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2015年1月

2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

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図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmでPQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

0

図解と解法例はこちらに!

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2015年、神戸女学院中学部の出題問題より 円と正方形

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Pic_4154q_2

上の図は、1辺12cm の正方形と半径12cmの円一部を組み合わせたものです。

次の問に答えなさい。

(1)図の色の付いた部分の周りの長さの和を求めなさい。

(2)図の色の付いた部分の面積の和を求めなさい。

図解と解法例はこちらに!

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2015年、開智中学の問題から、大きい方の面積は?

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図のように、側面がすべて合同な二等辺三角形の正五角すいがあります。

点Aから正五角すいの側面を最も短い道のりで1周して点Aにもどる折れ線で、

側面を2つの部分に分けます。

2つの部分のうち、大きい方の面積は何c㎡ですか。

1

図解と解法例はこちらに!

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2015年、浦和明の星女子中学の問題から、「面の数」はいくつ?

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図1のような立体があります。この立体のアからクの各頂点に,1,2,3,4,5,6,7,8の整数から,1個ずつ異なる整数をあてはめます。このとき,AからFまでのそれぞれの面において,4つの頂点にあてはめた整数の和を考えます。例えば,アに1,イに2,ウに3,エに4をあてはめたとき,Aの面の頂点にある整数の和は1+2+3+4=10となります。この和の10をAの「面の数」と言うことにします。
1

(1)AからFまでの6つの面の「面の数」の合計を答えなさい。

(2)AからFまでの6つの面の「面の数」がすべて等しくなるように,アからクの各頂点に整数をあてはめました。このとき,アに7,イに1,工に2,キに5をあてはめていました。オとクにあてはめた整数を答えなさい。

(3)まず,アに1をあてはめてから,AからFまでの6つの面の「面の数」がすべて等しくなるように,イからクの各頂点に整数をあてはめました。その後,ア,イ,ウ,エにある整数を,それぞれイ,ウ,エ,アに移したところ,Bの「面の数」が20,Cの「面の数」が12となりました。移す前に,イからクの各頂点にあった整数をそれぞれ答えなさい。

考え方と解法例はこちらに!

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2015年、甲陽学院中学校(1日目) 長さと面積は?

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図のような長方形ABCDがあり、Eは辺BCの真ん中の点で、

AB、BC、AEの長さがそれぞれ 8cm、12cm、10cmです。

この長方形を頂点Aの周りに回転して、

辺ABが直線AEと重なるようにしたものをAFGHとし、

辺CDと辺FGが交わる点をIとします。

1

(1)FIの長さを求めなさい。

(2)四角形AFIDの面積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに!

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今年2015年、ラ・サール中学で出題された、面積比、長さ比問題より

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三角形PCDの面積は24.3c㎡です。

AP:BPを最も簡単な整数の比で答えなさい。

1

計算と解法例はこちらに!

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灘中学、今年2015年の出題問題より、場合の数は?

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        Pic_4153q

上の図のように、1辺の長さが 6cmの正方形の周上に、

A から L までの点が 2cmごとにあります。

これらの12個の点から 3個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。

三角形は全部で【 ア 】個作ることができ、

そのうち二等辺三角形は【 イ 】個です。

ただし、合同な三角形であっても、選んだ点が違えば別の三角形と考えます。

【 ア 】、【 イ 】に入る数を答えなさい。

図解と解法例はこちらに!

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今年2015年の渋谷教育学園幕張中学、論理問題から

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異なる4つの整数があります。

この4つの整数から2つの整数を選び、その2つの和と差を求めます。

2つの整数の選び方をすべて考えて、それぞれの和と差を求めます。

このようにして求めたすべての数を大きい順にならべると、

     95,85,83,49,48,47,(ア),37,36,12,10,2

となりました。

(ア)にあてはまる整数は何ですか。

Pce022s

考え方と解法例はこちらに!

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灘中学、今年2015年出題のおもしろい分数問題から

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Bandicam_20150123_090427852_3

考え方と解法例はこちらに!

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神戸女学院中学部、今年2015年出題の立体図形問題より

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図のように1辺1cmの立方体を14個使って立体Aを作りました。

(1)

立体Aの表面積変わらないように、立体Aから立方体を1つだけ取り除く方法は何通りありますか。また、取り除くことができる立方体すべてに斜線を入れなさい。ただし、上に立方体がのっているとき、その下にある立方体だけを取り除くことはできないものとします。

(2)

立体Aの表面積が変わらないように、立体Aから立方体を1つずつ取り除いていきます。残った立体の体積が最も小さくなるときの体積を求めなさい。また、そのときの見取図をかきなさい。ただし、定規は使わなくてもかまいません。

Capture_2015_01_22_08_18_38_203


立体A

図解と解法例はこちらに!

