２０１５年、東大寺学園中学の立体図形問題から

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図のようなＡＢ＝20cm，BC＝10cm，CG＝12cmの，面ＡＤＨＥだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが水平な床の上に置いてあります。

PQ＝16cm，QR＝12cm，RS＝18cmでPQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように，Ｑが辺BCの真ん中に，Ｒが辺FGの真ん中にくるように，容器の底BCGFにまっすぐに立て，この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま，この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して，また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。ただし，板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし，板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

（1）何立方ｃｍの水が流れ出たか求めなさい。

（2）残った水は板PQRSによって２つの部分に分けられますが，頂点Ｃと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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２０１５年、神戸女学院中学部の出題問題より 円と正方形

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上の図は、１辺１２ｃｍ の正方形と半径１２ｃｍの円一部を組み合わせたものです。

次の問に答えなさい。

（１）図の色の付いた部分の周りの長さの和を求めなさい。

（２）図の色の付いた部分の面積の和を求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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２０１５年、開智中学の問題から、大きい方の面積は？

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図のように、側面がすべて合同な二等辺三角形の正五角すいがあります。

点Ａから正五角すいの側面を最も短い道のりで１周して点Ａにもどる折れ線で、

側面を２つの部分に分けます。

２つの部分のうち、大きい方の面積は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例はこちらに！

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２０１５年、浦和明の星女子中学の問題から、「面の数」はいくつ？

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図１のような立体があります。この立体のアからクの各頂点に，１，２，３，４，５，６，７，８の整数から，１個ずつ異なる整数をあてはめます。このとき，ＡからＦまでのそれぞれの面において，４つの頂点にあてはめた整数の和を考えます。例えば，アに１，イに２，ウに３，エに４をあてはめたとき，Ａの面の頂点にある整数の和は１＋２＋３＋４＝１０となります。この和の１０をＡの「面の数」と言うことにします。


（１）ＡからＦまでの６つの面の「面の数」の合計を答えなさい。

（２）ＡからＦまでの６つの面の「面の数」がすべて等しくなるように，アからクの各頂点に整数をあてはめました。このとき，アに７，イに１，工に２，キに５をあてはめていました。オとクにあてはめた整数を答えなさい。

（３）まず，アに１をあてはめてから，ＡからＦまでの６つの面の「面の数」がすべて等しくなるように，イからクの各頂点に整数をあてはめました。その後，ア，イ，ウ，エにある整数を，それぞれイ，ウ，エ，アに移したところ，Ｂの「面の数」が２０，Cの「面の数」が１２となりました。移す前に，イからクの各頂点にあった整数をそれぞれ答えなさい。

考え方と解法例はこちらに！

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２０１５年、甲陽学院中学校（1日目） 長さと面積は？

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図のような長方形ABCDがあり、Ｅは辺BCの真ん中の点で、

AB、BC、AEの長さがそれぞれ　８ｃｍ、１２ｃｍ、１０ｃｍです。

この長方形を頂点Ａの周りに回転して、

辺ABが直線AEと重なるようにしたものをAFGＨとし、

辺CDと辺FＧが交わる点をＩとします。

（１）ＦＩの長さを求めなさい。

（２）四角形ＡＦＩＤの面積を求めなさい。

図解と解法例はこちらに！

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今年２０１５年、ラ・サール中学で出題された、面積比、長さ比問題より

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三角形ＰＣＤの面積は２４．３ｃ㎡です。

ＡＰ：ＢＰを最も簡単な整数の比で答えなさい。

計算と解法例はこちらに！

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灘中学、今年２０１５年の出題問題より、場合の数は？

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上の図のように、１辺の長さが ６ｃｍの正方形の周上に、

Ａ から Ｌ までの点が ２ｃｍごとにあります。

これらの１２個の点から ３個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。

三角形は全部で【　ア　】個作ることができ、

そのうち二等辺三角形は【　イ　】個です。

ただし、合同な三角形であっても、選んだ点が違えば別の三角形と考えます。

【　ア　】、【　イ　】に入る数を答えなさい。

図解と解法例はこちらに！

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今年２０１５年の渋谷教育学園幕張中学、論理問題から

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異なる４つの整数があります。

この４つの整数から２つの整数を選び、その２つの和と差を求めます。

２つの整数の選び方をすべて考えて、それぞれの和と差を求めます。

このようにして求めたすべての数を大きい順にならべると、

　　　　　95，85，83，49，48，47，（ア），37，36，12，10，2

となりました。

（ア）にあてはまる整数は何ですか。

考え方と解法例はこちらに！

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灘中学、今年２０１５年出題のおもしろい分数問題から

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考え方と解法例はこちらに！

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神戸女学院中学部、今年２０１５年出題の立体図形問題より

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図のように１辺１ｃｍの立方体を14個使って立体Ａを作りました。

（１）

立体Ａの表面積が変わらないように、立体Ａから立方体を１つだけ取り除く方法は何通りありますか。また、取り除くことができる立方体すべてに斜線を入れなさい。ただし、上に立方体がのっているとき、その下にある立方体だけを取り除くことはできないものとします。

