中学受験算数   アニメーション教材

不思議な休憩室

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2018年11月

タイルは何枚?(今年 2018年 横浜女学院中学)

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図のように、赤と白の三角形のタイルを規則にしたがって並べていきます。

11301_2

このとき,次の各問いに答えなさい。

(1)タイルを全部で16枚並べたとき、右端のタイルは何色ですか。

(2)赤いタイルを全部で19枚並べたとき、

       タイルは全部で何枚並んでいますか。

                考えられるすべての枚数を答えなさい。

(3)タイルを全部で157枚並べたとき、

       赤いタイルは全部で何枚並んでいますか。

103

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

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解法のヒント

図のように4つずつ区切って考えると、わかりやすいかも・・・

11302

104

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解法例


11302_2

(1)

16枚では4つずつのブロックが、

16÷4=4個並ぶので、右端は赤になります。

(2)

1つのブロックに赤いタイルは2個並ぶので、

19÷2=9あまり1 より、

4×9=36 なので、

37枚、38枚、39枚

(3)

157÷4=39あまり1 より、

39×2=78

78+1=79枚

102


 

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682

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∠あの角度は?(今年 2018年 東海中学)

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図の四角形 ABCD は1辺が2cmの正方形で、

AEの長さとAFの長さはどちらも1cmです。

DE と CF の交点をGとし、AとG、BとGを結びます。

(1) 三角形 BCG の面積を求めなさい。

(2) 「あ」の角度を求めなさい。

11281

105

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解法例

(1)

11283

△茶と△赤は相似で、

DF:CH=1:4

FG:GC=1:4 より、

△BCGの高さは、

2×4/5=1.6cm

△BCGの面積=2×1.6÷2=1.6㎠

6082

(2)はちょっと難しい!

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(2)

11282

△DAEと△CDFは合同なので、

△CDFと△DGFはそうじになり、

∠DGF=90° になります。

◎+●=180°なので、

△緑を90°回転して、△黄の位置にくっつけると、

GG’は一直線になるので、

 △AG’Gは二等辺直角三角形になり、

∠AG’G=∠AGG’=45° より、

∠あ=(90-45)+90=135°

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682

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ボールは何個ありますか?(今年 2018年 フェリス女学院中学)

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ボールが何個かあります。

ボールが44個入る箱Aと、ボールが49個入る箱Bがあ ります。

箱Aの数は箱Bの数より1多いです。

これらのボールを箱 A に入れてい くと、34個入りません。

これらのポールを箱Bに入れていくと、 23個入りません。

ボールは何個ありますか?

Gum11_sy01023s

60814
 

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2181

B箱の数を□個とすると、

44×□+44+34=49×□+23

5×□=78-23=55

□=11

ボールの数=49×11+23=562個

6082_2

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682

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四角形黄色の面積は?(今年 2018年 大宮開成中学)

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下の図の三角形の面積は60㎠です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、●は各辺にお ける間隔の等しい点を表します。

11231

60814

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解法例

588

11232

△青は、大きい三角形の底辺が1/5、高さが2/3なので、

面積は、大きい三角形の1/5×2/3=2/15

△緑は、大きい三角形の底辺が3/4、高さが1/3なので、

面積は、大きい三角形の3/4×1/3=3/12

△茶は、大きい三角形の底辺が2/5、高さが1/4なので、

面積は、大きい三角形の2/5×1/4=2/20

△青+△緑+△茶=2/15+3/12+2/20=29/60

四角形黄色の面積=60-29=31㎠

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682

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プレゼントはいくら?(今年 2018年 鎌倉学園中学)

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長男、次男、三男の三兄弟はおこづかいを貯金しています。

はじめ、長男と次男の貯金高の比は3:2、

次男と三男の貯金高の比も3:2でした。

三兄弟は両親 に日ごろの感謝の気持ちをこめてプレゼントをおくることにしました。

長男、次 男、三男は5:3:2の割合でお金を出し合い、

プレゼントを買ったところ、おつ りは 1250円でした。

このおつりを三男が貯金したところ、

長男と次男の貯金高 の比が2:3、

次男と三男の貯金高の比も2:3になりました。

Present_koukan_couple

次の問いに答えなさい。

(1) プレゼントを買う前の長男と次男と三男の貯金高の比を

   最も簡単な整数 の比で表しなさい。

(2) 長男の「プレゼントを買う前の貯金高」と

  「プレゼントに支出した金額」の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3) 両親におくったプレゼントはいくらでしたか。

解法例は下にスクロールしてください!

