クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(今年 2018年 麻布中学)
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ある長方形があり、
頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。
ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。
クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。
虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、
その点まで辺上を最短経路で移動する。
虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が
複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで
辺上を最短経路で移動する。
こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。
例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、
クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは
それぞれ下図のようになります。
クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、
以下の問いに答えなさい。
(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。
クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、
どのような範囲にいる虫ですか。
その範囲を斜線で示しなさい。
ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。
(2)図5のように、 縦の長さが10cm、
横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。
クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、
どのような範囲にいる虫ですか。
その範囲を斜線で示しなさい。
ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。
(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。
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解法のヒント
2.5cmごとに線をひいて、
クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、
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解法例
(1)
(2)
(3)
(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4
=(5×5)×(5+1/2+3/4)
=25×6.25
=156.25㎠
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