（２）

立体Ａの表面積が変わらないように、立体Ａから立方体を１つずつ取り除いていきます。残った立体の体積が最も小さくなるときの体積を求めなさい。また、そのときの見取図をかきなさい。ただし、定規は使わなくてもかまいません。

立体Ａ

図解と解法例はこちらに！

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今年２０１５年に出題された問題から、（大阪星光学院中学 ２０１５）

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図のような平行四辺形があります。

斜線剖分の面積は、平行四辺形全体の面積の何倍ですか。

図解と解法例はこちらに！

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今年２０１５年出題された問題から（四天王寺中学 ２０１５年）

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１辺が１２cmの正三角形があります。

図のように、半径が等しい円と半円をかきました。

色がついた部分の面積の和は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例はこちらに！

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今年２０１５年の灘中学１日目、最初の計算問題は？

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□に当てはまる数はいくつですか。

計算と答えはこちらで！

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今年（２０１５年）はこんな問題が！正方形の移動（浦和明の星女子中学）

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１辺の長さが4cmの正方形Ａと１辺の長さが2cmの正方形Ｂがあります。

この２つの正方形が22cm離れた２つの壁の間を、90秒間、往復を繰り返します。

ＡとＢは、下の図のような状態から出発し、

それぞれの正方形の対称の中心が2.5cm離れた直線の上にあるように動きます。

下のグラフは、動きだしてからの時間と、

出発した側の壁から正方形の対称の中心までの距離の関係を表したものです。

（１）２つの正方形の速さをそれぞれ答えなさい。

　　　　また、グラフの［ア］にあてはまる数を答えなさい。

（２）動きだしてから何秒後に、２つの正方形の重なった部分がはじめてなくなりますか。

（３）２つの正方形が重なっている時間の合計は何秒間ですか。

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何枚使うかな？（立教池袋中学 2014年）

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上の図のような、３種類の正三角形のカードがたくさんあります。

これらを重ならないように、すき間なく並べて、１辺が ７ｃｍ の正三角形を作ります。

ただし、３種類のカードをそれぞれ少なくとも １枚は使います。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）３種類のカードの合計枚数が最も多いのは、何枚のときですか。

（２）３種類のカードの合計枚数が最も少ないのは、何枚のときですか。

図解と解法例はこちらに！

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今年２０１５年の浦和明の星女子中学の問題から、最大の面積は？

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図１の展開図を黒い面が表面にくるように組み立てた１辺の長さが１cmの立方体が９個あります。

この立方体を図２のように机の上に積み上げます。

黒い面が最も多く見えるように置いたとき、その見えている黒い面の面積の合計を求めなさい。

ただし、この立体が机に接する面は見えないものとします。

組立図と解法例はこちらに！

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この数列の規則性は？（江戸川学園取手中学 2014年）

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次のように、数字がある規則にしたがって並んでいます。

１，１，２，１，１，２，３，２，１，１，２，３，４，３，２，１，１，２，３，４，５，４，３，２，１，…

このとき、次の問に答えなさい。

（１）はじめから５７番目にある数はいくつですか。

（２）はじめて １１ が出てくるのは、はじめから何番目ですか。

（３）はじめから数えて和が１５０になるときがあります。

      そのとき、最後に加える数はいくつですか。

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立体図形の切り口と長さの比は？（市川中学 2010年）

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すべての面が正三角形で、１辺の長さが６ｃｍ の三角すいＡＢＣＤ があります。

下の図のように、辺ＡＢ，辺ＢＣ，辺ＣＤの上にそれぞれ点Ｐ，Ｑ，Ｒ があり、

ＡＰ＝３ｃｍ、ＢＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝１ｃｍ のとき、次の問に答えなさい。

（１）辺ＡＤ の上に点Ｓ があります。ＰＳ の長さとＳＲ の長さの和が最も小さくなるとき、ＡＳ ： ＳＤ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）２つの点Ｐ，Ｑ を通る直線と、２つの頂点Ａ，Ｃ を通る直線が交わる点をＴ とするとき、ＡＣ ： ＣＴ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（３）３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面と、２つの頂点Ａ，Ｄ を通る直線が交わる点をＵ とするとき、ＡＵ ： ＵＤ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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正八面体の性質は？（奈良学園中学 2009年）

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１辺４ｃｍの立方体の各面の中心の点を結んで立体Ａを作ります。

下の図１は、立体Ａの１つの面を表しています。

　　　　　　　 

（１）立体Ａの面の数を答えなさい。

（２）円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Ａを回転させずに通します。

次のとき、穴の面積は最低何ｃ㎡必要か答えなさい。

（ア）元の立方体の面と板が平行になるように立体Ａを通すとき

（イ）立体Ａの面と板が平行になるように穴を通すとき

なお、必要ならば、１辺１ｃｍの正三角形の３つの頂点を通る円の面積が、

半径１ｃｍの円の面積の３分の１であることを用いなさい。

また、円周率は３．１４とします。

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三角形ＯＡＣの面積は？ （白百合学園中学 2009年 改題）

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中心角６０°の扇形ＯＡＢのＡＢ上に、ＡＣ＝ＢＣとなるように点Ｃをとります。

