どう解く？中学受験算数

2018年10月30日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 立体図形, パズル, クイズ, 立体の切り口 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

正三角形の１辺の長さは？（今年、２０１８年　筑波大学附属駒場中学）

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正三角形ＡＢＣの内側に点Ｐがあり、

Ｐから辺ＢＣ、ＡＣ、ＡＢにそれぞれ垂直な線を引き、

交わった点を順にＤ、Ｅ、Ｆとします。

ＡＦの長さは７ｃｍ、ＢＤの長さは８ｃｍ、ＣＥの長さは１０ｃｍです。

このとき、正三角形の一辺の長さを求めなさい。

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解法のヒント

図のように、Pを通り、正三角形の各辺に平行な線を引きます。

３つできた正三角形、△黄、△緑、△赤の１辺の和が

△ABCの１辺の長さに等しくなることがわかります。

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解法例

△黄の１辺の長さ＝２×ア

△赤の１辺の長さ＝２×イ

△緑の１辺の長さ＝２×ウ　とすると、

８－イ＝２×ア・・・・・①

７－ア＝２×ウ・・・・・②

１０－ウ＝２×イ・・・・・③

①と②より、

ア＝７－２×ウ　なので、

８－イ＝２×（７－２×ウ）＝１４－４×ウ

４×ウ－イ＝６・・・・・④

③と④より、

ウ＝１０－２×イ　なので、

４×（１０－２×イ）－イ＝６

４０－８×イ－イ＝６

９×イ＝３４

イ＝３４/９

ウ＝１０－２×３４/９＝２２/９

ア＝７－２×２２/９＝１９/９

２×（ア＋イ＋ウ）＝２×（３４＋２２＋１９）/９＝１５０/９＝５０/３

＝１６と２/３ｃｍ

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2018年10月27日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

面積比は？（今年　２０１８年　開成中学）

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下の図において、四角形ＡＢＣＤは正方形で,、

ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣ、ＣＧ＝ＧＤです。

（１）三角形ＡＩＪと四角形ＡＢＣＤの面積比を

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）四角形ＨＩＪＫと四角形ＡＢＣＤの面積比を

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最も簡単な整数の比で答えなさい。

Paper

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解法のヒント

図のように線を延長して色のついた三角形を考えます。

（１）△黄と△緑は相似で相似比は、６：２＝３：１

正方形の１辺の長さを１とすると、

△緑の面積比は、２/３×１/（３＋１）×１/２＝１/１２

△茶と△赤も相似で相似比は、２：５

△茶の面積比は、１×２/（２＋５）×１/２＝１/７

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解法例

△AIJの面積比は、

２/３×１×１/２－（１/１２＋１/７）

＝１/３－１９/８４

＝９/８４＝３/２８

△AIJ：□ABCD＝３：２８

（２）△ABKと△DKMも相似で、相似比は２：３

△ABKの面積比は、１×２/（２＋３）×１/２＝１/５

DK：KB＝３：２

DH：HB＝３：１

比の合計をそろえると、

DK：KB＝３：２＝１２：８

DH：HB＝３：１＝１５：５

すると、KH＝８－５＝３　となるので、

△AHKの面積比は、

1/５×３/８＝３/４０

□HIJKの面積比は、

３/２８－３/４０＝（１２０－８４）/１１２０＝３６/１１２０＝９/２８０

△HIJK：□ABCD＝９：２８０

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2018年10月25日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

円の面積は？（今年　２０１８年　お茶の水女子大学附属中学）

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１辺の長さが２ｃｍの正三角形４枚を使って、

図のような立体ＡＢＣＤを作りました。

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を１つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は３．１４とします。

手順

①図のように、ＢＣＤの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺ＢＤを動かさないようにして、頂点Ａが机につくようにたおす。

③辺ＡＢを動かさないようにして、頂点Ｃが机につくようにたおす。

④辺ＢＣを動かさないようにして、頂点Ｄが机につくようにたおす。

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解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

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解法例

正六角形の一部なので、

円はＢを中心にした半径２ｃｍの円になります。

２×２×３．１４＝１２．５６㎠

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2018年10月23日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 立体図形, パズル, 図形の移動, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

