長さ比、面積比は？（今年 ２０１８年 吉祥女子中学）

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図の四角柱は、底面が１辺５ｃｍのひし形で、高さは５ｃｍです。

点Ｍは 辺ＣＧ を二等分する点、

点Ｐは三角形ＡＦＨと直線ＣＥの交わる点、

点Ｑ は三角形ＡＦＨ と直線ＭＥの交わる点、

点Ｒは３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る直線と直線ＦＨの交わる点です。

ＦＨの長さが６ｃｍで、ひし形ＡＢＣＤの面積が２４㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

（１） ＡＣの長さは何ｃｍですか。

（２）　ＦＲ：ＲＨ をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（３）　ＡＰ：ＰＲ をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（４）　ＡＱ：ＱＲ をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（５）　ＡＰ：ＰＱ：ＱＲ をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（６） 三角形ＥＰＱ の面積は何㎠ですか。

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解法のヒント

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解法例

（１）ひし形の面積は、対角線×対角線÷２なので、

ＡＣ×６÷２＝２４　より、

ＡＣ＝２４×２÷６＝８ｃｍ

（２）ＰもＱも図のように対角線ＡＣを含む

平面ＡＥＧＣ上にあるので、Ｒも同一平面上にあります。

Ｒは対角線ＦＨの中点になり、

ＦＲ：ＲＨ＝１：１

（３）ＢＦとＤＨが重なる方向から見ると、

△ＡＥＰと△ＳＲＰは相似で相似比は２：１なので、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１

（４）ＴはＳＲの中点なので、

△ＡＥＱと△ＴＲＱは相似で相似比は４：１

ＡＱ：ＱＲ＝４：１

（５）ＡＰ：ＰＲとＡＱ：ＱＲの比の合計をそろえると、

 ＡＰ：ＰＲ＝２：１＝１０：５

ＡＱ：ＱＲ＝４：１＝１２：３　より、

ＰＱ＝５－３＝２

ＡＰ：ＰＱ：ＱＲ＝１０：２：３

（６）

△ＥＡＰと△ＥＰＱと△ＥＱＲの面積比は１０：２：３

△ＥＡＲの面積＝５×（８÷２）÷２＝１０㎠　より、

△ＥＰＱの面積＝１０×２/１５＝４/３㎠

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