち、最も小さいものはいくつですか。

(2)この数になる4けたの整数は全部で何個ありますか。

(3)この数になる4けたの整数を全部足すといくつですか。

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2014年12月13日 (土)

2人が出会うのはいつ?(灘中学 2014年)

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東西方向にまっすぐな道があり、西から順にA地点、B地点、C地点があります。

この道を太郎君と花子さんが歩きます。

太郎君と花子さんの歩く速さは一定で、その比は 3 : 4 です。

また、太郎君は15分歩くたびに2分休むことをくり返し、

花子さんは8分歩くたびに1分休むことをくり返します。

太郎君がA地点からB地点に、

花子さんがB地点からA地点に向かって同時に歩き始めると、

10分後に初めて2人は出会います。

また、太郎君がA地点からC地点に、

花子さんがC地点からA地点に向かって同時に歩き始めると

20分後に初めて2人は出会います。

BC区間のキョリは1500m です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)太郎君、花子さんの歩く速さは毎分何 m ですか。

   また、AB区間のキョリは何 m ですか。

(2)太郎君はA地点を、花子さんはB地点を同時に出発して歩き始め、

     AB区間を1往復します。2回目に2人が出会うのは、

     歩き始めて何分後で、このとき2人はA地点から何 m の地点にいますか。

Aruki_2Ilm19_aa01022s


考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月12日 (金)

立体図形の切り口は?(駒場東邦中学 2014年)

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下の図のような 1辺の長さが 2cm の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。

     Pic_4022q

この立方体を3点A,C,F を通る平面と、

3点A,C,H を通る平面で切って、面EFGH を含む方を1つ目の立体とします。

2つ目の立体は、この立方体を3点A,C,F を通る平面、3点A,C,Hを通る平面、

3点B,D,E を通る平面と3点B,D,G を通る平面で切って、

面EFGH を含む方の立体とします。

角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められるものとして、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)1つ目の立体の体積を求めなさい。

 

(2)2つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。

たとえば、1つ目の立体は展開図が下の図2のようになるので、

 

【正方形1つ、正三角形2つ、直角二等辺三角形4つ】 となります。

   Pic_4023q

(3)1つ目の立体の表面積から、2つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。

図解と解法例はこちらで!

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2014年12月10日 (水)

網目部分の面積は?(城北中学 2014年)

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図は半径6cmの円を4等分した図形で、

点.Pは半径OAを2等分した点、点Qは弧ABを3等分した点の1つです。

このとき、網目部分の面積は何c㎡ですか。

2


図解と解法例はこちらに!

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2014年12月 9日 (火)

直角三角形内の正方形の数は?(愛知淑徳中学 2010年)

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たくさんの正方形のタイルを縦、横に並べて大きな長方形を作ります。

次に、この長方形の縦、横の辺と対角線で大きな直角三角形を1つ作ります。

最後に、この大きな直角三角形に含まれるタイルの個数を数えます。

たとえば、下の図のように、縦4個、横6個のタイルを並べると、

大きな直角三角形とは太線の三角形で、含まれるタイルの個数は、8個です。

     Pic_2558q

では、タイルを縦に21個、横に51個並べて長方形を作ったとき、

直角三角形に含まれるタイルの個数を求めなさい。

考え方と解法2例はこちらで!

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2014年12月 8日 (月)

正三角形と円の重なり(白百合学園中学 2014年)

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図のように直径が12cmの円と1辺の長さが12cmの正三角形があります。

斜線部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

1

図解と面積計算はこちら!

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2014年12月 7日 (日)

色のついた三角形の面積は?(浅野中学 2014年)

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図の三角形ABCにおいて、AD:DB=5:2、AE:EC=3:2、

BEとCDの交わった点をFとします。

三角形ABCの面積が10c㎡であるとき、

三角形CEFの面積は何c㎡ですか。

1

考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月 6日 (土)

体積と表面積は?(神戸海星女子学院中学 2010年) 

 

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Pic_4095q

上の3つの図は、1辺の長さが1cmの立方体をすき間なく積み重ねてできた立体を、

真正面から見た図1、真横から見た図2、真上から見た図3 です。

このように見える立体は何通りかありますが、

そのうち体積が最も小さい立体の体積と表面積を求めなさい。

図と解法例はこちらに!

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2014年12月 5日 (金)

子供の人数は?(関西学院中学部 2012年)

大人と子供が合わせて66人で動物円に行きました。

入場料の合計は33900円でした。

もし大人と子供の人数が逆になると、43980円になります。

大人一人の入場料は800円です。このとき、子供の人数を求めなさい。

Ilm13_bb12015s

図解と解法例はこちらに!

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2014年12月 4日 (木)

色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

考え方と解法例はこちらに!

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2014年12月 3日 (水)

長方形を正方形に切り分けると・・・(筑波大学附属駒場中学 2003年)

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長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横5cm、たて 3cmの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように4個の正方形になります。このうち2個だけは同じ大きさです。

 

このとき、次の問に答えなさい。

1

(1)面積が56c㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

(2)ある長方形の紙は 6個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

(3)ある長方形の紙は14個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

考え方と解法例はこちらで!

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2014年12月 2日 (火)

出会った時間は?(高槻中学 2012年)

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兄弟が2つの地点AとBの間を散歩します。

兄はA地点から出発し、B地点で折り返してA地点に戻ってきます。

弟はB地点から出発し、A地点で折り返してB地点に戻ってきます。

2人はそれぞれの地点から同時に出発し、出発してから44分後に初めて出会いました。

折り返した後、再び出会い、そのあと同時に元の地点に戻りました。

兄は行きも帰りも同じ速さでしたが、弟の帰りの速さは行きの速さの 2/3 でした。

このとき次の問に答えなさい。

(1)兄と弟の行きの速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)2人が元の地点に戻ったのは出発してから何時間何分後ですか。

(3)2人が2回目に出会うのは出発してから何時間何分後ですか。

9221
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2014年12月 1日 (月)

何度の目盛りと重なってる?(青山学院中等部 2013年)

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図1のような分度器が3枚あり、それぞれをア、イ、ウとします。

図2は、アの143度の目盛りとイの96度の目盛りを合わせて重ねた図です。

図3は、さらにこの上にイの18度の目盛りとウの92度の目盛りを

合わせて重ねた図です。

アの0度の目盛りはウの何度の目盛りと重なり合っていますか。

1_2

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