どう解く？中学受験算数

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2018年12月26日 (水)

正方形の１辺の長さは？（今年　２０１８年　神戸海星女子学院中学）

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下の図の色部分は、２辺ＡＤ、ＣＤの長さが等しく、

角Ｂ、角Ｄが９０度の四角形ＡＢＣＤから正方形ＥＦＧＤを除いた部分です。

この色部分の面積が２１㎠になるとき、

正方形ＥＦＧＤの１辺の長さは何ｃｍになりますか。

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直角二等辺三角形ACDの反対側に

合同な直角二等辺三角形を置いて、正方形AOCDを作ると、

色のついた直角三角形はすべて合同になります。

すると真ん中に１辺３ｃｍの正方形ができます、

AI＝（７－３）÷２＝２ｃｍなので、

色のついた直角三角形の面積は、

２×（３＋２）÷２＝５㎠

直角二等辺三角形ACDの面積＝５×２＋９÷２＝１４．５㎠

５角形ACGFEの面積＝２１－（３×７÷２）＝１０．５㎠

正方形EFGDの面積＝１４．５－１０．５＝４㎠

正方形EFGDの１辺の長さ＝２ｃｍ

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2018年12月24日 (月)

第２の冒険、連れ戻る方法は何通り？（今年　２０１８年　海城中学）

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第１の冒険はこちらに！

第2の冒険

第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、

図のＡ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートするときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を５つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

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P地点まで勇者は７つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

したがって、勇者は次にA地点で魔王と遭遇することになり、

P地点を通るルートは使えないことになります。

Q地点まで勇者は６つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

Q地点を通るルートは使えないことになります。

R地点までも勇者は６つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

R地点を通るルートは使えないことになります。

S地点まで勇者は７つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

したがって、S地点を通るルートだけが姫を救出する道で、

図のように、S地点まで２１通りの行き方があります。

次に姫を救出したとき、魔王はB地点にいます。

図のように、C地点には行けず、

帰りのルートはA地点の方向になります。

A地点に２人が来たとき、魔王はC地点にいるので、

B地点の方向には行けず、P地点に向かうことになります。

P地点から城へ帰る行き方は図のように３５通りなので、

救出ルートは全部で、

２１×１×１×３５＝７３５通りです。

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2018年12月22日 (土)

すれ違う回数は何回？（今年　２０１８年　大妻嵐山中学）

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Ａ市とＢ市を結ぶ鉄道があります。

この２市間は鉄道で３時間４５分かかります。

どちらの駅からも、午前６時ちょうどから１時間ごとに列車が出発しています。

Ａ市を午前１０時ちょうどに出発した列車が、

Ｂ市に着くまでに列車とすれ違う回数は何回ですか。

解法のヒントと解法例はスクロールで！

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解法のヒント

図のようにダイヤグラムで考えてみます。

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解法例

図のように、

Ｂ市６時発の電車はＡ市９時４５分着なので、

すれ違いません。

また、Ａ市１０時発の電車はＢ市１３時４５分着なので、

１４時発の電車とはすれ違いません。

その間の、７、８、９、１０、１１、１２、１３時発の電車とすれ違うので、

全部で７回です。

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2018年12月21日 (金)

色部分の面積は？（今年　２０１８年　大阪星光学院中学）

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半径１２ｃｍ、中心角９０°のおうぎ形と、

半径６ｃｍ、中心角９０°のおうぎ形が図のように重なっています。

点ＢとＣはＡからＤまでの弧を３等分した点です。

色部分の面積は何㎠ですか？

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解法例

12212_2

∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝３０°　なので、

△ＢＥＯは９０°６０°３０°の直角三角形になり、

ＢＥ＝１２×１/２＝６ｃｍ

△ＢＦＯ＋△ＣＧＯ＝６×６÷２×２＝３６㎠

おうぎ形茶の面積＝１２×１２×３．１４×３０/３６０＝１２×３．１４㎠

色部分の合計から小さなおうぎ形を引くと、

３６＋１２×３．１４－６×６×３．１４×９０/３６０

＝３６＋１２×３．１４－９×３．１４

＝３６＋３×３．１４

＝４５．４２㎠

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2018年12月18日 (火)