コースの長さは？橋の長さは？（今年　２０１８年　桐朋中学）

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下の図のように、池のまわりを1周するランニングコースと、

池にかかる橋があります。

その橋はランニングコースの P地点とQ地点の間にかかっています。

A、B、Cの３人がP地点から同時に出発して、次のように移動しました。

AはP地点を出発して、分速１６０ｍで走り、

X地点、Q地点、Y地点を通ってP地点に戻りました。

BはP地点を出発して、分速８０ｍで歩き、

Y地点を通って、Q地点から橋を渡ってP地点に戻りました。

CはP地点を出発して、分速６０ｍで歩き、

X地点を通って、Q地点から橋を渡ってP地点に戻りました。

３人がP地点を出発して４分３０秒後に、AとBはY地点で出会いました。

また、AがP地点に戻ってから１分５５秒後に、CはP地点に戻りました。

（１）ランニングコース１周の道のりは何ｍですか。

（２） CがP地点を出発してから、P地点に戻るまでにかかった時間は

　　何分何秒でしたか。

（３） Bが Q地点を通ってから３０秒後にCがQ地点を通りました。

　　橋の長さは何ｍですか。

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解法のヒント

Ｙ地点で４分３０秒後にＡとＢは出会いました。

２人は、１６０＋８０＝分速２４０ｍで近づいていったわけです。

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解法例

（１）

（１６０＋８０）×４．５＝１０８０ｍ

（２）

ＡがＰ地点にもどったのは、

１０８０÷１６０＝６．７５分＝６分４５秒後なので、

ＣがＰ地点にもどったのは、

６分４５秒＋１分５５秒＝８分４０秒後

（３）

ＢがＱ地点に着いたとき、

Ｃはその手前３０秒、６０÷２＝３０ｍの地点にいます。

つまり、１０８０－３０＝１０５０ｍを２人で歩いたことになり、

その時間は、１０５０÷（８０＋６０）＝７．５＝７分３０秒です。

ＣはＱ地点まで、７分３０秒＋３０秒＝８分で着き、

橋を、８分４０秒－８分＝４０秒で渡ったので、

橋の長さは、６０ｍ×２/３分＝４０ｍ　です。

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2018年10月20日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 速さ, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

立体アの体積の何倍？（今年　２０１８年　東大寺学園中学）

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立体アは各面の対角線(例えばＡＢ)の長さが２ｃｍの立方体、

立体イは４つの面がすべて１辺の長さが２ｃｍの正三角形である三角すい、

立体ウは底面が１辺の長さが２ｃｍの正方形で、

４つの側面がすべて１辺の長さが２ｃｍの正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

ア

イ

ウ

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解法のヒント

立方体から赤い４つの部分を切り取ると・・・

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように２段に積んでみると・・・

↓

真ん中の空間部分の形は？？？

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解法例

立方体の１辺を１とすると、

赤い部分の１つ分の体積は、

１×１×１/２×１×１/３＝１/６

真ん中の立体イの体積は、

１×１×１－１/６×４＝１/３

したがって、イはアの１/３倍です。

正四面体１つの体積を１とすると、

正四面体の１辺が２倍になった正四面体全体の体積は、

２×２×２＝８倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

８－１×４＝４

真ん中の空間部分の形は・・・

正八面体ですね！

立体ウはこの半分なので、

体積は、４÷２＝２

イの正四面体の２倍の体積なので、

１/３×２＝２/３

したがって、ウはアの２/３倍です。

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2018年10月16日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 立体図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな？（今年　２０１８年　麻布中学）

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されている点）が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

虫に最も近い辺上の点(図２、図３中の〇で表されている点)が

複数あるとき、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図１、図２、図３の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

クモの移動する速さは秒速１０ｃｍであるとして、

以下の問いに答えなさい。

（１）図４のように１辺の長さが１０ｃｍの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが１．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（２）図５のように、縦の長さが１０ｃｍ、

横の長さが２０ｃｍの長方形の頂点にクモがいるとします。

クモが２．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（３）　（２）で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

