タイルは何枚？（今年 ２０１８年 横浜女学院中学）

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図のように、赤と白の三角形のタイルを規則にしたがって並べていきます。

このとき,次の各問いに答えなさい。

（１）タイルを全部で１６枚並べたとき、右端のタイルは何色ですか。

（２）赤いタイルを全部で１９枚並べたとき、

　　　　　　　タイルは全部で何枚並んでいますか。

　　　　　　　　　　　　　　　　考えられるすべての枚数を答えなさい。

（３）タイルを全部で１５７枚並べたとき、

　　　　　　　赤いタイルは全部で何枚並んでいますか。

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください！

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解法のヒント

図のように４つずつ区切って考えると、わかりやすいかも・・・

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解法例

（１）

１６枚では４つずつのブロックが、

１６÷４＝４個並ぶので、右端は赤になります。

（２）

１つのブロックに赤いタイルは２個並ぶので、

１９÷２＝９あまり１　より、

４×９＝３６　なので、

３７枚、３８枚、３９枚

（３）

１５７÷４＝３９あまり１　より、

３９×２＝７８

７８＋１＝７９枚

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∠あの角度は？（今年 ２０１８年 東海中学）

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図の四角形 ＡＢＣＤ は１辺が２ｃｍの正方形で、

ＡＥの長さとＡＦの長さはどちらも１ｃｍです。

ＤＥ と ＣＦ の交点をGとし、ＡとＧ、ＢとＧを結びます。

（１）　三角形 ＢＣＧ の面積を求めなさい。

（２） 「あ」の角度を求めなさい。

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解法例

（１）

△茶と△赤は相似で、

ＤＦ：ＣＨ＝１：４

ＦＧ：ＧＣ＝１：４　より、

△ＢＣＧの高さは、

２×４/５＝１．６ｃｍ

△ＢＣＧの面積＝２×１．６÷２＝１．６㎠

（２）はちょっと難しい！

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（２）

△ＤＡＥと△ＣＤＦは合同なので、

△ＣＤＦと△ＤＧＦはそうじになり、

∠ＤＧＦ＝９０°　になります。

◎＋●＝１８０°なので、

△緑を９０°回転して、△黄の位置にくっつけると、

ＧＧ’は一直線になるので、

 △ＡＧ’Ｇは二等辺直角三角形になり、

∠ＡＧ’Ｇ＝∠ＡＧＧ’＝４５°　より、

∠あ＝（９０－４５）＋９０＝１３５°

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ボールは何個ありますか？（今年 ２０１８年 フェリス女学院中学）

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ボールが何個かあります。

ボールが４４個入る箱Ａと、ボールが４９個入る箱Ｂがあ ります。

箱Ａの数は箱Ｂの数より１多いです。

これらのボールを箱 Ａ に入れてい くと、３４個入りません。

これらのポールを箱Ｂに入れていくと、 ２３個入りません。

ボールは何個ありますか？

 

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B箱の数を□個とすると、

４４×□＋４４＋３４＝４９×□＋２３

５×□＝７８－２３＝５５

□＝１１

ボールの数＝４９×１１＋２３＝５６２個

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四角形黄色の面積は？（今年 ２０１８年 大宮開成中学）

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下の図の三角形の面積は６０㎠です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、●は各辺にお ける間隔の等しい点を表します。

