中学受験算数   アニメーション教材

不思議な休憩室

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2019年1月

長さと表面積は?(今年 2019年 神戸女学院中学部)

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図1のような直方体を上下はそのままで4個はり合わせて、

図2のような立体を作ります。

図1の直方体4個分の表面積の和と図2の立体の表面積の比は

5:4となりました。

図1

1301

図2

1302

(1)「あ」の長さは何cmですか。

(2)図2の立体を2個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Pを中心に45°回転させて、図3のような立 体を作ります。

このとき、図3の立体の表面積を求めなさい。

図3

1303

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解法例

109

(1)図1の立体の表面積は、

3×6×2+3×あ×2+あ×6×2

=18×あ+36

その4個分は、

72×あ+144

図2の立体は、

3×あ×8=24×あ だけ表面積が少なくなっているので、

(72×あ+144):(48×あ+144)=5:4

4×(72×あ+144)=5×(48×あ+144)

288×あ+576=240×あ+720

48×あ=144

あ=3cm

(2)

1304

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

3×3÷2×2=.9㎠

この重なった部分は8個あるので、

9×8=72㎠

図2の立体2つ分の表面積は、

2×(48×3+144)=576㎠

図3の立体の表面積は

576-72=504㎠

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682

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色部分の面積は?(今年 2019年 ラ・サール中学)

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図の三角形ABCで角Aは直角、辺ABの長さは24cm、

辺ACの長さは15cmです。

さらに、ADの長さが6cm、AEの長さが10cm、

DFは辺ACと平行とします。

(1)DFの長さを求めなさい。

(2)色部分の面積を求めなさい。

1281

6082_2

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解法例

6085_2

1282

(1)

△EABと△FDBは相似で、

AB:DB=24:(24-6)=4:3

DF=10×3/4=7.5cm

(2)

△赤と△緑も相似で、

CE:DF=(15-10):7.5=2:3

△緑の底辺をDFとしたときの高さは、

6×3/5=3.6cm

求める面積=

(24×10÷2-18×7.5÷2)-7.5×3.6÷2

=(120-67.5)-13.5

=39㎠

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682

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最短距離で行く方法は何通り?(今年 2019年 甲陽学院中学)

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下の図のように、9つの小さな正方形の区画があり、

ななめにも進むことができます。

1区画だけななめに進んで よいとき、

AからBまで最短距離で行く方法は 何通りありますか。

Bandicam_20190125_100504327

103

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解法例

 下の図の青線区画を通るとき、

6通り

1251

下の図の青線区画を通るとき、

3通りずつ、3×2=6通り

1252

下の図の青線区画を通るとき、

1通りずつ、1×2=2通り

1253

下の図の青線区画を通るとき、

4通り

1254

下の図の青線区画を通るとき、

3通りずつ、3×2=6通り

1255

下の図の青線区画を通るとき、

6通り

1256

全部で、

6+6+2+4+6+6=30通り

 

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682

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色が塗られるのは何列目?(今年 2019年 渋谷教育学園幕張中学)

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図1のように、正方形のます目にななめに直線がひかれており、

そこに、あるきまりにしたがって色をぬっていきます。

小さな正方形の1辺の長さは1cmです。

図1

1233

 

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)4段目にはじめて色がぬられるのは何列目ですか。

(2)はじめて図2のように色がぬられるのは何列目ですか。

図2

1234

 (3)2019列目で色がぬられている部分の面積はあわせて何㎠ですか。

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解法例

6085

(1)

3列目で1段上がり、2段に、

3×3=9列目でさらに1段上がり、3段に、

次に1段上がり4段になるのは、

3×3×3=27列目

(2)

1234_2

4段目は、27×1=27

3段目は、9×2=18

1段目は、1×1=1

合計、27+18+1=46列目

(3)

1段目1個→1列目

2段目1個→3列目

3段目1個→9列目

4段目1個→27列目

5段目1個→81列目

6段目1個→243列目

7段目1個→729列目

8段目1個→2187列目

・・・・・

2019列目は

7段目×2+6段目×2+4段目×2+3段目×2+2段目×1

=729×2+243×2+27×2+9×2+3

=2019

1235

4.5㎠

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682

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△EDFと△EBDの面積は?(今年 2019年 東大寺学園中学)

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下の図において、三角形AEF、三角形FDC、三角形AFCの面積は

