中学受験算数   アニメーション教材

不思議な休憩室

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2018年12月

色部分の面積は?(鎌倉学園中学 2017年)

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図のように、直径が6cmの半円の紙を

中心Oが円周上にくるように折りました。

図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14と します。


3254

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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。

3252

△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、

ACとBOは平行になり、

△ABCは△AOCに等積移動できます。

3253

すると、白い部分は半径3cm、中心角60°の

扇形の面積に等しいので、

求める面積=3×3×3.14×1/2-3×3×3.14×1/6

=3×3×3.14×1/3

=3×3.14

=9.42㎠

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682

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正方形の1辺の長さは?(今年 2018年 神戸海星女子学院中学)

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下の図の色部分は、2辺 AD、 CD の長さが等しく、

角B、角Dが90度の四角形ABCDから正方形EFGDを除いた部分です。

この色部分の面積が21㎠になるとき、

正方形EFGDの1辺 の長さは何cmになりますか。

7241

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7242_2

直角二等辺三角形ACDの反対側に

合同な直角二等辺三角形を置いて、正方形AOCDを作ると、

色のついた直角三角形はすべて合同になります。

すると真ん中に1辺3cmの正方形ができます、

AI=(7-3)÷2=2cmなので、

色のついた直角三角形の面積は、

2×(3+2)÷2=5㎠

直角二等辺三角形ACDの面積=5×2+9÷2=14.5㎠

5角形ACGFEの面積=21-(3×7÷2)=10.5㎠

正方形EFGDの面積=14.5-10.5=4㎠

正方形EFGDの1辺の長さ=2cm

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682

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第2の冒険、連れ戻る方法は何通り?(今年 2018年 海城中学)

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第1の冒険はこちらに!

第2の冒険

第1の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を1つ進むごとに、

図の A、B、C地点をA→B・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を5つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

7231

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----------------------------------------------------

P地点まで勇者は7つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

7232

したがって、勇者は次にA地点で魔王と遭遇することになり、

P地点を通るルートは使えないことになります。

Q地点まで勇者は6つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

7233

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

Q地点を通るルートは使えないことになります。

R地点までも勇者は6つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

7234

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

R地点を通るルートは使えないことになります。

S地点まで勇者は7つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

7235

したがって、S地点を通るルートだけが姫を救出する道で、

図のように、S地点まで21通りの行き方があります。

次に姫を救出したとき、魔王はB地点にいます。

7236

図のように、C地点には行けず、

帰りのルートはA地点の方向になります。

7237

A地点に2人が来たとき、魔王はC地点にいるので、

B地点の方向には行けず、P地点に向かうことになります。

P地点から城へ帰る行き方は図のように35通りなので、

救出ルートは全部で、

21×1×1×35=735通りです。

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682

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すれ違う回数は何回?(今年 2018年  大妻嵐山中学)

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A市とB市を結ぶ鉄道があります。

この2市間は鉄道で3時間45分かかります。

どちらの駅からも、午前6時ちょうどから1時間ごとに列車が出発しています。

A市を午前10時 ちょうどに出発した列車が、

B市に着くまでに列車とすれ違う回数は何回ですか。

Train_greenTrain_orange



解法のヒントと解法例はスクロールで!

Wizard1456914_640

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解法のヒント

図のようにダイヤグラムで考えてみます。

10115

588

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解法例

図のように、

B市6時発の電車はA市9時45分着なので、

すれ違いません。

また、A市10時発の電車はB市13時45分着なので、

14時発の電車とはすれ違いません。

10114

その間の、7、8、9、10、11、12、13時発の電車とすれ違うので、

全部で7回です。

6082

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682

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色部分の面積は?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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半径12cm、中心角90°のおうぎ形と、

半径6cm、中心角90°のおうぎ形が図のように重なっています。

点BとCはAからDまでの弧を3等分した点です。

色部分の面積は何㎠ですか?

