直角三角形が増える規則性は？（筑波大学附属駒場中学 2005年）

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア：直角三角形の１つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ：つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ：つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が２つの直角三角形の辺になっているときは

その２つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

---------------------------------------------

上の操作を１回と数え、下の図の三角形ＡＢＣを分割してできた直角三角形に、

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、１回目の操作を行うと、図１、図２のように、

４個、３個の直角三角形に分割されます。

また、図１に対して２回目の操作を行うと、

たとえば、図３、図４のように８個、１０個の直角三角形に分割されます。

さらに３回目の操作を行うと、

たとえば図５、図６のように１０個、１３個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）操作を３回行ったとき、直角三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつありました。

直角三角形ＡＢＣは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

（２）操作を１０回行ったとき、直角三角形ＡＢＣの辺上にある印は １個だけでした。

直角三角形ＡＢＣは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

（３）操作を５０回行ったとき、辺ＡＣ上にある印は１０個でした。

直角三角形ＡＢＣは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

考え方と解法例はこちらに！

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ぬり分け方は何通り？ （大妻中学 2014年）

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上の図の５つの部分を赤、白、黄 の３色でぬり分けます。

ぬり分け方は全部で何通りですか。

ただし、となり合う部分どうしは同じ色にならないようにします。

考え方と解法例はこちらで！

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２０１５年の海陽中等教育学校入試問題から、３□１□２□４□５＝？

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下のように１から５までの５つの数を３、１、２、４、５の順に並べて計算式を作ります。

３□１□２□４□５＝？

□には＋、－、×、÷　がそれぞれ１度ずつ入ります。

（１）＋、－、×、÷　がこの順番に入ったときの計算結果はいくつですか。

（２）計算結果が９/５になるような入れ方を１つ答えなさい。

（３）計算結果が９/２になるような入れ方をひとつ答えなさい。

（４）一番大きい数になるような入れ方を答えなさい。

答えはこちらに！

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□に入る数は？（慶應義塾普通部 2009年）

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次の計算式の□に入る数を答えなさい。

　　　　２＋４＋６＋８＋・・・＋４８＋５０＝□×□＋□　

　□には同じ数が入ります。

解法例はこちらに！

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点の移動による面積変化は？（フェリス女学院中学 2013年）

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上の図のような長方形ＡＢＣＤ があります。

点Ｐ は点Ａ を出発し一定の速さで辺ＡＢ上をＡ → Ｂ → Ａ の順に動きます。

点Ｑは、点Ａ を出発し辺ＡＤ と直線ＰＱ が平行であるように Ａ → Ｃ → Ｄの順に動きます。

また、点Ｒ は四角形ＡＰＱＲ が長方形となるような点です。

点Ｐ が点Ａ を出発してから ３０秒後の長方形ＡＰＱＲ の周の長さが ３５ｃｍ のとき、

次の問に答えなさい。

（１）点Ｐが点Ａを出発して３０秒後の長方形ＡＰＱＲの面積を求めなさい。 

（２）点Ｐ の速さは毎秒何ｃｍですか。

（３）長方形ＡＰＱＲ の面積が長方形ＡＢＣＤ の面積の ４/９倍になるのは、点Ｐが点Ａ を出発して何秒後と何秒後ですか。

（４）点Ｐが点Ａ を出発して点Ｂに着くまでの途中のある３０秒間で長方形ＡＰＱＲ の面積は ４３５ｃ㎡ だけ増加します。

それは点Ｐが点Ａ を出発してから何秒後からの３０秒間ですか。

考え方と解法例はこちらに！

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この立体図形の体積は？（世田谷学園中学 2014年）

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上の図は、１辺の長さが１２ｃｍの立方体です。

（１）４つの頂点Ａ，Ｃ，Ｆ，Ｈ を結んでできる立体の体積を求めなさい。

（２）立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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角ア、イ、ウの大きさは？（女子学院中学 2013年）

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上の図のように、正五角形の中に正方形ＡＢＣＤ と正三角形ＢＥＦがあります。

このとき、角ア、イ、ウの大きさを求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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平行四辺形が回転すると・・・（高槻中学 2012年）

