どう解く？中学受験算数: 2017年11月

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2017年11月

この立体の体積は？（豊島岡女子学園中学　2017年）

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は３２４㎠、高さは１２ｃｍです。

この立体の６つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。

ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷３で求めることができます。

（１）立体Ｐの体積は何立方ｃｍですか。

（２）底面ＤＥＦから高さが４ｃｍのところで底面と平行な面で立体Pを切ったとき、

　　底面ＤＥＦを含む立体の体積は何立方ｃｍですか。

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XHの長さと場合の数は？（聖光学院中学　2017年）

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図１のような１辺の長さが１ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、

辺ＡＤを３等分する点をＰ、Qとし、

辺ＢＣを３等分する点をＲ、Ｓとします。

４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃからそれぞれ２点ずつ選び、

それら４点を頂点とする四角形を考え、

その２本の対角線の交点をXとします。

さらに、角ＸＨＢが直角となるようにＢＣ上に点Ｈをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

11247

（１）４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃから

　　それぞれ２点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

（２）図２のような四角形ＢＣＤＱについて考えるとき、

　　ＸＨの長さは何ｃｍですか。

（３）４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃから

　　それぞれ２点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

　　考えられるものすべてを考えます。

　　ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

　　それらは同じ点として考えるものとします。

　　①ＸＨ＝２/３ｃｍであるような X として考えられる点は

　　　全部で何個ありますか。

　　②XH＝１/２ｃｍであるような X として考えられる点は

　　　全部で何個ありますか。

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見えているサイコロの目は？（山梨学院中学　２０１７年）

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展開図が(図１)のようなさいころを

(図２)のように机の上に向きを変えずに積み上げて

立体をつくっていきます。

たとえば、２段は４個のさいころを使っています。

このとき、次の各問いに答えなさい。

図１

図２

（１）４段の立体で使うさいころの個数は何個ですか。

（２）３６個のさいころで何段の立体ができますか。

（３）４段の立体を真上から見たとき、

　　見えているすべてのさいころの目を足すといくつになりますか。

（４）５段の立体を周りから見たとき、２の目は何個見えていますか。

（５）５段の立体を周りから見たとき、

　　見えているすべてのさいころの目を足すといくつになりますか。

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太線の長さ比は？（吉祥女子中学　２０１７年）

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Bandicam_20171121_095233079_2

図1のように、1辺が2cmの正方形の頂点と辺の上に、

点Aから1cm 間かくで8個の点を打ちます。

この8個の点を中心として、

図2のように同じ大きさの8個の円をかきます。

このときかいた円と同じ大きさの円を「あ」とします。

さらに、図2のふちを太線でなぞると、

図3のような図形ができます。

後の問いに答えなさい。

(1) 同じようにして、1辺が3cmの正方形について、

円「あ」を12個かくと図4のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図4の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2) 同じようにして、1辺が4cmの正方形について、

円「あ」を16個かくと図5 のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図5の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) 図6の図形の頂点と辺の上に、

点Bから1cm間かくで点を打ちます。

これらすべての点を中心として、

円「あ」をかいていってできる図形をXとします。

図7は、円「あ」を 4個だけかいたときの図です。

①図形Xには、何個の円「あ」がかいてありますか。

②図形Xのふちを太線でなぞりました。

図3の太線の長さの和と図形Xの太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

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１２０度になる時刻は？（麻布中学２０１７年　）

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（１）

１時から２時までの１時間で、

時計の長針と短針の作る角の大きさが１２０度になる時刻を

２つ答えてください。

（２）

今、時計が１時ちょうどを示しています。

この後、長針と短針の作る角の大きさが１２０°となるのが

８回目の時刻は何時何分何秒ですか？

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四角すいを重ねると・・・（日本大学藤沢中学　２０１６年）

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図のように２つの四角すいがあります。

(立体ア)は底面が正方形で、側面が合同な二等辺三角形でできています。

正方形の１辺の長さは１０ｃｍ、二等辺三角形の高さは１３ｃｍ、

立体の高さは１２ｃｍです。

(立体イ)は、(立体ア)の辺の長さや高さをそれぞれ２倍にした立体です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１） (立体ア)と(立体イ)の体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２） (立体ア)と(立体イ)を組み合わせて、図のような立体を作りました。

　　面ＡＢＣＤと面ＥＦＧHは平行で、

　　(立体イ)の頂点Ｏ'は面ＡＢＣＤの対角線の交点に重なります。

　　この立体の体積は何立方ｃｍですか。

（３）　（２）でできた立体を面ＣＤJＫをふくむ平面で切ったときにできる

　　面の面積は何㎠ですか。

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２０％の食塩水を何ｇ入れましたか？（洗足学園中学　２０１７年）

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ビーカーＡに１６％の食塩水４００ｇが入っています。

Ａから食塩水１００ｇを取り出し、Ａに水を１００ｇ入れてよくかき混ぜ、

次にＡから食塩水２００ｇを取り出し、

Ａに水を２００ｇ入れてよくかき混ぜました。

最後にＡから食塩水を何ｇか取り出し、

取り出した量と同じ量の２０％の食塩水をＡに入れて

よくかき混ぜたところ１３％の食塩水になりました。

２０％の食塩水を何ｇ入れましたか。

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基本的な旅人算です！（函嶺白百合学園中学　２０１７年）

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１周１２００ｍの道があります。

この道を、ＡさんとＢさんは同じ方向にCさんは反対の方向に

３人とも同時に同じ場所から出発します。

ＣさんはＡさんの２倍の速さで進み、

ＡさんとＣさんは、出発してから８分後にはじめて出会いました。

また、ＡさんとＢさんの速さの比は１：３です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ＡさんとＣさんがはじめて出会ったときまでにＣさんは何ｍ進みましたか。