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解法例

△青は、大きい三角形の底辺が１/５、高さが２/３なので、

面積は、大きい三角形の１/５×２/３＝２/１５

△緑は、大きい三角形の底辺が３/４、高さが１/３なので、

面積は、大きい三角形の３/４×１/３＝３/１２

△茶は、大きい三角形の底辺が２/５、高さが１/４なので、

面積は、大きい三角形の２/５×１/４＝２/２０

△青＋△緑＋△茶＝２/１５＋３/１２＋２/２０＝２９/６０

四角形黄色の面積＝６０－２９＝３１㎠

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プレゼントはいくら？（今年 ２０１８年 鎌倉学園中学）

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長男、次男、三男の三兄弟はおこづかいを貯金しています。

はじめ、長男と次男の貯金高の比は３：２、

次男と三男の貯金高の比も３：２でした。

三兄弟は両親 に日ごろの感謝の気持ちをこめてプレゼントをおくることにしました。

長男、次 男、三男は５：３：２の割合でお金を出し合い、

プレゼントを買ったところ、おつ りは １２５０円でした。

このおつりを三男が貯金したところ、

長男と次男の貯金高 の比が２：３、

次男と三男の貯金高の比も２：３になりました。

次の問いに答えなさい。

（１）　プレゼントを買う前の長男と次男と三男の貯金高の比を

　　　最も簡単な整数 の比で表しなさい。

（２）　長男の「プレゼントを買う前の貯金高」と

　　「プレゼントに支出した金額」の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（３） 両親におくったプレゼントはいくらでしたか。

解法例は下にスクロールしてください！

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解法例

（１）

最初の貯金高は

長男：次男＝３：２・・・・・①

次男：三男＝３：２・・・・・②　なので、

次男の比をそろえます。

①×３、

長男：次男＝９：６

②×２、

次男：三男＝６：４　より、

長男：次男：三男＝９：６：４

（２）

長男：次男＝３：２・・・・・③　が

長男：次男＝５：３・・・・・④　の出費によって、

長男：次男＝２：３・・・・・⑤　になりました。

③×□－④×△＝⑤　と考えると、

長男は、３×□－５×△＝２　となり、

３の倍数と５の倍数の差が２になる□と△を探すと、

□＝４、△＝２　では

長男は、３×４－５×２＝２　となりますが、

次男は、２×４－３×２＝２となって、２：２になるので不適当、

□＝９、△＝５のとき、

長男は、３×９－５×５＝２　となり、

次男は、２×９－３×５＝３となって、２：３になります。

したがって、

長男の「プレゼントを買う前の貯金高」：「プレゼントに支出した金額」の比は、

３×９：５×５＝２７：２５

（３）

最初の貯金高は、

長男：次男：三男＝２７：１８：１２

出し合った金額は、

長男：次男：三男＝２５：１５：１０

残った貯金額は、

長男：次男：三男＝２：３：４．５

三男は１２－１０＝２となるところ、

１２５０のお釣りを貯金したので、４．５になったわけで、

４．５－２＝２．５が１２５０円に相当することになります。

プレゼントの金額は、

２５＋１５＋１０－２．５＝４７．５　で、

（４７．５÷２．５）×１２５０＝２３７５０円

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色部分の面積は何㎠？（今年 ２０１８年 茗溪学園中学）

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下の図において、点は半径１ｃｍの円周を８等分しています。

色部分の面積は何㎠ですか？

解法のヒントと解法例はスクロールした下の方にあります！

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解法のヒント

このように分けてみると・・・

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解法例

３６０÷８＝４５°なので、

緑部分は２つ合わせると、

１辺が１ｃｍの正方形。

茶色部分は２つ合わせると半径１ｃｍの半円になります。

したがって、求める面積は、

１×１＋１×１×３．１４÷２＝２．５７㎠

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何ｍはなれているかな？（今年 ２０１８年 早稲田大学高等学院中学部）

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２０００ｍはなれたＡ地点とＢ地点の間を太郎さんと次郎さんが走ります。

２人は Ａ地点に着いたときも、Ｂ地点に着いたときも

休みを入れて反対方向に走ることをくり返します。

太郎さんは分 速２５０ｍで走り、休みの時間を６０秒とします。

次郎さんは分速２００ｍで走り、休みの時間を９０秒とします。

いま、２つの地点の中間地点から太郎さんがＡ地点へ、

次郎さんがＢ地点へ向かって同時に走り始めました。

このとき、次の問い に答えなさい。

（１）

太郎さんが初めてＢ地点から出発するとき、

次郎さんと何ｍ はなれているかを求めなさい。

（２）

２人が同じ方向に向かって走っているときに、

初めて８００ｍはなれるのは走り始めてから何分後ですか。

（３）

太郎さんがＡ地点、Ｂ地点を経て出発地点を通過した後、

コースの途中で向きを変えて次郎さんと同時にＢ地点に到着したい。

このとき、太郎さんはＡ地点から何ｍはなれた地点で

向きを変えればよいかを求めなさい。

 