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直線Ｌと直線Ｍは垂直に交わっています。

また、下の図のように 平行四辺形ＡＢＣＤ があります。

このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｍのまわりに１回転させてできる立体Ｐの体積を求めなさい。

 （２）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体Ｑと立体Ｐの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

図解と解法例はこちらに！

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仕事算の応用！ （聖光学院中学 2014年）

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聖さん、光さんが２つの仕事Ａ，Ｂに取り組みます。

聖さんだけで仕事Ａ を終わらせるには６０分、仕事Ｂ を終わらせるには８０分かかり、

光さんだけで仕事Ａ を終わらせるには１００分、

仕事Ｂ を終わらせるには１２０分かかります。

いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが２つの仕事Ａ，Ｂに同時に取り組み始めました。

規則１　１つの仕事に２人で同時に取り組むことはできない。

規則２　仕事が２つとも残っているときには、２人ともどちらかに取り組む

規則３　仕事が１つだけ残っているときには、２人のうちどちらかが取り組む

規則４　仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることができる

このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる時間は考えないものとします。

（１）仕事Ａ を終わらせるのにかかった時間が７０分だったとすると、聖さんが仕事Ａ に取り組んだ時間は何分ですか。

また、２人が仕事を始めてから仕事Ｂ を終わらせるまでにかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。

（２）仕事Ａ，Ｂを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事Ａに取り組んでいた時間は何分ですか。

また、仕事が終わったのは、２人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。

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受付のニュートン算（桜蔭中学 2012年）

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ある学校では、文化祭を２日間行いました。

２日とも、入場開始前の受付に、すでに長い列ができていて、

入場開始後は５分ごとに１００人の入場希望者が列に加わっていきました。

１日目は受付の数を７ヵ所にしたところ、

入場開始から４５分後に列に並んでいる人は１０人になりました。

２日目は入場開始前の列が１日目よりも２５人多かったので、

受付の数を８ヵ所にしたところ、

入場開始からちょうど２０分後に列に並んでいる人がいなくなりました。

どの受付場所でも、５分ごとに受付のできる人数は同じです。 

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１ヵ所の受付場所で５分ごとに何人の受付ができましたか。

（２）２日目の入場開始前に列に並んでいた人は何人ですか。

考え方と解法例はこちらに！

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この立体図形と展開図の関係は？（渋谷教育学園渋谷中学 ２０１４年）

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辺の長さが等しい正方形と正三角形があります。 

この正方形６個と正三角形８個を組み合わせて、

下の図１のような展開図になる図２のような立体を作りました。

　　　　　

このとき、次の問に答えなさい。

（１）この立体の辺の数を答えなさい。

（２）この立体を正方形ＡＢＣＤの真上から見たときの図を描きなさい。

（３）この展開図から立体を作ったとき、図１の展開図で点Ｐ と重なる点すべてに○印をつけなさい。

（４）正方形１個の面積が１８ｃ㎡ のとき、この立体の体積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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移動する点の規則性は？（開成中学 2008年）

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１辺５ｃｍの正五角形ＡＢＣＤＥがあります。

下の図１のように正五角形の各頂点、およびそれぞれの辺に頂点から１ｃｍずつ印がついています。

いま、２５個ある印のうち、点Ｅ  には黒丸を置き、それ以外の５ヶ所に白丸を置きます。

白丸は正五角形の周上を反時計回りに秒速１ｃｍで動きます。

また、黒丸は正五角形の対角線上をＥ → Ｂ → Ｄ → Ａ → Ｃ →  Ｅ → Ｂ → ・・・  の順で３秒ごとに次の頂点に着くように、一定の速さで動きます。

黒丸と白丸が同時に動き出し、黒丸と白丸が重なると、その白丸が消えます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）動き出して１５秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方を下の図２に書きこみなさい。

（２）動き出してからちょうど１８秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方は何通りありますか。

（３）下の図３のように、白丸が５個連続でならんでいる（白丸の間に印または黒丸がない）ような置き方を考えます。

このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる時間が最も短い場合の白丸の置き方の例を図２に書きこみ、そのときにかかる時間を答えなさい。