3205

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解法例

Panda250

(1)

最初の貯金高は

長男:次男=3:2・・・・・①

次男:三男=3:2・・・・・② なので、

次男の比をそろえます。

①×3、

長男:次男=9:6

②×2、

次男:三男=6:4 より、

長男:次男:三男=9:6:4

(2)

長男:次男=3:2・・・・・③ が

長男:次男=5:3・・・・・④ の出費によって、

長男:次男=2:3・・・・・⑤ になりました。

③×□-④×△=⑤ と考えると、

長男は、3×□-5×△=2 となり、

3の倍数と5の倍数の差が2になる□と△を探すと、

□=4、△=2 では

長男は、3×4-5×2=2 となりますが、

次男は、2×4-3×2=2となって、2:2になるので不適当、

□=9、△=5のとき、

長男は、3×9-5×5=2 となり、

次男は、2×9-3×5=3となって、2:3になります。

したがって、

長男の「プレゼントを買う前の貯金高」:「プレゼントに支出した金額」の比は、

3×9:5×5=27:25

(3)

最初の貯金高は、

長男:次男:三男=27:18:12

出し合った金額は、

長男:次男:三男=25:15:10

残った貯金額は、

長男:次男:三男=2:3:4.5

三男は12-10=2となるところ、

1250のお釣りを貯金したので、4.5になったわけで、

4.5-2=2.5が1250円に相当することになります。

プレゼントの金額は、

25+15+10-2.5=47.5 で、

(47.5÷2.5)×1250=23750円

6082

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682

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色部分の面積は何㎠?(今年 2018年 茗溪学園中学)

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下の図において、点は半径1cmの円周を8等分しています。

色部分の面積は何㎠ですか?

11201

解法のヒントと解法例はスクロールした下の方にあります!

588

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解法のヒント

11202

このように分けてみると・・・

5802

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

11202_2

360÷8=45°なので、

緑部分は2つ合わせると、

1辺が1cmの正方形。

茶色部分は2つ合わせると半径1cmの半円になります。

したがって、求める面積は、

1×1+1×1×3.14÷2=2.57㎠

6082

 

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682

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何mはなれているかな?(今年 2018年 早稲田大学高等学院中学部)

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2000mはなれたA地点とB地点の間を太郎さんと次郎さんが走ります。

2人は A地点に着いたときも、B地点に着いたときも

休みを入れて反対方向に走ることをくり返します。

太郎さんは分 速250mで走り、休みの時間を60秒とします。

次郎さんは分速200mで走り、休みの時間を90秒とします。

いま、2つの地点の中間地点から太郎さんがA地点へ、

次郎さんがB地点へ向かって同時に走り始めました。

9221

このとき、次の問い に答えなさい。

(1)

太郎さんが初めてB地点から出発するとき、

次郎さんと何m はなれているかを求めなさい。

(2)

2人が同じ方向に向かって走っているときに、

初めて800mはなれるのは走り始めてから何分後ですか。

(3)

太郎さんがA地点、B地点を経て出発地点を通過した後、

コースの途中で向きを変えて次郎さんと同時にB地点に到着したい。

このとき、太郎さんはA地点から何mはなれた地点で

向きを変えればよいかを求めなさい。

720

Paper
 

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----------------------------------------------------

解法のヒント

図で表すと考えやすくなります。

(1)

9251

太郎がB地点を出発するまでの時間は、

図からわかるように、

3000÷250+2=14より

14分後です。

5802_2

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

9252

そのとき次郎は図のように

14-(1000÷200+1.5)=7.5 より、

B地点から7.5分後のところにいます。

きょりはB地点から、

200×7.5=1500mです。

(2)

9253

図のように次郎がA地点に着いたとき、16.5分後なので、

太郎は、250×(16.5-14)=625m より、

A地点から、2000-625=1375mで、

800m以上の差がついています。

太郎がA地点を出発するときは23分後なので、

そのとき次郎は、A地点から5分後の

200×5=1000mの中間地点にいます。

そこから、1000-800=200m差が縮まる時間は、

200÷(250-200)=4分後なので、

23+4=27分後になります。

(3)

9254

図のように、太郎が中間地点まで来るのに、18分

このとき次郎は、A地点を出発しようとしています。

B地点まで10分で到着するので、

太郎の中間地点から折り返し点までのきょりを△mとすると、

(1000+2×△)÷250=10 なので、

2×△=1500

△=750 より、

A地点から、

1000-750=250mの地点で折り返せばいいわけです。

6082

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682

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底面が動く水槽問題(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ60cmのAの ところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分2cmの速さで底面を上げていったところ、

