どう解く？中学受験算数

2019年1月30日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 立体図形, パズル, クイズ, 表面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

色部分の面積は？（今年　２０１９年　ラ・サール中学）

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図の三角形ＡＢＣで角Ａは直角、辺ＡＢの長さは２４ｃｍ、

辺ＡＣの長さは１５ｃｍです。

さらに、ＡＤの長さが６ｃｍ、ＡＥの長さが１０ｃｍ、

ＤＦは辺ＡＣと平行とします。

（１）ＤＦの長さを求めなさい。

（２）色部分の面積を求めなさい。

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解法例

（１）

△ＥＡＢと△ＦＤＢは相似で、

ＡＢ：ＤＢ＝２４：（２４－６）＝４：３

ＤＦ＝１０×３/４＝７．５ｃｍ

（２）

△赤と△緑も相似で、

ＣＥ：ＤＦ＝（１５－１０）：７．５＝２：３

△緑の底辺をＤＦとしたときの高さは、

６×３/５＝３．６ｃｍ

求める面積＝

（２４×１０÷２－１８×７．５÷２）－７．５×３．６÷２

＝（１２０－６７．５）－１３．５

＝３９㎠

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2019年1月28日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

最短距離で行く方法は何通り？（今年　２０１９年　甲陽学院中学）

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下の図のように、９つの小さな正方形の区画があり、

ななめにも進むことができます。

１区画だけななめに進んでよいとき、

ＡからＢまで最短距離で行く方法は何通りありますか。

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解法例

下の図の青線区画を通るとき、

６通り

下の図の青線区画を通るとき、

３通りずつ、３×２＝６通り

下の図の青線区画を通るとき、

１通りずつ、１×２＝２通り

下の図の青線区画を通るとき、

４通り

下の図の青線区画を通るとき、

３通りずつ、３×２＝６通り

下の図の青線区画を通るとき、

６通り

全部で、

６＋６＋２＋４＋６＋６＝３０通り

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2019年1月26日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 場合の数, パズル, クイズ, 道順 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

色が塗られるのは何列目？（今年　２０１９年　渋谷教育学園幕張中学）

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図１のように、正方形のます目にななめに直線がひかれており、

そこに、あるきまりにしたがって色をぬっていきます。

小さな正方形の１辺の長さは１ｃｍです。

図１

このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）４段目にはじめて色がぬられるのは何列目ですか。

（２）はじめて図２のように色がぬられるのは何列目ですか。

図２

（３）２０１９列目で色がぬられている部分の面積はあわせて何㎠ですか。

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解法例

（１）

３列目で１段上がり、２段に、

３×３＝９列目でさらに１段上がり、３段に、

次に１段上がり４段になるのは、

３×３×３＝２７列目

（２）

４段目は、２７×１＝２７

３段目は、９×２＝１８

１段目は、１×１＝１

合計、２７＋１８＋１＝４６列目

（３）

１段目１個→１列目

２段目１個→３列目

３段目１個→９列目

４段目１個→２７列目

５段目１個→８１列目

６段目１個→２４３列目

７段目１個→７２９列目

８段目１個→２１８７列目

・・・・・

２０１９列目は

７段目×２＋６段目×２＋４段目×２＋３段目×２＋２段目×１

＝７２９×２＋２４３×２＋２７×２＋９×２＋３

＝２０１９

４．５㎠

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2019年1月24日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 規則性, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

△ＥＤＦと△ＥＢＤの面積は？（今年　２０１９年　東大寺学園中学）

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下の図において、三角形ＡＥＦ、三角形ＦＤＣ、三角形ＡＦＣの面積は

それぞれ４㎠、５㎠、６㎠です。

（１）三角形ＥＤＦの面積を求めなさい。

（２）三角形ＥＢＤの面積を求めなさい。

1231

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解法例

（１）△ＡＤＣ：△ＦＤＣ＝（６＋５）：５＝１１：５

ＡＦ：ＦＤ＝６：５

△ＡＥＤ：△ＡＥＦ＝１１：６　なので、

△ＡＥＦ：△ＥＤＦ＝６：５　より、

△ＥＤＦ＝４×５/６＝１０/３㎠

３と１/３㎠

（２）△ＡＤＣと△ＥＤＣは共通な底辺ＤＣなので、

高さの比は、△ＡＤＣ：△ＥＤＣ＝１１：（５＋１０/３）＝１１：２５/３

△ＡＢＤと△ＥＢＤは共通の底辺ＢＤなので、

面積比は、△ＡＢＤ：△ＥＢＤ＝１１：２５/３

△ＥＢＤの面積を□㎠とすると、

（２２/３＋□）：□＝１１：２５/３

１１×□＝２５/３×（２２/３＋□）

１１×□－２５/３×□＝５５０/９

８/３×□＝５５０/９

２４×□＝５５０

□＝２７５/１２㎠

２２と１１/１２㎠

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2019年1月23日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, 比と割合, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