図解と解法例はこちらに！

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角度は？ （須磨学園中学 2011年）

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下の図において、太線２本は平行です。

図の角あの大きさを求めなさい。

　　　　

図解と解答例はこちらで！

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何個の奇数がある？（鎌倉学園中学 2014年）

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次のように奇数がグループに分けられています。

　第１グループ　：　１

　第２グループ　：　３，５

　第３グループ　：　７，９，１１，１３

　第４グループ　：　１５，１７，１９，２１，２３，２５，２７，２９

　第５グループ　：　３１，３３，３５，・・・

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このとき、次の問に答えなさい。

（１）第１０グループには、何個の奇数がありますか。

（２）１４５は第何グループの小さい方から何番目の奇数ですか。

（３）第１０グループに含まれるすべての奇数の和を求めなさい。

考え方と解法例はこちらに！

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何段、何列？（愛知淑徳中学 2014年）

　

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上の表は、ある決まりに従って１から１６までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

（１）２段の８列にある数はいくつですか。

（２）９８は何段の何列にありますか。

規則性と解法例はこちらに！

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数の並べ方は？（学習院中等科 2010年）

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４けたの整数のある位の数を１つ消し、

その位をつめて３けたの整数を作ったところ、１０１になりました。

このとき次の問に答えなさい。

（１）この数になる４けたの整数のうち、最も小さいものはいくつですか。

（２）この数になる４けたの整数は全部で何個ありますか。

（３）この数になる４けたの整数を全部足すといくつですか。

考え方と解法例はこちらに！

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２人が出会うのはいつ？（灘中学 2014年）

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東西方向にまっすぐな道があり、西から順にＡ地点、Ｂ地点、Ｃ地点があります。

この道を太郎君と花子さんが歩きます。

太郎君と花子さんの歩く速さは一定で、その比は ３ ： ４ です。

また、太郎君は１５分歩くたびに２分休むことをくり返し、

花子さんは８分歩くたびに１分休むことをくり返します。

太郎君がＡ地点からＢ地点に、

花子さんがＢ地点からＡ地点に向かって同時に歩き始めると、

１０分後に初めて２人は出会います。

また、太郎君がＡ地点からＣ地点に、

花子さんがＣ地点からＡ地点に向かって同時に歩き始めると

２０分後に初めて２人は出会います。

ＢＣ区間のキョリは１５００ｍ です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）太郎君、花子さんの歩く速さは毎分何 ｍ ですか。

　　 また、ＡＢ区間のキョリは何 ｍ ですか。

（２）太郎君はＡ地点を、花子さんはＢ地点を同時に出発して歩き始め、

     ＡＢ区間を１往復します。２回目に２人が出会うのは、

     歩き始めて何分後で、このとき２人はＡ地点から何 ｍ の地点にいますか。

考え方と解法例はこちらに！

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立体図形の切り口は？（駒場東邦中学 2014年）

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下の図のような １辺の長さが ２ｃｍ の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。

　　　　　

この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面と、

３点Ａ，Ｃ，Ｈ を通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む方を１つ目の立体とします。

２つ目の立体は、この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面、３点Ａ，Ｃ，Ｈを通る平面、

３点Ｂ，Ｄ，Ｅ を通る平面と３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切って、

面ＥＦＧＨ を含む方の立体とします。

角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で求められるものとして、次の問に答えなさい。

（１）１つ目の立体の体積を求めなさい。

（２）２つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。

たとえば、１つ目の立体は展開図が下の図２のようになるので、

【正方形１つ、正三角形２つ、直角二等辺三角形４つ】 となります。

　　　

（３）１つ目の立体の表面積から、２つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。

図解と解法例はこちらで！

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網目部分の面積は？（城北中学 ２０１４年）

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図は半径６ｃｍの円を４等分した図形で、

点.Pは半径ＯＡを２等分した点、点Ｑは弧ＡＢを３等分した点の１つです。

このとき、網目部分の面積は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例はこちらに！

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直角三角形内の正方形の数は？（愛知淑徳中学 2010年）

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たくさんの正方形のタイルを縦、横に並べて大きな長方形を作ります。