12211

102_2

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解法例

12212_2

∠AOB=∠BOC=∠COD=30° なので、

△BEOは90°60°30°の直角三角形になり、

BE=12×1/2=6cm

△BFO+△CGO=6×6÷2×2=36㎠

おうぎ形茶の面積=12×12×3.14×30/360=12×3.14㎠

色部分の合計から小さなおうぎ形を引くと、

36+12×3.14-6×6×3.14×90/360

=36+12×3.14-9×3.14

=36+3×3.14

=45.42㎠

51

 

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682

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なぞり方は何通り?(2019年 海陽中等教育学校(特別給費))

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点線で辺がかかれた正方形について、

正方形の中に書かれた数字の本数だけ辺を線でなぞります。

たとえば・・・

12181

などのようになります。

(1)

12182

となっているとき、辺のなぞり方は6通りあります。

6通りすべて書いてください。

(2)

12184_2

上の図において、辺のなぞり方がちょうど1通りとな るような

(あ)と(い)の組合せをすべてあげてください。

たとえば(あ)が3で(い)が2のときは(3、2)のように答えること。

(3)

12185

 となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

(4)

12187

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

(5)

下の図において、(う)と(え)と(お)になぞることのできる数の組を入れます。

このような数の組をすべて考えると、

辺のなぞり方は全部で何通りありますか。

12189

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解法例

(1)

12183

(2)

(0、0)、(3、0)、(0、3)、(1、4)、(4、1)、(4、4)

(3)

12186_2

左側の2本が中央の線をなぞらない3通りでは、

右側はそれぞれ3通りのなぞり方があるので、

3×3=9通り

左側の2本が中央の線をなぞる3通りでは、

右側の残る1本のなぞり方は図のように3通りなので、

3×3=9通り

全部で、9×2=18通り

(4)

12188

3の正方形は図のように3通りのなぞり方があり、

一番左の場合、それに応じた2の正方形のなぞり方で、

1の正方形のなぞり方が決まり、

真ん中と、右の場合は1の正方形のなぞり方は決まっているので、

2の正方形のなぞり方は2通りずつ、

したがって、全部で9通りのなぞり方があります。

(5)

121810

各辺はなぞるか、なぞらないかの2通りなので、

2×2××××××××

=1024通り

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682

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この回転体の体積は?(今年 2018年 駒場東邦中学)

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下の四角形 ABCD を直線 ℓ を軸として

1回転してできる立体の体積は何立方cmか求めなさい。

なお、AC=BC で BC と DA はそれぞれ ACに垂 直な直線です。

BC、DA の長さはそれぞれ15cm、 10cm で円周率は3.14とします。

ただし、円錐の体積は (底面積)×(高さ)÷3で求められます。

4171

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----------------------------------------------------

Gif417

このように、円すいを2つ重ねた立体になります。

重なった部分を引くことになりますが、

下図のように、△黄と△緑は相似で、

相似比は△黄:△緑=10:15=2:3 より、

AH=6cm、CH=9cmになります。

4172

10×10×3.14×15÷3-6×6×3.14×9÷3

15×15×3.14×15÷3-6×6×3.14×6÷3

=(500×3.14-108×3.14)+(1125×3.14-72×3.14)

=392×3.14+1053×3.14

=1445×3.14

=4537.3立方cm

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682

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正六角形ABCDEFの面積は?(今年 2018年 東京学芸大学附属世田谷中学)

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正六角形ABCDEFの対角線 AC,CE,AE,BD,DF,BF を結び、

それらの交点を図のようにG,H,I,J,K,Lとします。

すると、正六角形GHIJKLができます。

この正六角形の対角線 GI,IK,GK,HJ,JL,HLを結び、

それらの交点を図のようにM,N,O,P,Q,Rとします。

すると、正六角形MNOPQRができます。

正六角形MNOPQRの面積が10であるとき、


六角形ABCDEFの面積を求めなさい。

3191

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

3192

面積は、

△緑色=△黄色=△水色=△茶色

△青=△赤 となるので、

正六角形GHIJKLは正六角形MNOPQRの3倍で30

正六角形ABCDEFは正六角形GHIJKLの3倍で90

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682

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三角形ABEの面積は?(今年 2018年 志学館中等部)

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下の図で、四角形ABCDは辺ADと辺BCが平行 な台形です。

辺BCの長さは辺ADの長さの2倍で、

CEの長さはAEの長さの2倍です。

台形ABCDの 面積が72㎠のとき、

三角形ABEの面積は何㎠で すか。

12131

107

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----------------------------------------------------

解法例

109

△緑と△赤は高さが同じなので、

底辺の長さ比が、そのまま面積比になります。

12132

△緑:△赤=1:2

△黄と△水色も底辺比が1:2なので、

面積比も1:2

12133

△ABEの面積=72×2/3×1/3=16㎠

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682

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ゴールしたランナーの順位は?(今年 2018年 早稲田中学)