なぞり方は何通り？（２０１９年　海陽中等教育学校（特別給費））

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点線で辺がかかれた正方形について、

正方形の中に書かれた数字の本数だけ辺を線でなぞります。

たとえば・・・

などのようになります。

（１）

となっているとき、辺のなぞり方は６通りあります。

６通りすべて書いてください。

（２）

12184_2

上の図において、辺のなぞり方がちょうど１通りとなるような

(あ)と(い)の組合せをすべてあげてください。

たとえば(あ)が３で（い)が２のときは（３、２）のように答えること。

（３）

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

（４）

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

（５）

下の図において、(う)と(え)と(お)になぞることのできる数の組を入れます。

このような数の組をすべて考えると、

辺のなぞり方は全部で何通りありますか。

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解法例

（１）

（２）

（０、０）、（３、０）、（０、３）、（１、４）、（４、１）、（４、４）

（３）

左側の２本が中央の線をなぞらない３通りでは、

右側はそれぞれ３通りのなぞり方があるので、

３×３＝９通り

左側の２本が中央の線をなぞる３通りでは、

右側の残る１本のなぞり方は図のように３通りなので、

３×３＝９通り

全部で、９×２＝１８通り

（４）

３の正方形は図のように３通りのなぞり方があり、

一番左の場合、それに応じた２の正方形のなぞり方で、

１の正方形のなぞり方が決まり、

真ん中と、右の場合は１の正方形のなぞり方は決まっているので、

２の正方形のなぞり方は２通りずつ、

したがって、全部で９通りのなぞり方があります。

（５）

各辺はなぞるか、なぞらないかの２通りなので、

２×２×２×２×２×２×２×２×２×２

＝１０２４通り

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2018年12月17日 (月)

この回転体の体積は？（今年　２０１８年　駒場東邦中学）

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下の四角形ＡＢＣＤを直線　ℓ　を軸として

１回転してできる立体の体積は何立方ｃｍか求めなさい。

なお、ＡＣ＝ＢＣでＢＣとＤＡはそれぞれＡＣに垂直な直線です。

ＢＣ、ＤＡの長さはそれぞれ１５ｃｍ、１０ｃｍで円周率は３．１４とします。

ただし、円錐の体積は (底面積)×(高さ)÷３で求められます。

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このように、円すいを２つ重ねた立体になります。

重なった部分を引くことになりますが、

下図のように、△黄と△緑は相似で、

相似比は△黄：△緑＝１０：１５＝２：３　より、

AH＝６ｃｍ、CH＝９ｃｍになります。

１０×１０×３．１４×１５÷３－６×６×３．１４×９÷３

＋

１５×１５×３．１４×１５÷３－６×６×３．１４×６÷３

＝（５００×３．１４－１０８×３．１４）＋（１１２５×３．１４－７２×３．１４）

＝３９２×３．１４＋１０５３×３．１４

＝１４４５×３．１４

＝４５３７．３立方ｃｍ

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2018年12月15日 (土)

正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は？（今年　２０１８年　東京学芸大学附属世田谷中学）

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正六角形ＡＢＣＤＥＦの対角線ＡＣ，ＣＥ，ＡＥ，ＢＤ，ＤＦ，ＢＦを結び、

それらの交点を図のようにＧ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌとします。

すると、正六角形ＧＨＩＪＫＬができます。

この正六角形の対角線ＧＩ，ＩＫ，ＧＫ，ＨＪ，ＪＬ，ＨＬを結び、

それらの交点を図のようにＭ，Ｎ，Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒとします。

すると、正六角形ＭＮＯＰＱＲができます。

正六角形ＭＮＯＰＱＲの面積が１０であるとき、

正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を求めなさい。

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面積は、

△緑色＝△黄色＝△水色＝△茶色

△青＝△赤　となるので、

正六角形GHIJKLは正六角形MNOPQRの３倍で３０

正六角形ABCDEFは正六角形GHIJKLの３倍で９０

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2018年12月13日 (木)

三角形ＡＢＥの面積は？（今年　２０１８年　志学館中等部）

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下の図で、四角形ＡＢＣＤは辺ＡＤと辺ＢＣが平行な台形です。

辺ＢＣの長さは辺ＡＤの長さの２倍で、

ＣＥの長さはＡＥの長さの２倍です。

台形ＡＢＣＤの面積が７２㎠のとき、

三角形ＡＢＥの面積は何㎠ですか。

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解法例

△緑と△赤は高さが同じなので、

底辺の長さ比が、そのまま面積比になります。

△緑：△赤＝１：２

△黄と△水色も底辺比が１：２なので、

面積比も１：２

△ＡＢＥの面積＝７２×２/３×１/３＝１６㎠

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2018年12月12日 (水)

ゴールしたランナーの順位は？（今年　２０１８年　早稲田中学）

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ランナーＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７人が４００ｍ競走を行いました。

途中経過は次のようでした。

ＡさんとＣさんの間には２人のランナーがいます。

Ｇさんはこの時点で４位です。

Ｂさんのすぐ前にＥさんがいます。

ＤさんはＢさんの後方にいて,その間には２人のランナーがいます。

その後, Ａさんが３人を追い抜いてゴールしました。

ゴールしたランナーを１位から順に書きなさい。

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① ＡさんとＣさんの間には２人のランナーがいます。

②Ｇさんはこの時点で４位です。

③Ｂさんのすぐ前にＥさんがいます。

④ＤさんはＢさんの後方にいて,その間には２人のランナーがいます。

⑤その後, Ａさんが３人を追い抜いてゴールしました。

③と④より、

EB〇〇D・・・・⑥

ここにA〇〇Cあるいは、C〇〇Aをあてはめると、

A〇〇Cでは、②と⑤の条件にあわず、

C〇〇Aが条件に合うのは、

EBCGDAF　となって、

ゴールした順位は、

E　B　A　C　G　D　F

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2018年12月11日 (火)