次に、この長方形の縦、横の辺と対角線で大きな直角三角形を１つ作ります。

最後に、この大きな直角三角形に含まれるタイルの個数を数えます。

たとえば、下の図のように、縦４個、横６個のタイルを並べると、

大きな直角三角形とは太線の三角形で、含まれるタイルの個数は、８個です。

　　　　　

では、タイルを縦に２１個、横に５１個並べて長方形を作ったとき、

直角三角形に含まれるタイルの個数を求めなさい。

考え方と解法２例はこちらで！

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正三角形と円の重なり（白百合学園中学 ２０１４年）

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図のように直径が１２ｃｍの円と１辺の長さが１２ｃｍの正三角形があります。

斜線部分の面積を求めなさい。円周率は３．１４とします。

図解と面積計算はこちら！

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色のついた三角形の面積は？（浅野中学 ２０１４年）

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図の三角形ＡＢＣにおいて、ＡＤ：ＤＢ＝５：２、ＡＥ：ＥＣ＝３：２、

ＢＥとＣＤの交わった点をＦとします。

三角形ＡＢＣの面積が１０ｃ㎡であるとき、

三角形ＣＥＦの面積は何ｃ㎡ですか。

考え方と解法例はこちらに！

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体積と表面積は？（神戸海星女子学院中学 2010年）

　

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上の３つの図は、１辺の長さが１ｃｍの立方体をすき間なく積み重ねてできた立体を、

真正面から見た図１、真横から見た図２、真上から見た図３ です。

このように見える立体は何通りかありますが、

そのうち体積が最も小さい立体の体積と表面積を求めなさい。

図と解法例はこちらに！

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子供の人数は？（関西学院中学部 2012年）

大人と子供が合わせて６６人で動物円に行きました。

入場料の合計は３３９００円でした。

もし大人と子供の人数が逆になると、４３９８０円になります。

大人一人の入場料は８００円です。このとき、子供の人数を求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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色のついた部分の面積合計は？（大阪星光学院中学 2012年）

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下の図のように、点Ｏを中心、ＡＢを直径とする半径６ｃｍの円があります。

角ＣＯＤ＝６０°、角ＥＯＦ＝１２０°、角ＧＯＨ＝９０°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

　　

考え方と解法例はこちらに！

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長方形を正方形に切り分けると・・・（筑波大学附属駒場中学 2003年）

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長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横５ｃｍ、たて ３ｃｍの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように４個の正方形になります。このうち２個だけは同じ大きさです。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）面積が５６ｃ㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

（２）ある長方形の紙は ６個の正方形に切り分けられ、そのうち２個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の２辺の長さを求めなさい。

（３）ある長方形の紙は１４個の正方形に切り分けられ、そのうち２個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の２辺の長さを求めなさい。

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出会った時間は？（高槻中学 2012年）

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兄弟が２つの地点ＡとＢの間を散歩します。

兄はＡ地点から出発し、Ｂ地点で折り返してＡ地点に戻ってきます。

弟はＢ地点から出発し、Ａ地点で折り返してＢ地点に戻ってきます。

２人はそれぞれの地点から同時に出発し、出発してから４４分後に初めて出会いました。

折り返した後、再び出会い、そのあと同時に元の地点に戻りました。

兄は行きも帰りも同じ速さでしたが、弟の帰りの速さは行きの速さの ２/３ でした。

このとき次の問に答えなさい。

（１）兄と弟の行きの速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）２人が元の地点に戻ったのは出発してから何時間何分後ですか。

（３）２人が２回目に出会うのは出発してから何時間何分後ですか。

考え方と解法例はこちらに！

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何度の目盛りと重なってる？（青山学院中等部 ２０１３年）

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図１のような分度器が３枚あり、それぞれをア、イ、ウとします。

図２は、アの１４３度の目盛りとイの９６度の目盛りを合わせて重ねた図です。

図３は、さらにこの上にイの１８度の目盛りとウの９２度の目盛りを

合わせて重ねた図です。

アの０度の目盛りはウの何度の目盛りと重なり合っていますか。

解法例と答えはこちらに！

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