（２）Ａさんは１周するのに何分かかりますか。

（３）ＢさんとＣさんがはじめて出会うのは出発してから何分何秒後ですか。

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黄色と緑色の面積比は？（京都教育大学附属桃山中学　２０１７年）

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下の図は、ある円の直径AB上に点C、Dをとって、

AC、AD、CB、DBを直径とする半円をかいたものです。

ＡＢ＝１０ｃｍ、ＡＣ＝５ｃｍ、ＡＤ＝７ｃｍのとき、

黄色と緑色にわけられた２つの部分の面積の比を求めなさい。

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数並びの規則性は？（暁星中学　２０１７年）

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .

このように、２、０、１、７の数がそれぞれ１つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、３番目の数は１で、７番目の数は０です。

次の問いに答えなさい。

（１）３０番目の数は何ですか。

（２）１番目の数から６番目までの数を全部足すと、１４になります。

では、１番目から何番目の数を全部足すと、５５０になりますか。

（３）２０１７番目の数は何ですか。

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底面積と水面の高さは？（フェリス女学院中学　２０１７年）

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図１のように、体積が１立方ｃｍの立方体を

すきまなく５５個積み重ねてできる立体があります。

また、１辺の長さが５ｃｍより長い立方体の水そうに

水面の高さが２．５ｃｍまで水が入っています。

この水そうに、この立体をゆっくり入れます。

（１）この立体の、面積が２５㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さが３．５ｃｍになりました。

水そうの底の面積は何㎠ですか。

（２）この立体を図２のようにたおし、

面積が１５㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さは何ｃｍになりますか。

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点Ａを含む方の体積は？（今年　2017年　聖光学院中学）

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下の図は１辺の長さが１ｃｍである立方体を３段段積み重ねた図です。

これと同じように８段積み重ねた立体を作り、

この立体の１段目から８段目までを３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったとき、

点Ａを含む方の立体の体積は何㎤ですか？

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円の半径は？（浅野中学　２０１７年）

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下の図のように、

３辺の長さがＡＢ＝４０ｃｍ、ＡＣ＝４０ｃｍ、ＢＣ＝４８ｃｍの

二等辺三角形ＡＢＣと円緑色、円黄色があります。

三角形ＡＢＣと円緑色と円黄色はそれぞれ接しています。

円緑色と円黄色の中心をそれぞれＧ、Ｈとするとき、

中心Ｇ、Ｈと点Ｉは直線AD上にあります。

∠ＡＤＢ＝９０°、∠ＡＥＧ＝９０°、∠ＡＦＨ＝９０°のとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、３辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの三角形は、

直角三角形になります。

11061

（１）長さの比ＡＧ：ＧＥをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（２）円緑色の半径は何ｃｍですか。

（３）円黄色の半径は何ｃｍですか。

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表面積は？（海星中学校　２０１７年）

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図のような１辺の長さが１ｃｍの立方体を順に積み上げていきます。

（１）２番目の立体の表面積は何㎠ですか？

　　ただし、表面積は立方体どうしが重なった面以外とします。

（２）１０番目の立体の表面積は何㎠ですか？

　　ただし、表面積は立方体どうしが重なった面以外とします。

（３）１番目の立体から表面積を合計していくとき、

　　初めて１５０㎠をこえるのは何番目の立体までの合計ですか？

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残された空間図形は？（駒場東邦中学　２０１７年）

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１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を４等分します。

②１つの頂点に注目したとき、

　その頂点を端の点とする３つの辺上にある分点(分ける点)のうち、

　頂点から最も離れている３つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Ａに対し、

３点Ｐ　Ｑ　Ｒを通る平面で切り取った図です。

この「作業]を立方体の８個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体「あ」の面を

　解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

　①面「い」の形の名前を答えなさい。

　②(三角形ＰＱＲの面積)：(面「い」の面積)を

　　　最も簡単な整数の比で求めなさい。

（３）立体「あ」の体積を求めなさい。

　ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷３で求めることができます。

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①～③にあてはまる数は？（海城中学　２０１７年）

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二つの直角三角形ＡＢＣとＰＱＲがあります。

図の角アと角イは同じ大きさであり、

ＡＢ＝８ｃｍ、ＢＣ＝６ｃｍ、ＣＡ＝１０ｃｍです。

図のように、この二つの三角形が、頂点Ｃと項点Ｐが重なるようにして

一つの直線上に置かれています。

この状態から、三角形ＰＱＲを毎秒１ｃｍの速さで左方向に,

辺ＡＢと辺ＱＲが重なるまで動かしました。

グラフは、三角形ＰＱＲを動かし始めてから止まるまでの時間と、

二つの三角形が重なった部分の面積の関係を表したものです。

①～③にあてはまる数を入れてください。