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解法のヒント

図で表すと考えやすくなります。

（１）

太郎がＢ地点を出発するまでの時間は、

図からわかるように、

３０００÷２５０＋２＝１４より

１４分後です。

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解法例

そのとき次郎は図のように

１４－（１０００÷２００＋１．５）＝７．５　より、

Ｂ地点から７．５分後のところにいます。

きょりはＢ地点から、

２００×７．５＝１５００ｍです。

（２）

図のように次郎がＡ地点に着いたとき、１６．５分後なので、

太郎は、２５０×（１６．５－１４）＝６２５ｍ　より、

Ａ地点から、２０００－６２５＝１３７５ｍで、

８００ｍ以上の差がついています。

太郎がＡ地点を出発するときは２３分後なので、

そのとき次郎は、Ａ地点から５分後の

２００×５＝１０００ｍの中間地点にいます。

そこから、１０００－８００＝２００ｍ差が縮まる時間は、

２００÷（２５０－２００）＝４分後なので、

２３＋４＝２７分後になります。

（３）

図のように、太郎が中間地点まで来るのに、１８分

このとき次郎は、Ａ地点を出発しようとしています。

Ｂ地点まで１０分で到着するので、

太郎の中間地点から折り返し点までのきょりを△ｍとすると、

（１０００＋２×△）÷２５０＝１０　なので、

２×△＝１５００

△＝７５０　より、

Ａ地点から、

１０００－７５０＝２５０ｍの地点で折り返せばいいわけです。

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底面が動く水槽問題（今年 ２０１８年 慶應義塾湘南藤沢中等部）

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ６０ｃｍのＡの ところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分２ｃｍの速さで底面を上げていったところ、

３分後の水面の高さは Ａから８ｃｍ になりました。

（１）　水は毎分何しℓずつ入りますか。

（２）　水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。

（３）　水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを１/３にして、

　　水を入れる量を２倍にした ところ、

　　水を入れ始めてから ２４分後に水そうがいっぱいになりました。

　　口に入る数を求めなさい。

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解法のヒント

底面は毎分２ｃｍで上がりますから、

３分では、２×３＝６ｃｍ上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

３分後水面の高さはＡから８ｃｍの高さになったので、

底面から水面までは、８－６＝２ｃｍ

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解法例

（１）

４０×２５×２＝２０００立方ｃｍ＝２ℓ

１分間に、２÷３＝２/３ℓ

（２）

水は１分間に底面から、

２/３ℓ÷（４０ｃｍ×２５ｃｍ）＝２/３ｃｍ上昇します。

△分で６０ｃｍになるとすると、

２×△＋２/３×△＝６０

８/３×△＝６０

△＝２２．５分

（３）

□分間は、水面は１分間に

２＋２/３＝８/３ｃｍ上がります。

□分後～２４分の間は、

２×１/３＋２×２/３＝２/３＋４/３＝６/３ｃｍ上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

１分間に８/３ｃｍのままなら２４分間で６４ｃｍなので、

白い部分の面積は４ということになり、

ＰＱ＝８/３－６/３＝２/３　より、

ＱＲの長さは、

４÷２/３＝６となるので、

□＝２４－６＝１８分です。

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切られる立方体はいくつ？（筑波大学附属中学 ２０１７年）

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同じ大きさの立方体を、

図のように６４個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。

 

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

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解法例

２段目では５個

３段目では３個

一番下の段では、１個

合計、７＋５＋３＋１＝１６個　です。

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もっ とも高い得点は？（今年 ２０１８年 吉祥女子中学）

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１から５までの数字が表に書かれたカードが３枚ずつ、合計15枚あります。

これらのカードを裏にしておき、１枚ずつ順に表にしていくゲームをし ます。

同じ数字が書かれたカードが３枚とも表になったらこのゲームは終了 とし、

その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。

たとえば、表にしたカードの数字が順に４➡４➡４ の場合は

４＋４＋４＝１２(点)

５➡５➡１➡５ の 場合は

５＋５＋１＋５＝１６(点)

