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折られた面積は?(今年 2018年 早稲田実業学校中等部)

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一辺の長さが9cmで、

表が黄色、裏が緑色の正方形の折り紙ABCDがあります。

点Pを折り紙の上にとり、頂点Aが点Pに重なるように折って、

図1のように緑図形を作ります。

このとき、次の各問い に答えなさい。

図1

311

(1)図2のように点Pを正方形の対角線AC上にとり、

緑図形を作ったところ、

緑図形の面積と 表の黄色部分の面積の比が1:2になりました。

APの長さを求めなさい。

図2

312

60814

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(1)折られた白い三角形の面積比も1なので、

△白+△緑=1+1=2 となり、

この小さな正方形は正方形ABCDの半分になります。

面積は、9×9÷2=81/2 なので、

AP×AP=81/2×2=81 となり、

AP=9cm


(2)図3のように点Pを DP=3cm となるように辺CD上にとり、

緑図形を作ったところ、DQ=4cmとなりました。

緑図形の面積を求めなさい。

図3

313

 

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(2)

314

DQ=4cmなので、AQ=OQ=9-4=5cm

△DPQは辺の比が3:4:5の直角三角形で、

△DPQと△CGPと△FGEは相似になります。

CG=(9-3)×3/4=4.5cm

BG=9-4.5=4.5cm

BE=4.5×4/(5+4)=2cm

緑部分=台形ABEQ=(2+5)×9÷2=31.5㎠

(3)頂点Aから点Pを出発させ、

緑図形が三角形になるように点Pを動かします。

点Pの動ける 範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。

316

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(3)三角形の1辺は正方形の1辺の長さを超えないので、

AB、ADをそれぞれ固定して考えると

下の図のように、Pの動ける限界線が決まります。

Gif31

範囲は下の図のように木の葉形になります。

315

 

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682

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