中学受験算数   アニメーション教材

不思議な休憩室

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2019年2月

黄色部分の面積は?(今年 2019年 早稲田中学)

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図の黄色部分は、

台形から半径が同じおうぎ形3つを取り除いたものです。

黄色部分の面積は何㎠ですか。

2261

6082

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----------------------------------------------------

解法例

6085

2262

△AEFと△EBHは合同なので、

AF=8÷2=4cm です。

△AEGは二等辺三角形なので、

∠AEF=∠AGF より、

△AEFと△AGFは合同になります。

AG=GD、AF=GI=4cm より、

△AGFと△GDIも合同になり、

∠AGF+∠DGI=90°

∠FGI=90°より、

AGDは直線になります。

ID=FG=3cm=EF=BH より、

BD=12cm

3つのおうぎ形の中心角の合計は270°

求める面積は、

(6+12)×8÷2-5×5×3.14×270/360

=72-58.87.5

=13.125㎠

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682

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角アの大きさは?(今年 2019年 海城中学)

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図のように、中心が同じ2つの円があります。

小さい円の半径は1cm、大き い円の半径は2cmです。

緑色部分と黄色部分の面積が同じになるとき、

角アの大きさを求めなさい。

2233

107

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----------------------------------------------------

解法例

109

 2×2×3.14×ア/360-1×1×3.14×ア/360

=1×1×3.14×(180-ア)/360

(2×2-1×1)×3.14×ア/360

=3.14×(180-ア)/360

3×ア/360=(180-ア)/360

3×ア=180-ア

4×ア=180

ア=45°

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682

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青の高さは何cm?(今年 2019年 女子学院中学)

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青、赤、白の3つの円柱の形をした積み木があります。

底面積は3つとも同じです。

赤の高さは白より 5cm高く、

青の上に白をのせたものと赤の高さの差は、青の高さの 3/5です。

青の高さは (ア)cmまたは(イ)cmです。

Honeycam_20190220_093502

103

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解法例

 2通り考えられるということですが・・・

まずこんな場合

2201

赤と白との差5cmが青の2/5に当たる場合、

青は、

5÷2/5=12.5cm・・・・・ア

次に考えられるのは、

こんな場合、

2202

青+青の3/5が赤と白の差5cmに当たる場合で、

青は、

5×5/8=25/8=3と1/8cm・・・・・イ

102

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682

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長さと面積は?(今年 2019年 武蔵中学)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

----------------------------------------------------

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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点Bの動いた道すじの長さは?(今年 2019年 栄光学園中学)

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半径10cmの円の内部に、

1辺の長さが10cmの正三角形ABCが図1のようにあります。

点Aをつけたまま、点Bが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図2)。

2111

     図1                        図2

次に、点Bをつけたまま、点Cが円周につくまで回転させます。

このような回転を同 じ向きに繰り返していきます。

図1の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を6回繰り返したとき、

点Bの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第2位まで求めなさい。

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----------------------------------------------------

解法例

6085

Bは図のような軌跡になるので、

2112

10×2×3.14×(60×4)/360

=20×3.14×2/3

=41.8.7cm

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682

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看板の方向と距離は?(今年 2019年 筑波大学附属駒場中学)

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0から2048までの数がひとつずつ書かれた、2049本の看板があります。

これらの看板 [0]、 [1]、[2] ・・・・[2048] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ1kmの道路に、

1本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [0]、東の端に [1] の看板を立てます。

続いて、次のように工事1、工事2、工事3、・・・・工事11を行います。

工事1: [0] と [1] の看板のちょうど中間地点に、[2] の看板を立てます。

2081

工事2:工事1までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [3]、[4] の看板を立てます。

2082

工事3:工事2までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [5]、.[6]、[7]、[8] の看板を立てます。

2083

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事11で [2048] の看板まで立てました。

このとき、[O]の看板と [2]の看板の間の距離は 1/2km、

[O]の看板と [3] の看板の間の距離は1/4kmです。

Panda250

(1)[0] の看板と [31] の看板の間の距離は何kmですか。

(2)[31] の看板から東西どちらに何km進めば、

    [2019] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

(3)この道路を[0]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

.   ちょうど、2019個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[0]の看板を1個目と数えます。

