長さ比、面積比は?(今年 2018年 吉祥女子中学)
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図の四角柱は、底面が1辺5cmのひし形で、高さは5cmです。
点Mは 辺CG を二等分する点、
点Pは三角形AFHと直線CEの交わる点、
点Q は三角形AFH と直線MEの交わる点、
点Rは3点A、P、Qを通る直線と直線FHの交わる点です。
FHの長さが6cmで、ひし形ABCDの面積が24㎠のとき、
後の問いに答えなさい。
(1) ACの長さは何cmですか。
(2) FR:RH をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
(3) AP:PR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
(4) AQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
(5) AP:PQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
(6) 三角形EPQ の面積は何㎠ですか。
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解法のヒント
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解法例
(1)ひし形の面積は、対角線×対角線÷2なので、
AC×6÷2=24 より、
AC=24×2÷6=8cm
(2)PもQも図のように対角線ACを含む
平面AEGC上にあるので、Rも同一平面上にあります。
Rは対角線FHの中点になり、
FR:RH=1:1
(3)BFとDHが重なる方向から見ると、
△AEPと△SRPは相似で相似比は2:1なので、
AP:PR=2:1
(4)TはSRの中点なので、
△AEQと△TRQは相似で相似比は4:1
AQ:QR=4:1
(5)AP:PRとAQ:QRの比の合計をそろえると、
AP:PR=2:1=10:5
AQ:QR=4:1=12:3 より、
PQ=5-3=2
AP:PQ:QR=10:2:3
(6)
△EAPと△EPQと△EQRの面積比は10:2:3
△EARの面積=5×(8÷2)÷2=10㎠ より、
△EPQの面積=10×2/15=4/3㎠
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