それぞれ4㎠、5㎠、6㎠です。

(1)三角形 EDFの面積を求めなさい。

(2)三角形 EBDの面積を求めなさい。

1231

108

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解法例

109

1231_2

(1)△ADC:△FDC=(6+5):5=11:5

AF:FD=6:5

△AED:△AEF=11:6 なので、

△AEF:△EDF=6:5 より、

△EDF=4×5/6=10/3㎠

3と1/3㎠

(2)△ADCと△EDCは共通な底辺DCなので、

高さの比は、△ADC:△EDC=11:(5+10/3)=11:25/3

△ABDと△EBDは共通の底辺BDなので、

面積比は、△ABD:△EBD=11:25/3

△EBDの面積を□㎠とすると、

(22/3+□):□=11:25/3

11×□=25/3×(22/3+□)

11×□-25/3×□=550/9

8/3×□=550/9

24×□=550

□=275/12㎠

22と11/12㎠

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682

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色部分の面積の和は?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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下の図のような点Oを中心とする円について、

色部分の面積の和は何㎠ですか?

1211_26082_2

 

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解法例

6085_2

PJを対象軸として、弧DFをABに移動すると、

IH=HG=CJ=JE=1cmなので、

弧ABCは円周の半部であることがわかります。

したがって、ACは直径になり、中心Oを通ります。

1212_4

求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、

OH=BH=HF=5cm なので、

円の半径を□cmとすると、

□×□÷2=5×5=25

□×□=50

DI=AG=12-5-5=2cm

CE=2cm

△黄=△ABG+台形BCEG-△ACE なので、

△黄=6×2÷2+(6+2)×12÷2-2×14÷2

=6+48-14

=40㎠

求める面積=50×3.14÷2-40=38.5㎠

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682

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△AEF の面積は何㎠?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図のような1辺の長さが15cm の正方形 ABCD があり、

Eは辺BCを3等分した点のうちBに近い方の点です。

△AEFの周の長さが最も短くなるように点Fを辺 CD 上にとるとき、

△AEF の面積は何㎠ですか。

1201

580

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解法例

6085_2

DCを鏡と考えると、

Aを出発した光はEの対称点Gに向かい、

Fで反射し、Eに最短距離で届きます。

∠AFD=∠GFC=∠EFC

1202

△黄と△緑は相似で相似比は、15:10=3:2

したがって、DF=15×3/5=9cm

FC=15×2/5=6cm

△AEFの面積は、

(15+10)×15÷2-(9×15÷2+6×15÷2)

=187.5-97.5

=90㎠

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682

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A、B、C、D、Eはいくつ?(今年 2019年 浦和明の星女子中学)

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1から9までの整数を書いたカードが1枚ずつあります。

このうち5枚のカードを選んで円形に並べ、

隣り合った2枚のカードに書いてある整数の差を

これら2枚のカードの間に書くことを2回行いました。

1回目は図1のようになりました。

図1

1181

2回目は図2のようになり、

整数A、B、C、D、Eの合計は21になりました。

A、B、C、D、Eを答えなさい。

図2

1182

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109

解法例

差が8は、1と9しかないので、

EABは918か192ですが、

918だと、21-(9+1+8)=3となり、

1はすでに使っているので、

合計が3となる組み合わせがありません。

したがって、EABは192となり、

21-(1+9+2)=9 なので、

DCは36か45の組み合わせですが、

差が3の組み合わせは3と6なので、

A=9、B=2、C=3、D=6、E=1

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682

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色部分の面積は?(今年 2019年 浦和明の星女子中学)

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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたもの です。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

1151

102

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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、

赤い部分は小さい円の3/4になります。

1152

緑部分の面積は、

半径4cm、中心角135°のおうぎ形から、

黄と赤部分を引いて求めます。

4×4×3.14×135/360-2×2×3.14×3/4

=6×3.14-3×3.14

=3×3.14

=9.42㎠

9.42-2×2÷2=7.42㎠

104

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682

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どんな図形に見えますか?(2018年 渋谷教育学園渋谷 中学)

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立方体を3つの頂点を通る平面で切り、

立方体から1つの三角すいを取り除いた図のような立体を作りました。

この立体の①の面を底面として机に置いたとき、

真上から見ると1つの平面図形に見えました。

その図形の名前はなんですか?