3分後の水面の高さは Aから8cm になりました。

(1) 水は毎分何しℓずつ入りますか。

(2) 水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。

(3) 水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを1/3にして、

  水を入れる量を2倍にした ところ、

  水を入れ始めてから 24分後に水そうがいっぱいになりました。

  口に入る数を求めなさい。

11171

Paper

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解法のヒント

底面は毎分2cmで上がりますから、

3分では、2×3=6cm上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

11173

3分後水面の高さはAから8cmの高さになったので、

底面から水面までは、8-6=2cm

Pce022s

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解法例

(1)

40×25×2=2000立方cm=2ℓ

1分間に、2÷3=2/3ℓ

(2)

水は1分間に底面から、

2/3ℓ÷(40cm×25cm)=2/3cm上昇します。

△分で60cmになるとすると、

2×△+2/3×△=60

8/3×△=60

△=22.5分

(3)

□分間は、水面は1分間に

2+2/3=8/3cm上がります。

□分後~24分の間は、

2×1/3+2×2/3=2/3+4/3=6/3cm上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

11172

1分間に8/3cmのままなら24分間で64cmなので、

白い部分の面積は4ということになり、

PQ=8/3-6/3=2/3 より、

QRの長さは、

4÷2/3=6となるので、

□=24-6=18分です。

6082

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682

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切られる立方体はいくつ?(筑波大学附属中学 2017年)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

Paper
 

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

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解法例

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

6082

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682

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もっ とも高い得点は?(今年 2018年 吉祥女子中学)

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1から5までの数字が表に書かれたカードが3枚ずつ、合計15枚あります。

これらのカードを裏にしておき、1枚ずつ順に表にしていくゲームをし ます。

同じ数字が書かれたカードが3枚とも表になったらこのゲームは終了 とし、

その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。

たとえば、表にしたカードの数字が順に4➡44 の場合は

4+4+4=12(点)

5 の 場合は

5+5+1+5=16(点)

2 の場合は

3+2+2+5+2=14(点) となります。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。

(2)8枚めくった時点でゲームが終了したとき、

   考えられる得点のうちでもっ とも高い得点は何点ですか。

(3)ゲームが終了したとき、表になっているカードに書かれた数字は

   4種類で、得点は30点でした。

   このとき、最後にめくったカードに書かれた数字として

   考えられるものをすべて答えなさい。

Toy3013s  

60814

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解法例はこちら!

6084

(1)

5+51=35点

(2)

5+5+5+4+4+3+3+2=31点

(3)

最後のカードが5の場合、

30-5×3=15なので、

4×2+3+2×2=15より、5は可能。

最後のカードが4の場合、

30-4×3=18なので、

5×2+3×2+2=18より、4も可能。

最後のカードが3の場合、

30-3×3=21なので、

5と4と2と1から3種類選んで21にするのは不可能。

最後のカードが2の場合、

30-2×3=24なので、

5×2+4×2+3×2=24より、2は可能。

最後のカードが1の場合、

30-1×3=27なので、

5と4と3と2から3種類選んで27にするのは不可能。

よって、5、4、2

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682

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ア~ウにあてはまる数は?(今年 2018年 フェリス女学院中学)

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点Oを中心とする半径 4.5cmの大きい円の周上に点P、

半径3.6cmの小さい円の周上に点Qがあります。

はじめ3点O、P、Qは、図のように一直線上に並んでいます。

はじめの位置から点Pは反時計回りに大きい円の周上を、

点Qは時計回りに小さい円の周上を同時に出発して同じ速さで進み、

同時にはじめの位置に戻ったときに止ま ります。

次のア~ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

はじめてO、P、Qが一直線上に並ぶまでに

点Pが進む道のりは( ア )cmです。

三角形OPQ の面積が最も大きくなるとき、その面積は( イ )㎠であり、

このような場合は( ウ )回あります。

5151

60814

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----------------------------------------------------

解法例はこちらに!

半径の比が、4.5:3.6=5:4 なので、

同じ速さで、同じ時間に進む角度は、逆比になり4:5

一直線になるのは180°なので、

図のように、Pは4.5×2×3.14-80/360cm進み、

5152

ア=9×3.14×2/9=6.28cm

5882

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

△OPQの面積が最大になるのは、

図のように、OPを底辺にした場合、

高さが最大になるのOQがOPに対して直角になったときで、

5153

イ=4.5×3.6÷2=8.1㎠

止まるときはQが5周、Pが4周しています。

Pが40°、80°、120°、160°、200°、

240°280°、320°、360°のときに

OQと90°(△OPQの面積が最大)と180°(一直線)を繰り返すので、

Pが1周目、5回直角

Pが2周目、4回直角

Pが3周目、5回直角

Pが4周目、4回直角 より、

ウ=18回

6082

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682

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点Dを含む立体の体積は?(今年 2018年 芝中学)

