XHの長さと場合の数は？（聖光学院中学 2017年）

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図１のような１辺の長さが１ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、

辺ＡＤを３等分する点をＰ、Qとし、

辺ＢＣを３等分する点をＲ、Ｓとします。

４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃからそれぞれ２点ずつ選び、

それら４点を頂点とする四角形を考え、

その２本の対角線の交点をXとします。

さらに、角ＸＨＢが直角 となるようにＢＣ上に点Ｈをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点 Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃから

　　それぞれ２点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

（２）図２のような四角形 ＢＣＤＱ について考えるとき、

　　ＸＨの長さは何ｃｍですか。

（３）４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点 Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃから

　　それぞれ２点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

　　考えられるものすべてを考えます。

　　ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

　　それらは同じ点として考えるものとします。

　　①ＸＨ＝２/３ｃｍであるような X として考えられる点は

　　　全部で何個ありますか。

　　②XH＝１/２ｃｍであるような X として考えられる点は

　　　全部で何個ありますか。

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