色部分の面積の和は？（今年　２０１９年　灘中学　１日目）

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下の図のような点Ｏを中心とする円について、

色部分の面積の和は何㎠ですか？

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解法例

ＰＪを対象軸として、弧ＤＦをＡＢに移動すると、

ＩＨ＝ＨＧ＝ＣＪ＝ＪＥ＝１ｃｍなので、

弧ＡＢＣは円周の半部であることがわかります。

したがって、ＡＣは直径になり、中心Ｏを通ります。

求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、

ＯＨ＝ＢＨ＝ＨＦ＝５ｃｍ　なので、

円の半径を□ｃｍとすると、

□×□÷２＝５×５＝２５

□×□＝５０

ＤＩ＝ＡＧ＝１２－５－５＝２ｃｍ

ＣＥ＝２ｃｍ

△黄＝△ＡＢＧ＋台形ＢＣＥＧ－△ＡＣＥ　なので、

△黄＝６×２÷２＋（６＋２）×１２÷２－２×１４÷２

＝６＋４８－１４

＝４０㎠

求める面積＝５０×３．１４÷２－４０＝３８．５㎠

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2019年1月21日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

△AEF の面積は何㎠？（今年　2019年　大阪星光学院中学）

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下の図のような１辺の長さが１５ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、

Ｅは辺ＢＣを３等分した点のうちＢに近い方の点です。

△ＡＥＦの周の長さが最も短くなるように点Ｆを辺ＣＤ上にとるとき、

△AEF の面積は何㎠ですか。

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解法例

ＤＣを鏡と考えると、

Ａを出発した光はＥの対称点Ｇに向かい、

Ｆで反射し、Ｅに最短距離で届きます。

∠ＡＦＤ＝∠ＧＦＣ＝∠ＥＦＣ

△黄と△緑は相似で相似比は、１５：１０＝３：２

したがって、ＤＦ＝１５×３/５＝９ｃｍ

ＦＣ＝１５×２/５＝６ｃｍ

△ＡＥＦの面積は、

（１５＋１０）×１５÷２－（９×１５÷２＋６×１５÷２）

＝１８７．５－９７．５

＝９０㎠

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2019年1月20日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅはいくつ？（今年　２０１９年　浦和明の星女子中学）

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１から９までの整数を書いたカードが１枚ずつあります。

このうち５枚のカードを選んで円形に並べ、

隣り合った２枚のカードに書いてある整数の差を

これら２枚のカードの間に書くことを２回行いました。

１回目は図１のようになりました。

図１

1181

２回目は図２のようになり、

整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの合計は２１になりました。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを答えなさい。

図２

1182

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解法例

差が８は、１と９しかないので、

ＥＡＢは９１８か１９２ですが、

９１８だと、２１－（９＋１＋８）＝３となり、

１はすでに使っているので、

合計が３となる組み合わせがありません。

したがって、ＥＡＢは１９２となり、

２１－（１＋９＋２）＝９　なので、

ＤＣは３６か４５の組み合わせですが、

差が３の組み合わせは３と６なので、

Ａ＝９、Ｂ＝２、Ｃ＝３、Ｄ＝６、Ｅ＝１

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2019年1月18日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 論証と推理, パズル, 数の性質, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

色部分の面積は？（今年　２０１９年　浦和明の星女子中学）

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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたものです。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、

赤い部分は小さい円の３/４になります。

緑部分の面積は、

半径４ｃｍ、中心角１３５°のおうぎ形から、

黄と赤部分を引いて求めます。

４×４×３．１４×１３５/３６０－２×２×３．１４×３/４

＝６×３．１４－３×３．１４

＝３×３．１４

＝９．４２㎠

９．４２－２×２÷２＝７．４２㎠

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2019年1月15日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | 0 | コメント (0)

どんな図形に見えますか？（２０１８年　渋谷教育学園渋谷中学）

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立方体を３つの頂点を通る平面で切り、

立方体から１つの三角すいを取り除いた図のような立体を作りました。

この立体の①の面を底面として机に置いたとき、

真上から見ると１つの平面図形に見えました。

その図形の名前はなんですか？

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図のような正六角形

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2019年1月13日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 立体図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