３➡２➡２➡５➡２ の場合は

３＋２＋２＋５＋２＝１４(点) となります。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。

（２）８枚めくった時点でゲームが終了したとき、

　　　考えられる得点のうちでもっ とも高い得点は何点ですか。

（３）ゲームが終了したとき、表になっているカードに書かれた数字は

　　　４種類で、得点は３０点でした。

　　　このとき、最後にめくったカードに書かれた数字として

　　　考えられるものをすべて答えなさい。

 

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解法例はこちら！

（１）

５＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝３５点

（２）

５＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＝３１点

（３）

最後のカードが５の場合、

３０－５×３＝１５なので、

４×２＋３＋２×２＝１５より、５は可能。

最後のカードが４の場合、

３０－４×３＝１８なので、

５×２＋３×２＋２＝１８より、４も可能。

最後のカードが３の場合、

３０－３×３＝２１なので、

５と４と２と１から３種類選んで２１にするのは不可能。

最後のカードが２の場合、

３０－２×３＝２４なので、

５×２＋４×２＋３×２＝２４より、２は可能。

最後のカードが１の場合、

３０－１×３＝２７なので、

５と４と３と２から３種類選んで２７にするのは不可能。

よって、５、４、２

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ア～ウにあてはまる数は？（今年 ２０１８年 フェリス女学院中学）

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点Ｏを中心とする半径 ４．５ｃｍの大きい円の周上に点Ｐ、