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1辺が3cmの立方体を下の図の様に

辺を3等分した点A、Bと頂 点Cを結んで切ります。

DEの長さは何cmですか。

また、点Dを含む立体の体積は何立方cmですか。

11081_2

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

51

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解法のヒント

切り口は図のようになります。

11082

EAとBCは平行になります。

11083

△AEFと△BCGは相似になり、

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解法例

CG:GB=3:2=EF:FA

EF=1×3/2=1.5cm

DE=1.5cm

11083

Dを含む立体は図のように、

底辺がAPQDE、頂点がCの五角すいと、

底辺がBRQDS、頂点がCの五角すいと、

底辺がEDS、頂点がCの三角すいでできています。

11084

高さはいずれも3cmなので、

(3×3-1×1.5÷2)×3÷3×2+

1.5×1.5÷2×3÷3

=8.25×2+1.125

=17.625立方cm

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682

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∠Ⅹ=?、∠Y=?(今年 2018年 立教新座中学)

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正六角形と正五角形が図のように重なっています。

正五角形の中にある線は,正六角形の 頂点を結んだ線をのばしたものです。

角 x、y はそれぞれ何度ですか。

11061

Paper

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解法のヒント

11062

 △緑は二等辺三角形で、

正六角形の1つの頂点の内角は120°ですから、

∠〇=(180-120)÷2=30°

Freeillust32913

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解法例

11063


正五角形の1つの頂点の内角は108°なので、

∠Ⅹ=30+108=138°

△黄も二等辺三角形なので、

∠×=180-30×2=120°

∠●=180-120=60°

∠◎=180-(30+60)=90°

五角形青の内角の和は540°なので、

∠Y=540-(108×2+138+90)=96°

Freeillust329132

 

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682

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切断面の形と糸の動く範囲は?(今年、2018年 駒場東邦中学)

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図のような1辺の長さが6cmの正三角形が4つと、

正方形からできる四角錐O-ABCDについて

辺 AB、OB、CDの真ん中の点をそれぞれL、M、N とします。

281

ただ し、円周率は3.14として、次の問いに答え なさい。

(1)3点L、M、Nを含む平面でこの四角錐 を切り分けます。

 ①切断面はどのような図形か答えなさい。

 ②切断面の周の長さを答えなさい。


解法例は下にスクロールしてください!

5882

 

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(1)

Bandicam_20180208_084818704_2

Bandicam_20180208_084906570

①図のように等脚台形になります。

Bandicam_20180208_085030889

Bandicam_20180208_085053048

②周の長さは、図のように、

6+3×3=15cm

Panda250

(2)頂点Oに長さ6cmの糸をつけます。

282

  もう片方の糸の先端が、

  この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

 ①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

 ②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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(2)

Bandicam_20180208_085638250

②面積は、

6×6×3.14×(60×4)/360=75.36㎠

6083

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682

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折られた面積は?(今年 2018年 早稲田実業学校中等部)

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一辺の長さが9cmで、

表が黄色、裏が緑色の正方形の折り紙ABCDがあります。

点Pを折り紙の上にとり、頂点Aが点Pに重なるように折って、

図1のように緑図形を作ります。

このとき、次の各問い に答えなさい。

図1

311

(1)図2のように点Pを正方形の対角線AC上にとり、

緑図形を作ったところ、

緑図形の面積と 表の黄色部分の面積の比が1:2になりました。

APの長さを求めなさい。

図2

312

60814

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(1)折られた白い三角形の面積比も1なので、

△白+△緑=1+1=2 となり、

この小さな正方形は正方形ABCDの半分になります。

面積は、9×9÷2=81/2 なので、

AP×AP=81/2×2=81 となり、

AP=9cm


(2)図3のように点Pを DP=3cm となるように辺CD上にとり、

緑図形を作ったところ、DQ=4cmとなりました。

緑図形の面積を求めなさい。

図3

313

 

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(2)

314

DQ=4cmなので、AQ=OQ=9-4=5cm

△DPQは辺の比が3:4:5の直角三角形で、

△DPQと△CGPと△FGEは相似になります。

CG=(9-3)×3/4=4.5cm

BG=9-4.5=4.5cm

BE=4.5×4/(5+4)=2cm

緑部分=台形ABEQ=(2+5)×9÷2=31.5㎠

(3)頂点Aから点Pを出発させ、

緑図形が三角形になるように点Pを動かします。

点Pの動ける 範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。

316

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(3)三角形の1辺は正方形の1辺の長さを超えないので、

AB、ADをそれぞれ固定して考えると

下の図のように、Pの動ける限界線が決まります。

Gif31

範囲は下の図のように木の葉形になります。

315

 

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682

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