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解法例

(1)

工事2で、2×2+1=5本

工事3で、2×2×2+1=9本

工事4で、2×2×2×2+1=17本

工事5で、2×2×2×2×2+1=33本

の看板が立つので、

このとき、[31]の看板は東から4本目で、

[0]からの距離は、(32-3)/32=29/32km

(2)

工事5までで、[31]の東側には3本の看板が立っています。

工事6→3×2=6本

工事7→6×2=12本

工事8→12×2=24本

工事9→24×2=48本

工事10→48×2=96本

工事11→96×2=192本

[2019]の看板は、東から数えて、

(2048-2019)×2+1=59本目

[31]から192-59=133の距離があるので、

[31]から東に133/2048km

(3)

[2019]は東から数えて、

2049-2019+1=31番目です。

[2019]の東側には30本の看板が立っています。

看板は工事ごとに2倍-1本ずつ増えるので、

工事6から考えると、

2×2×2×2×2=32より

[64]から東側を調べると、

工事6

64   1

工事7

64 128 1

工事8

64 255 128 256 1

工事9

64 509 255 510 128 511 256 512 1

工事10

64〇509255510128511256512

一番右の〇=1024

工事11

64×〇×509××255××510××128××511××256××512××

一番右の×=2048

右から31番目は64の次の〇になるので、

1024-7=1017

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682

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ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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----------------------------------------------------

解法例

106

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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切り口の面積比は?(今年 2019年 麻布中学)

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

2点P、Qはそれぞれ2辺AB、CD上の点で、

AP:PB=4:3、CQ=QD です。

3点P、Q、Rを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

2042

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----------------------------------------------------

解法例

切り口は図のようになります。

2045

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

2044

△APTと△BPUは相似で、相似比は4:3

PTの長さを4とすると、PU=3

△REFと△QCSと△QDOは合同、

△REFと△RBPは相似で、相似比は1:2

△ODTと△PBUも相似で、相似比は1:2になります。

したがって、OTはPUの1/2で、1.5です。

QF=1.5+4=5.5

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、5.5×□

赤い切り口の面積は、5.5×□-1.5×□÷2

面積比は、

白:赤=5.5:4.75=22:19

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682

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切断面の形は?(今年 2019年 開成中学)

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次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。

また、辺 CD、EF、GC 上にそれぞれ点 P、Q、R があり、

DP=8cm、PC=12cm、EQ=4cm、CR=9cmが成り立っています。

2021

 

3点P、Q、R を通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をXとします。

図形 X を前から見ると(面 ABFE に垂直な方向から見ると)、

面積が228㎠の図形に見えます。

図形X を上から見ると(面 ABCD に垂直な方向から見ると)、

面積が 266㎠の図形に見えます。

2022

 

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 図形 X は何角形ですか。

(2) 直方体の高さ(辺 AE の長さ)は何cm ですか。

(3) 直方体の奥行き(辺 AD の長さ)は何cm ですか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

106

(1)切り口は図のような六角形です。

2023

(2)前から見ると下の図のように見えます。

2027

TQとPRは平行なので、

△TEQと△RCPは相似になり、

TE=4×3/4=3cm

六角形ATQFRP=228㎠なので、

AE=□cmとすると、

20×□-(4×3÷2+12×9÷2)=228

20×□-60=228

20×□=288

AE=□=14.4cm

(3)下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

2025

△TEQと△ODPは相似なので、

OD=8×3/4=6cm

△ODSと△TASも相似なので、

OD:TA=6:(14.4-3)=6:11.4=10:19より、

DS:SA=10:19

2026

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

DP:FQ=8:16=1:2より、

DS:BU=10:20

20×(⑩+⑲)-(8×⑩÷2+16×⑳÷2)=266

580まる-200まる=266

380まる=266

①=0.7

AD=29まる=0.7×29=20.3cm

 

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682

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