半径３．６ｃｍの小さい円の周上に点Ｑがあります。

はじめ３点Ｏ、Ｐ、Ｑは、図のように一直線上に並んでいます。

はじめの位置から点Ｐは反時計回りに大きい円の周上を、

点Ｑは時計回りに小さい円の周上を同時に出発して同じ速さで進み、

同時にはじめの位置に戻ったときに止ま ります。

次のア～ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

はじめてＯ、Ｐ、Ｑが一直線上に並ぶまでに

点Ｐが進む道のりは（　ア　）ｃｍです。

三角形ＯＰＱ の面積が最も大きくなるとき、その面積は（　イ　）㎠であり、

このような場合は（　ウ　）回あります。

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解法例はこちらに！

半径の比が、４．５：３．６＝５：４　なので、

同じ速さで、同じ時間に進む角度は、逆比になり４：５

一直線になるのは１８０°なので、

図のように、Pは４．５×２×３．１４－８０/３６０ｃｍ進み、

ア＝９×３．１４×２/９＝６．２８ｃｍ

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△OPQの面積が最大になるのは、

図のように、OPを底辺にした場合、

高さが最大になるのOQがOPに対して直角になったときで、

イ＝４．５×３．６÷２＝８．１㎠

止まるときはQが5周、Pが4周しています。

Pが４０°、８０°、１２０°、１６０°、２００°、

２４０°２８０°、３２０°、３６０°のときに

OQと９０°（△OPQの面積が最大）と１８０°（一直線）を繰り返すので、

Pが1周目、５回直角

Pが２周目、４回直角

Pが３周目、５回直角

Pが４周目、４回直角　より、

ウ＝１８回

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点Dを含む立体の体積は？（今年 ２０１８年 芝中学）

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１辺が３ｃｍの立方体を下の図の様に

辺を３等分した点Ａ、Ｂと頂 点Ｃを結んで切ります。

ＤＥの長さは何ｃｍですか。

また、点Dを含む立体の体積は何立方ｃｍですか。

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください！

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解法のヒント

切り口は図のようになります。

ＥＡとＢＣは平行になります。

△ＡＥＦと△ＢＣＧは相似になり、

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解法例

ＣＧ：ＧＢ＝３：２＝ＥＦ：ＦＡ

ＥＦ＝１×３/２＝１．５ｃｍ

ＤＥ＝１．５ｃｍ

Ｄを含む立体は図のように、

底辺がＡＰＱＤＥ、頂点がＣの五角すいと、

底辺がＢＲＱＤＳ、頂点がＣの五角すいと、

底辺がＥＤＳ、頂点がＣの三角すいでできています。

高さはいずれも３ｃｍなので、

（３×３－１×１．５÷２）×３÷３×２＋

１．５×１．５÷２×３÷３

＝８．２５×２＋１．１２５

＝１７．６２５立方ｃｍ

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∠Ⅹ＝？、∠Ｙ＝？（今年 ２０１８年 立教新座中学）

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正六角形と正五角形が図のように重なっています。

正五角形の中にある線は,正六角形の 頂点を結んだ線をのばしたものです。

角 x、y はそれぞれ何度ですか。

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解法のヒント

 △緑は二等辺三角形で、

正六角形の１つの頂点の内角は１２０°ですから、

∠〇＝（１８０－１２０）÷２＝３０°

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解法例

正五角形の１つの頂点の内角は１０８°なので、

∠Ⅹ＝３０＋１０８＝１３８°

△黄も二等辺三角形なので、

∠×＝１８０－３０×２＝１２０°

∠●＝１８０－１２０＝６０°

∠◎＝１８０－（３０＋６０）＝９０°

五角形青の内角の和は５４０°なので、

∠Ｙ＝５４０－（１０８×２＋１３８＋９０）＝９６°

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切断面の形と糸の動く範囲は？（今年、２０１８年 駒場東邦中学）

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図のような１辺の長さが６ｃｍの正三角形が４つと、

正方形からできる四角錐Ｏ－ＡＢＣＤについて

辺 ＡＢ、ＯＢ、ＣＤの真ん中の点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎ　とします。



ただ し、円周率は３．１４として、次の問いに答え なさい。

（１）３点Ｌ、Ｍ、Ｎを含む平面でこの四角錐 を切り分けます。

　①切断面はどのような図形か答えなさい。

　②切断面の周の長さを答えなさい。

解法例は下にスクロールしてください！

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（１）

①図のように等脚台形になります。

②周の長さは、図のように、

６＋３×３＝１５ｃｍ

（２）頂点Ｏに長さ６ｃｍの糸をつけます。

　　もう片方の糸の先端が、

　　この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

　①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

　②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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（２）

①

②面積は、

６×６×３．１４×（６０×４）/３６０＝７５．３６㎠

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折られた面積は？（今年 ２０１８年 早稲田実業学校中等部）

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一辺の長さが９ｃｍで、

表が黄色、裏が緑色の正方形の折り紙ＡＢＣＤがあります。

点Ｐを折り紙の上にとり、頂点Ａが点Ｐに重なるように折って、

図１のように緑図形を作ります。

このとき、次の各問い に答えなさい。

図１

（１）図２のように点Ｐを正方形の対角線ＡＣ上にとり、

緑図形を作ったところ、

緑図形の面積と 表の黄色部分の面積の比が１：２になりました。

ＡＰの長さを求めなさい。

図２

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（１）折られた白い三角形の面積比も１なので、

△白＋△緑＝１＋１＝２　となり、

この小さな正方形は正方形ABCDの半分になります。

面積は、９×９÷２＝８１/２　なので、

AP×AP＝８１/２×２＝８１　となり、

AP＝９ｃｍ

（２）図３のように点Ｐを ＤＰ＝３ｃｍ となるように辺ＣＤ上にとり、

緑図形を作ったところ、ＤＱ＝４ｃｍとなりました。

緑図形の面積を求めなさい。

図３

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（２）

DQ＝４ｃｍなので、AQ＝OQ＝９－４＝５ｃｍ

△DPQは辺の比が３：４：５の直角三角形で、

△DPQと△CGPと△FGEは相似になります。

CG＝（９－３）×３/４＝４．５ｃｍ

BG＝９－４．５＝４．５ｃｍ

BE＝４．５×４/（５＋４）＝２ｃｍ

緑部分＝台形ABEQ＝（２＋５）×９÷２＝３１．５㎠

（３）頂点Ａから点Ｐを出発させ、

緑図形が三角形になるように点Ｐを動かします。

点Ｐの動ける 範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。

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（３）三角形の１辺は正方形の１辺の長さを超えないので、

AB、ADをそれぞれ固定して考えると

下の図のように、Pの動ける限界線が決まります。

範囲は下の図のように木の葉形になります。

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