点Ｃをひとつの頂点とする長方形ＣＤＥＦを扇形ＯＡＢに接するように描きます。

点ＤはＯＢ上、ＥＦはＯＡ上にあります。

ＥＦ上にＥＭ＝ＦＭとなるように点Ｍをとり、

ＤＥ、ＤＭとＯＣの交点をそれぞれ点Ｇ，点Ｈとしたとき、ＧＨ＝２．４ｃｍでした。　

ＯＤ：ＯＥ＝２：１のとき、三角形ＯＡＣの面積を求めなさい。

　　　

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花火を見ることができるのは？（芝中学 ２０１４年）

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２種類の花火を次のような条件①、②で打ち上げます。

① 花火【スター】は、３秒おきに点火し、点火してから４秒後に花火が開きます。

② 花火【ムーン】は、２秒おきに点火し、点火してから２秒後に花火が開きます。

ただし、【スター】と【ムーン】の２種類の花火が同時に開いてしまうときには、

【ムーン】の点火を見送ります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２つの花火を同時に点火しはじめてから、最初の１分間に何発の花火を見ることができますか。

（２）【スター】と【ムーン】合わせて １００発の花火が開くのに２つの花火を同時に点火しはじめてから、何分何秒かかりますか。

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面積比は？長さ比は？ （ラ・サール中学 2009年）

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台形ＡＢＣＤがあります。ＡＤとＢＣは平行で、ＡＤとＢＣの長さの比は２：３です。

ＡＢ上に点Ｐ，ＣＤ上に点Ｑをとったところ、

三角形ＡＤＱ，三角形ＡＰＱ、三角形ＰＱＣ、三角形ＰＢＣの面積は、

それぞれ３ｃ㎡、５ｃ㎡、４ｃ㎡、３㎡  となりました。

ＰＱとＡＣの交点を点Ｒとしたとき、次の問に答えなさい。

　（１）三角形ＡＰＣの面積を求めなさい。

　（２）三角形ＡＰＲの面積を求めなさい。

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図形移動とグラフの関係は？（筑波大学附属駒場中学 2009年）

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まっすぐな線の上に、７０ｃｍ離れた２点Ａ，Ｂと、１辺１０ｃｍの正方形があります。

はじめ、図１のように、正方形の１つの頂点はＡの位置にあります。

正方形は図２のように、Ａの位置にあった頂点がＢの位置にくるまで、

１つの辺をまっすぐな線につけたまま毎秒１ｃｍの速さで矢印の方向に移動します。

まっすぐな線の上に、たての長さが２０ｃｍの長方形をいくつか置いて、

正方形を移動させると、途中で長方形と重なるときがあります。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）横の長さが１５ｃｍの長方形を下の図３のように置き、正方形を動かしました。

動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積を図４のグラフに表しなさい。

横の目盛りは時間（秒）、縦の目盛りは面積（ｃ㎡）です。

（２）いくつかの長方形を置き、正方形を動かしました。

下の図５は、動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積をグラフにしたものです。

ただし、置いた長方形の縦の長さはすべて２０ｃｍですが、横の長さは同じとは限りません。

（ア）正方形が最初の長方形と重なり始めてから、最後の長方形と重ならなくなるまでに何秒かかりますか。

（イ）まっすぐな線の上に、どのような長方形が、どの位置に置いてありますか。上の図６に長方形を描きなさい。

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巻き終わるまでにかかった時間と長さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年）

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点Ｏ を中心とする半径６ｃｍの円板を３分の１に切った板が あります。

この板を下の図Ａ のように、ＯＰが地面と平行になる ように点Ｏで壁に固定して、

長さ２０ｃｍのひもＰＱをぶら下げます。

いま、点Ｏを中心として、毎秒２０°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を３として、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

（２）ひもを巻き終わるまでに点Ｑが動いた長さを求めなさい。

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今年度（２０１５年）出題の問題から（海陽中等教育学校 2015年）

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ある恒星Ｓ の周りを惑星Ａ と惑星Ｂ がＳ を中心とする円を描いて移動しています。

Ａ は１００日で、Ｂは３００日でＳを一周します。

また、Ｓ と Ａ と Ｂ は同じ平面上にあり、

Ａ と Ｂ は同じ向きに回っているものとします。

Ｓ とＡ とＢが一直線に並ぶのは下の図の２つの場合があります。

場合１　Ｓ と Ａ と Ｂ がこの順に並ぶ場合

場合２　Ｂ と Ｓ と Ａ がこの順に並ぶ場合 

今日、ちょうど場合1の状態になっているものとして、次の問に答えなさい。

（１）次に、はじめて場合２になるのは、今日から数えて何日後ですか。

      明日は１日後とします。

（２）次に、はじめて場合１になるのは、今日から数えて何日後ですか。

（３）５回目に場合２になるのは、今日から数えて何日後ですか。

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特殊な立体図形の体積は？ （過年度 六甲中学）

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図１の立体を展開すると、図２の展開図になります。

この立体の体積を求めなさい。円周率は３．１４とします。

図解と解答例はこちらに！

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