ウサギとカメのかけ比べ（２０１７年　久留米大学附設中学）

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ウサギとカメが競走をします。

ウサギもカメも常に一定の速さで走り、

カメが１ｍ走る間にウサギは８ｍ走ります。

同時にスタートした後、ウサギはスタートからゴールまでの距離の

４/５を走ったところで寝てしまいました。

３時間寝てから起きると、

ずっと走り続けているカメにすでに追い越されていました。

ウサギはあわててカメを追いかけましたが、

ウサギが４分３０秒走ったところでカメが先にゴールしました。

（１）ウサギが寝始めたとき、

　　カメはスタートからゴールまでの距離の[ア]を走ったところにいます。

　　[ア]にあてはまる数を分数で答えてください。

（２）ウサギが寝始めたのは、スタートしてから何分何秒後ですか。

（３）カメがウサギを追い抜いたのは、スタートしてから何時間何分後ですか。

（４）カメがゴールしたとき、ウサギはゴールまであと５０ｍの地点にいました。

　　カメの速さは分速何mですか。

Chra059s Speed_fast_rabbit

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（１）カメの速さはウサギの１/８なので、

４/５×１/８＝１/１０　のところです。

6212

（２）カメは残り９/１０を３時間＋４分３０秒で走るので、

１/１０を、（１８０＋４．５）÷９＝２０．５分で走ります。

したがって、ウサギが寝始めたのはスタートして２０分３０秒後です。

（３）カメがウサギを追い抜いた地点は、

全体の８/１０の地点なので、

２０．５×８＝１６４分＝２時間４４分後です。

（４）ウサギが４．５分走る距離をカメは、４．５×８＝３６分かかります。

２/１０にカメは、２０．５×２＝４１分かかるので、

５０ｍを、４１－３６＝５分で走ったことになり、

分速、５０÷５＝１０ｍです。

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2019年1月10日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 速さ, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

今年、２０１９年も出題が予想される定番問題の解法例

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大阪星光学院中学　２０１０年改題

図のような１辺が１２ｃｍの正方形があります。

点Cを中心とする半径１２ｃｍの円と直線ABで囲まれた面積は何ｃ㎡ですか。

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解法例

2_2

△BCDはBC：BD＝２：１になる直角三角形なので、

正三角形の半分ですから、∠BCD＝３０゜

同様に∠ACE＝３０゜

したがって、∠ACB=３０゜

△ACBと△緑は合同になります。

△緑＝△ACB＝１２×６÷２＝３６ｃ㎡

黄色部分＝１２×１２×３．１４×３０/３６０－３６＝１．６８ｃ㎡

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慶應義塾中等部　2001年

大妻中学　2007年

他

下の図アのような、半径６ｃｍ、中心角９０度の扇形の円周上に、

３等分する点Ａ，Ｂがあります。

このとき、図の色のついた部分の面積を求めなさい。

　　　　　　 Pic_0443_2

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解法例

Ａ，Ｂが円周を３等分する点なので、

扇形ＯＣＢ，ＯＡＢ，ＯＤＡは合同で、

中心角は９０÷３＝３０度です。　

【　図　１　】　　　　　　

すると、三角形ＯＡＥと三角形ＢＯＦが、ＯＡ＝ＯＢなので合同です。

よって、上の図１のように、

重なっていない緑の部分の面積が等しく、

求める部分の面積は、扇形ＯＡＢの面積と等しくなり、

６×６×３．１４×３０/３６０＝９．４２ｃ㎡　となります。

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2019年1月 8日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

連続する自然数の最初の数字は？（滝中学２０１８年）

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９個の連続する自然数の和が９０になるとき、

連続する自然数の最初の数字を求めなさい。

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□×９÷２＝９０　より、

□＝２０

連続する数が９個なので、

２０÷２＝１０より、真ん中の数は図のように１０になります。

連続する９個の数列は、

６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４

したがって、最初の数字は６です。

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2019年1月 4日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, パズル, 数の性質, クイズ | 固定リンク | 0 | コメント (0)

角度、面積、長さは？（フェリス女学院中学２０１７年）

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図のように、正方形ＡＢＣＤと、直角三角形ＢＥＦと、

点Ｏを中心とする半径４ｃｍの円があります。

黄色部分の面積の合計は２９．１６ｃｍです。

3101

（１）角「あ」は何度ですか？

（２）三角形ＢＥＦの面積は何ｃ㎡ですか？

（３）太青線の長さの合計は何ｃｍですか？

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（１）△ＯＤＦと△ＯＩＦは合同なので、

∠ＯＦＤ＝∠ＯＦＩ

同様に、∠ＯＥＨ＝∠ＯＥＧ

∠Ｅ＋∠Ｆ＝９０°　なので、

∠ＯＦＤ＋∠ＯＥＨ＝９０÷２＝４５°

∠あ＝１８０－４５＝１３５°

（２）緑部分も２９．１６ｃ㎡

黄＋緑＝２９．１６×２＝５８．３２ｃ㎡

円Ｏ＝４×４×３．１４＝５０．２４ｃ㎡

赤部分＝（８×８－５０．２４）÷４＝３．４４ｃ㎡

△ＢＥＦの面積＝５８．３２＋５０．２４＋３．４４＝１１２ｃ㎡

（３）△ＥＯＦの面積＝２９．１６＋４×４×３．１４×１３５/３６０＝４８ｃ㎡

ＥＦ＝４８×２÷４＝２４ｃｍ

△ＯＦＩ＋△ＯＥＧ＝１１２－４８－４×４＝４８ｃ㎡

ＦＩ×４÷２＋ＥＧ×４÷２＝４８

２×（ＦＩ＋ＥＧ）＝４８

ＦＩ＋ＥＧ＝２４ｃｍ

太青線の長さ＝２４＋２４＋４＋４＝５６ｃｍ

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