立体アの体積の何倍？（今年 ２０１８年 東大寺学園中学）

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立体アは各面の対角線(例えば ＡＢ)の長さが２ｃｍの立方体、

立体イは４つの面がすべて１辺の長さが２ｃｍの正三角形である三角 すい、

立体ウは底面が１辺の長さが２ｃｍの正方形で、

４つの側面がすべて１辺の長さが２ｃｍ の正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

ア

イ

ウ

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解法のヒント

立方体から赤い４つの部分を切り取ると・・・

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように２段に積んでみると・・・

↓

↓

真ん中の空間部分の形は？？？

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解法例

 

立方体の１辺を１とすると、

赤い部分の１つ分の体積は、

１×１×１/２×１×１/３＝１/６

真ん中の立体イの体積は、

１×１×１－１/６×４＝１/３

したがって、イはアの１/３倍です。

正四面体１つの体積を１とすると、

正四面体の１辺が２倍になった正四面体全体の体積は、

２×２×２＝８倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

８－１×４＝４

真ん中の空間部分の形は・・・

正八面体ですね！

立体ウはこの半分なので、

体積は、４÷２＝２

イの正四面体の２倍の体積なので、

１/３×２＝２/３

したがって、ウはアの２/３倍です。

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