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今年2015年に出題された問題から、(大阪星光学院中学 2015)

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図のような平行四辺形があります。

斜線剖分の面積は、平行四辺形全体の面積の何倍ですか。

1

図解と解法例はこちらに!

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今年2015年出題された問題から(四天王寺中学 2015年)

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1辺が12cmの正三角形があります。

図のように、半径が等しい円と半円をかきました。

色がついた部分の面積の和は何c㎡ですか。

1

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今年2015年の灘中学1日目、最初の計算問題は?

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Bandicam_20150119_083229654


□に当てはまる数はいくつですか。

Pce022s


計算と答えはこちらで!

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今年(2015年)はこんな問題が!正方形の移動(浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが4cmの正方形Aと1辺の長さが2cmの正方形Bがあります。

この2つの正方形が22cm離れた2つの壁の間を、90秒間、往復を繰り返します。

AとBは、下の図のような状態から出発し、

それぞれの正方形の対称の中心が2.5cm離れた直線の上にあるように動きます。

下のグラフは、動きだしてからの時間と、

出発した側の壁から正方形の対称の中心までの距離の関係を表したものです。

(1)2つの正方形の速さをそれぞれ答えなさい。

    また、グラフの[ア]にあてはまる数を答えなさい。

(2)動きだしてから何秒後に、2つの正方形の重なった部分がはじめてなくなりますか。

(3)2つの正方形が重なっている時間の合計は何秒間ですか。

1

2

考え方と解法例はこちらに!

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何枚使うかな?(立教池袋中学 2014年)

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Pic_4127q

上の図のような、3種類の正三角形のカードがたくさんあります。

 

これらを重ならないように、すき間なく並べて、1辺が 7cm の正三角形を作ります。

ただし、3種類のカードをそれぞれ少なくとも 1枚は使います。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)3種類のカードの合計枚数が最も多いのは、何枚のときですか。

(2)3種類のカードの合計枚数が最も少ないのは、何枚のときですか。

図解と解法例はこちらに!

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今年2015年の浦和明の星女子中学の問題から、最大の面積は?

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図1の展開図を黒い面が表面にくるように組み立てた1辺の長さが1cmの立方体が9個あります。

この立方体を図2のように机の上に積み上げます。

黒い面が最も多く見えるように置いたとき、その見えている黒い面の面積の合計を求めなさい。

ただし、この立体が机に接する面は見えないものとします。

1

組立図と解法例はこちらに!

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この数列の規則性は?(江戸川学園取手中学 2014年)

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次のように、数字がある規則にしたがって並んでいます。

1,1,2,1,1,2,3,2,1,1,2,3,4,3,2,1,1,2,3,4,5,4,3,2,1,…

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめから57番目にある数はいくつですか。

(2)はじめて 11 が出てくるのは、はじめから何番目ですか。

(3)はじめから数えて和が150になるときがあります。

      そのとき、最後に加える数はいくつですか。

Apf0107s

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立体図形の切り口と長さの比は?(市川中学 2010年)

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すべての面が正三角形で、1辺の長さが6cm の三角すいABCD があります。

下の図のように、辺AB,辺BC,辺CDの上にそれぞれ点P,Q,R があり、

AP=3cm、BQ=4cm、CR=1cm のとき、次の問に答えなさい。

Pic_2340q

(1)辺AD の上に点S があります。PS の長さとSR の長さの和が最も小さくなるとき、AS : SD を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)2つの点P,Q を通る直線と、2つの頂点A,C を通る直線が交わる点をT とするとき、AC : CT を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(3)3つの点P,Q,R を通る平面と、2つの頂点A,D を通る直線が交わる点をU とするとき、AU : UD を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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正八面体の性質は?(奈良学園中学 2009年)

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1辺4cmの立方体の各面の中心の点を結んで立体Aを作ります。

下の図1は、立体Aの1つの面を表しています。

        

(1)立体Aの面の数を答えなさい。

(2)円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Aを回転させずに通します。

次のとき、穴の面積は最低何c㎡必要か答えなさい。

(ア)元の立方体の面と板が平行になるように立体Aを通すとき

(イ)立体Aの面と板が平行になるように穴を通すとき

なお、必要ならば、1辺1cmの正三角形の3つの頂点を通る円の面積が、

半径1cmの円の面積の3分の1であることを用いなさい。

また、円周率は3.14とします。

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三角形OACの面積は? (白百合学園中学 2009年 改題)