385

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図のような正六角形

Bandicam_20180308_112813942

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682

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ウサギとカメのかけ比べ(2017年 久留米大学附設中学)

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ウサギとカメが競走をします。

ウサギもカメも常に一定の速さで走り、

カメが1m走る間にウサギは8m走り ます。

同時にスタートした後、ウサギはスタートからゴールまでの距離の

4/5 を走ったところで寝てしまいました。

3時間寝てから起きると、

ずっと走り続けているカメにすでに追い越されていました。

ウサギはあわててカメを追 いかけましたが、

ウサギが4分30秒走ったところでカメが先にゴールしました。

(1)ウサギが寝始めたとき、

  カメはスタートからゴールまでの距離の[ア]を走ったところにいます。

  [ア]にあてはまる数を分数で答えてください。

(2)ウサギが寝始めたのは、スタートしてから何分何秒後ですか。

(3)カメがウサギを追い抜いたのは、スタートしてから何時間何分後ですか。

(4)カメがゴールしたとき、ウサギはゴールまであと50mの地点にいました。

  カメの速さは分速何mですか。

Chra059sSpeed_fast_rabbit


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(1)カメの速さはウサギの1/8なので、

4/5×1/8=1/10 のところです。

6212

(2)カメは残り9/10を3時間+4分30秒で走るので、

1/10を、(180+4.5)÷9=20.5分で走ります。

したがって、ウサギが寝始めたのはスタートして20分30秒後です。

(3)カメがウサギを追い抜いた地点は、

全体の8/10の地点なので、

20.5×8=164分=2時間44分後です。

(4)ウサギが4.5分走る距離をカメは、4.5×8=36分かかります。

2/10にカメは、20.5×2=41分かかるので、

50mを、41-36=5分で走ったことになり、

分速、50÷5=10mです。

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682

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今年、2019年も出題が予想される定番問題の解法例

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大阪星光学院中学 2010年改題

図のような1辺が12cmの正方形があります。

点Cを中心とする半径12cmの円と直線ABで囲まれた面積は何c㎡ですか。

1

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解法例

2_2

△BCDはBC:BD=2:1になる直角三角形なので、

正三角形の半分ですから、∠BCD=30゜

同様に∠ACE=30゜

したがって、∠ACB=30゜

△ACBと△緑は合同になります。

△緑=△ACB=12×6÷2=36c㎡

黄色部分=12×12×3.14×30/360-36=1.68c㎡


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慶應義塾中等部 2001年

大妻中学 2007年

下の図アのような、半径6cm、中心角90度の扇形の円周上に、

3等分する点A,Bがあります。

このとき、図の色のついた部分の面積を求めなさい。

      Pic_0443_2

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解法例

A,Bが円周を3等分する点なので、

扇形OCB,OAB,ODAは合同で、

中心角は90÷3=30度です。 

【 図 1 】      

 

       Pic_0444_2

 

すると、三角形OAEと三角形BOFが、OA=OBなので合同です。

よって、上の図1のように、

重なっていない緑の部分の面積が等しく、

求める部分の面積は、扇形OABの面積と等しくなり、

6×6×3.14×30/360=9.42c㎡ となります。

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682

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連続する自然数の最初の数字は?(滝中学 2018年)

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9個の連続する自然数の和が 90 になるとき、

連続する自然数の最初の数字を求めなさい。

6131

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□×9÷2=90 より、

□=20

連続する数が9個なので、

20÷2=10より、真ん中の数は図のように10になります。

6132

連続する9個の数列は、

6、7、8、9、10、11、12、13、14

したがって、最初の数字は6です。

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682

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角度、面積、長さは?(フェリス女学院中学 2017年)

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図のように、正方形ABCDと、直角三角形BEFと、

点Oを中心とする半径4cmの円があります。

黄色部分の面積の合計は29.16cmです。

3101

(1)角「あ」は何度ですか?

(2)三角形BEFの面積は何c㎡ですか?

(3)太青線の長さの合計は何cmですか?

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3102_2

(1)△ODFと△OIFは合同なので、

∠OFD=∠OFI

同様に、∠OEH=∠OEG

∠E+∠F=90° なので、

∠OFD+∠OEH=90÷2=45°

∠あ=180-45=135°

 

(2)緑部分も29.16c㎡

黄+緑=29.16×2=58.32c㎡

円O=4×4×3.14=50.24c㎡

赤部分=(8×8-50.24)÷4=3.44c㎡

△BEFの面積=58.32+50.24+3.44=112c㎡

 

(3)△EOFの面積=29.16+4×4×3.14×135/360=48c㎡

EF=48×2÷4=24cm

△OFI+△OEG=112-48-4×4=48c㎡

FI×4÷2+EG×4÷2=48

2×(FI+EG)=48

FI+EG=24cm

太青線の長さ=24+24+4+4=56cm

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682

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