ア~ウにあてはまる数は?(今年 2018年 フェリス女学院中学)
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点Oを中心とする半径 4.5cmの大きい円の周上に点P、
半径3.6cmの小さい円の周上に点Qがあります。
はじめ3点O、P、Qは、図のように一直線上に並んでいます。
はじめの位置から点Pは反時計回りに大きい円の周上を、
点Qは時計回りに小さい円の周上を同時に出発して同じ速さで進み、
同時にはじめの位置に戻ったときに止ま
ります。
次のア~ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
はじめてO、P、Qが一直線上に並ぶまでに
点Pが進む道のりは( ア )cmです。
三角形OPQ の面積が最も大きくなるとき、その面積は( イ )㎠であり、
このような場合は( ウ )回あります。
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解法例はこちらに!
半径の比が、4.5:3.6=5:4 なので、
同じ速さで、同じ時間に進む角度は、逆比になり4:5
一直線になるのは180°なので、
図のように、Pは4.5×2×3.14-80/360cm進み、
ア=9×3.14×2/9=6.28cm
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△OPQの面積が最大になるのは、
図のように、OPを底辺にした場合、
高さが最大になるのOQがOPに対して直角になったときで、
イ=4.5×3.6÷2=8.1㎠
止まるときはQが5周、Pが4周しています。
Pが40°、80°、120°、160°、200°、
240°280°、320°、360°のときに
OQと90°(△OPQの面積が最大)と180°(一直線)を繰り返すので、
Pが1周目、5回直角
Pが2周目、4回直角
Pが3周目、5回直角
Pが4周目、4回直角 より、
ウ=18回

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