出題頻度の多い基本問題です！（今年　２０１８年　函館ラ・サール中学）

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下の図のように、

直角三角形ＡＢＣを点Ｃを中心に時計回りに９０°回転させました。

点Ａが点A’、点Ｂが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

解法例はスクロールした下の方にあります！

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解法例

Gif405_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角９０°、半径５ｃｍの扇形から、

中心角９０°、半径３ｃｍの扇形を引けばよいことになります。

５×５×３．１４×１/４－３×３×３．１４×１/４

＝（２５－９）×３．１４×１/４

＝４×３．１４

＝１２．５６㎠

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2018年12月 9日 (日)

三角形BCPの面積は？（今年　２０１８年　灘中学　１日目）

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下の図のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの内側に点Ｐをとり、

６つの頂点とＰをそれぞれ直線で結びます。

三角形ＡＢＰ、ＣＤＰ、ＥＦＰの面積がそれぞれ３㎠、５㎠、８㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

60814

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解法例はこちら！

△緑の面積＝△黄の面積

△水色の面積＝△茶の面積

四角形PBGCの面積＝３＋５＝８㎠

△赤も△青も△桃色も

正六角形の１辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

３つの三角形の高さの合計は②×３＝⑥

△赤と△青の高さの合計は８、△桃色の高さは８なので、

⑥＝８×２＝１６、③＝８

△青の高さは、③－②＝①　なので、

面積は、８×①/③＝８/３㎠

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2018年12月 6日 (木)

正方形の面積の何倍？（市川中学　　２０１６年）

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Bandicam_20181206_090512975

この図は、正方形ＡＢＣＤの中に４つの半円をかいたものです。

斜線部分の面積の合計は正方形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか？

解法例はスクロールした下の方あります！

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解法例

半円の半径をaとすると、

正方形の面積は、

（２×a）×（２×a）＝４×a×a

a×a＝Ａとしてみます。

緑部分は、４×Ａ×１/４＝Ａ

半円の面積は、

Ａ×３．１４×１/２

黄色部分の面積は、

Ａ×３．１４×１/２－Ａ＝Ａ×（１．５７－１）＝０．５７×Ａ　となるので、

黄色部分は緑部分の０．５７倍になります。

４倍しても倍率は変わらないので、

斜線部分は正方形の０．５７倍です。

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2018年12月 4日 (火)

長さ比、面積比は？（今年　２０１８年　吉祥女子中学）

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図の四角柱は、底面が１辺５ｃｍのひし形で、高さは５ｃｍです。

点Ｍは辺ＣＧを二等分する点、

点Ｐは三角形ＡＦＨと直線ＣＥの交わる点、

点Ｑは三角形ＡＦＨと直線ＭＥの交わる点、

点Ｒは３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る直線と直線ＦＨの交わる点です。

ＦＨの長さが６ｃｍで、ひし形ＡＢＣＤの面積が２４㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

（１）ＡＣの長さは何ｃｍですか。

（２）　ＦＲ：ＲＨをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（３）　ＡＰ：ＰＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（４）　ＡＱ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（５）　ＡＰ：ＰＱ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（６）三角形ＥＰＱの面積は何㎠ですか。

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解法のヒント

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解法例

（１）ひし形の面積は、対角線×対角線÷２なので、

ＡＣ×６÷２＝２４　より、

ＡＣ＝２４×２÷６＝８ｃｍ

（２）ＰもＱも図のように対角線ＡＣを含む

平面ＡＥＧＣ上にあるので、Ｒも同一平面上にあります。

Ｒは対角線ＦＨの中点になり、

ＦＲ：ＲＨ＝１：１

（３）ＢＦとＤＨが重なる方向から見ると、

△ＡＥＰと△ＳＲＰは相似で相似比は２：１なので、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１

（４）ＴはＳＲの中点なので、

△ＡＥＱと△ＴＲＱは相似で相似比は４：１

ＡＱ：ＱＲ＝４：１

（５）ＡＰ：ＰＲとＡＱ：ＱＲの比の合計をそろえると、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１＝１０：５

ＡＱ：ＱＲ＝４：１＝１２：３　より、

ＰＱ＝５－３＝２

ＡＰ：ＰＱ：ＱＲ＝１０：２：３

（６）

△ＥＡＰと△ＥＰＱと△ＥＱＲの面積比は１０：２：３

△ＥＡＲの面積＝５×（８÷２）÷２＝１０㎠　より、

△ＥＰＱの面積＝１０×２/１５＝４/３㎠

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