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解法のヒント

２．５ｃｍごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

Panda151587_640

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解法例

（１）

（２）

（３）

（５×５）×５＋（５×５）×１/２＋（５×５）×３/４

＝（５×５）×（５＋１/２＋３/４）

＝２５×６．２５

＝１５６．２５㎠

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2018年10月13日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, 数量関係, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

中心０が通った道のりは？（今年　２０１８年　早稲田中学）

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図の地点Ｐから地点Ｑまで半径３ｃｍの円が転がります。

円の中心０が通った道のりは何ｃｍですか。

解法のヒントと解法例はスクロールで！

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解法のヒント

図のように転がっていきます。

10112_2

Apa0307s

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解法例

△赤はいずれも正三角形なので、

黄色部分は中心角が３０°の円弧になり、

緑部分は中心角１２０°の円弧になります。

円弧部分は、３０×４＋１２０＝２４０°なので、

３×２×３．１４×２４０/３６０＋６×５

＝４×３．１４＋３０

＝４２．５６ｃｍ

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2018年10月11日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, 図形の移動, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

色のついた部分の周の長さは？（今年　２０１８年　豊島岡女子学園中学）

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下の図は、１辺の長さが６ｃｍの正１０角形と、

その頂点を中心とし、半径が６ｃｍの円の一部を組み合わせた図形です。

図の色のついた部分の周の長さの合計は何ｃｍですか。

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解法のヒント

△赤は正三角形になり、

弧A➡C➡Bの長さは、中心角６０°半径６ｃｍの円弧になりますね。

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解法例

求める長さは、

６×２×３．１４×６０/３６０×１０＋６×５

＝１２×３．１４×２０/１２＋３０

＝２０×３．１４＋３０

＝６２．８＋３０

＝９２．８ｃｍ

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2018年10月10日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

立方体は何個？（２０１５年　湘南学園中学）

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同じ大きさの立方体をすき間なく積み重ねた立体があります。

その立体は前後左右からみると図１のように見え、

真上から見ると図２のように見えます。

（１）一番少ない場合、立方体は何個必要ですか。

（２）一番多い場合、立方体は何個ですか。

（３）表面積を比べると、次のうちどれが正しいですか。

①（１）が大きい。

②（２）が大きい。

③（１）と（２）は等しい。

④これだけではわからない。

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Sasu

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2018年10月 9日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 立体図形, パズル, クイズ, 見取り図、投影図 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

ＡＢの長さは？色部分の面積は？（今年　２０１８年　世田谷学園中学）

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下の図１は１辺の長さが６ｃｍの正方形を８個つなげたものです。

このとき,次の問いに答えなさい。

1061

（１）上の図２のように図１に直線を２本かき加えました。

　　ＡＢの長さは何ｃｍですか。

（２）上の図３のように図１に直線を２本かき加えました。

　　色部分の面積は何ｃｍですか。

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2018年10月 6日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

道のりは？時間は？（今年　２０１８年　攻玉社中学）

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Ａ君とＢ君は、学校から公園までの間をランニングで往復しました。

Ａ君が出発した１分後にＢ君が出発しましたが、

Ａ君が分速（ア）ｍで、Ｂ君が分速（イ）ｍで走ると、

Ｂ君のほうが１５秒だけ早く公園に着きました。

また、帰りはＡ君が分速（イ）ｍで、Ｂ君が分速（ア）ｍで走りました。

Ｃ君は、Ｂ君のあとに学校を出発し、自転車に乗って公園に行きましたが、

帰りは歩いて学校までもどってきました。

学校と公園の間には郵便局がありますが、

往復どちらのときにも、３人は同時に郵便局の前を通りました。

下のグラフは、３人が移動するようすを直線で表したものです。

（１）次の比を求めなさい。

　　(学校から郵便局までの道のり)：(郵便局から公園までの道のり)

（２）学校から郵便局までの道のりを求めなさい。

（３）文章の（ア）、（イ）にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（４）グラフのカ、キにあてはまる時間を、何分何秒の形で答えなさい。

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2018年10月 4日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 速さ, パズル, 変化とグラフ, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

色部分の面積は？（今年　２０１８年　浦和明の星女子中学）

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下の図は、１辺の長さが８ｃｍの正方形と

対角線、おうぎ形、半円を組み合わせたものです。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

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