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ランナー A、B、C、D、E、F、Gの7人が400m競走を行いました。

途中経過は次のようでした。


AさんとCさんの間には2人のランナーがいます。

Gさんはこの時点で4位です。

Bさんのすぐ前にEさんがいます。

DさんはBさんの後方にいて,その間には2人のランナーがいます。


その後, Aさんが3人を追い抜いてゴールしました

ゴールしたランナーを1位から順に書きなさい。

Hasiru

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① AさんとCさんの間には2人のランナーがいます。

②Gさんはこの時点で4位です。

③Bさんのすぐ前にEさんがいます。

④DさんはBさんの後方にいて,その間には2人のランナーがいます。

⑤その後, Aさんが3人を追い抜いてゴールしました。

③と④より、

EB〇〇D・・・・⑥

ここにA〇〇Cあるいは、C〇〇Aをあてはめると、

A〇〇Cでは、②と⑤の条件にあわず、

C〇〇Aが条件に合うのは、

EBCGDAF となって、

ゴールした順位は、

E B A C G D F

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682

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出題頻度の多い基本問題です!(今年 2018年 函館ラ・サール中学)

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下の図のように、

直角三角形ABCを点Cを中心に時計回りに90°回転させました。

点Aが点A’、点Bが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。


Bandicam_20180405_095416466

102

解法例はスクロールした下の方にあります!

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解法例

Gif405_2  

6085

4051_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角90°、半径5cmの扇形から、

中心角90°、半径3cmの扇形を引けばよいことになります。

5×5×3.14×1/4-3×3×3.14×1/4

=(25-9)×3.14×1/4

=4×3.14

=12.56㎠

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682

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三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

60814
 

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解法例はこちら!

 6086

1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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682

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正方形の面積の何倍?(市川中学  2016年)

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Bandicam_20181206_090512975

この図は、正方形ABCDの中に4つの半円をかいたものです。

斜線部分の面積の合計は正方形ABCDの面積の何倍ですか?
102
解法例はスクロールした下の方あります!

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解法例
Bandicam_20181206_090531073
 
半円の半径をaとすると、

正方形の面積は、

(2×a)×(2×a)=4×a×a

a×a=Aとしてみます。

緑部分は、4×A×1/4=A

半円の面積は、

A×3.14×1/2

黄色部分の面積は、

A×3.14×1/2-A=A×(1.57-1)=0.57×A となるので、

黄色部分は緑部分の0.57倍になります。

4倍しても倍率は変わらないので、

斜線部分は正方形の0.57倍です。

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682

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

長さ比、面積比は?(今年 2018年 吉祥女子中学)

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図の四角柱は、底面が1辺5cmのひし形で、高さは5cmです。

点Mは 辺CG を二等分する点、

点Pは三角形AFHと直線CEの交わる点、

点Q は三角形AFH と直線MEの交わる点、

点Rは3点A、P、Qを通る直線と直線FHの交わる点です。

FHの長さが6cmで、ひし形ABCDの面積が24㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

12041

 

(1) ACの長さは何cmですか。

(2) FR:RH をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) AP:PR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(4) AQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(5) AP:PQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(6) 三角形EPQ の面積は何㎠ですか。

Santa3

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解法のヒント

Honeycam_20181204_081552

6082

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解法例

(1)ひし形の面積は、対角線×対角線÷2なので、

AC×6÷2=24 より、

AC=24×2÷6=8cm

(2)PもQも図のように対角線ACを含む

平面AEGC上にあるので、Rも同一平面上にあります。

12042

Rは対角線FHの中点になり、

FR:RH=1:1

(3)BFとDHが重なる方向から見ると、

12043

△AEPと△SRPは相似で相似比は2:1なので、

AP:PR=2:1

(4)TはSRの中点なので、

△AEQと△TRQは相似で相似比は4:1

AQ:QR=4:1

(5)AP:PRとAQ:QRの比の合計をそろえると、

 AP:PR=2:1=10:5

AQ:QR=4:1=12:3 より、

PQ=5-3=2

AP:PQ:QR=10:2:3

(6)

△EAPと△EPQと△EQRの面積比は10:2:3

△EARの面積=5×(8÷2)÷2=10㎠ より、

△EPQの面積=10×2/15=4/3㎠

6083

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682

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