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中心角60°の扇形OABのAB上に、AC=BCとなるように点Cをとります。

点Cをひとつの頂点とする長方形CDEFを扇形OABに接するように描きます。

点DはOB上、EFはOA上にあります。

EF上にEM=FMとなるように点Mをとり、

DE、DMとOCの交点をそれぞれ点G,点Hとしたとき、GH=2.4cmでした。 

OD:OE=2:1のとき、三角形OACの面積を求めなさい。

   Pic_0359

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花火を見ることができるのは?(芝中学 2014年)

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2種類の花火を次のような条件①、②で打ち上げます。

① 花火【スター】は、3秒おきに点火し、点火してから4秒後に花火が開きます。

② 花火【ムーン】は、2秒おきに点火し、点火してから2秒後に花火が開きます。

ただし、【スター】と【ムーン】の2種類の花火が同時に開いてしまうときには、

【ムーン】の点火を見送ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)2つの花火を同時に点火しはじめてから、最初の1分間に何発の花火を見ることができますか。

(2)【スター】と【ムーン】合わせて 100発の花火が開くのに2つの花火を同時に点火しはじめてから、何分何秒かかりますか。

Ilm02_bd19011s

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面積比は?長さ比は? (ラ・サール中学 2009年)

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台形ABCDがあります。ADとBCは平行で、ADとBCの長さの比は2:3です。

AB上に点P,CD上に点Qをとったところ、

三角形ADQ,三角形APQ、三角形PQC、三角形PBCの面積は、

それぞれ3c㎡、5c㎡、4c㎡、3㎡  となりました。

PQとACの交点を点Rとしたとき、次の問に答えなさい。

 (1)三角形APCの面積を求めなさい。

 (2)三角形APRの面積を求めなさい。

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図形移動とグラフの関係は?(筑波大学附属駒場中学 2009年)

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まっすぐな線の上に、70cm離れた2点A,Bと、1辺10cmの正方形があります。

はじめ、図1のように、正方形の1つの頂点はAの位置にあります。

正方形は図2のように、Aの位置にあった頂点がBの位置にくるまで、

1つの辺をまっすぐな線につけたまま毎秒1cmの速さで矢印の方向に移動します。

 

 

まっすぐな線の上に、たての長さが20cmの長方形をいくつか置いて、

正方形を移動させると、途中で長方形と重なるときがあります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)横の長さが15cmの長方形を下の図3のように置き、正方形を動かしました。

動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積を図4のグラフに表しなさい。

横の目盛りは時間(秒)、縦の目盛りは面積(c㎡)です。

 

 

(2)いくつかの長方形を置き、正方形を動かしました。

下の図5は、動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積をグラフにしたものです。

ただし、置いた長方形の縦の長さはすべて20cmですが、横の長さは同じとは限りません。

 

 

(ア)正方形が最初の長方形と重なり始めてから、最後の長方形と重ならなくなるまでに何秒かかりますか。

(イ)まっすぐな線の上に、どのような長方形が、どの位置に置いてありますか。上の図6に長方形を描きなさい。

図解と解法例はこちらに!

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巻き終わるまでにかかった時間と長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

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点O を中心とする半径6cmの円板を3分の1に切った板が あります。

この板を下の図A のように、OPが地面と平行になる ように点Oで壁に固定して、

長さ20cmのひもPQをぶら下げます。

いま、点Oを中心として、毎秒20°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を3として、次の問に答えなさい。

    Pic_26021q

(1)ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

(2)ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さを求めなさい。

図解と解法例はこちらに!

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今年度(2015年)出題の問題から(海陽中等教育学校 2015年)

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ある恒星S の周りを惑星A と惑星B がS を中心とする円を描いて移動しています。

A は100日で、Bは300日でSを一周します。

また、S と A と B は同じ平面上にあり、

A と B は同じ向きに回っているものとします。

S とA とBが一直線に並ぶのは下の図の2つの場合があります。

Pic_4133q

場合1 S と A と B がこの順に並ぶ場合

場合2 B と S と A がこの順に並ぶ場合 

今日、ちょうど場合1の状態になっているものとして、次の問に答えなさい。

(1)次に、はじめて場合2になるのは、今日から数えて何日後ですか。

      明日は1日後とします。

(2)次に、はじめて場合1になるのは、今日から数えて何日後ですか。

(3)5回目に場合2になるのは、今日から数えて何日後ですか。

考え方と解法例はこちらに!

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特殊な立体図形の体積は? (過年度 六甲中学)

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図1の立体を展開すると、図2の展開図になります。

この立体の体積を求めなさい。円周率は3.14とします。



図解と解答例はこちらに

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