開いている？閉まっている？（今年、２０１７年　筑波大学附属駒場中学）: どう解く？中学受験算数

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扉のついたロッカーが２００個あり、

それぞれのロッカーに１から２００までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら２００個のロッカーに、次の１００回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

１回目すべてのロッカーを開ける

２回目番号が２の倍数であるすべてのロッカーを閉める

３回目番号が３の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

４回目番号が４の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

１００回目番号が１００の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば２回目の操作の直後は、

番号が奇数である１００個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である１００個のロッカーは閉まっています。

１００回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

（１）番号が１から１０までの１０個のロッカーのうち、

　　　開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

（２）番号が９９、１００、１０１のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

　　　開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

（３）２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。