切断面の形は?(今年 2019年 開成中学)
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次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。
また、辺 CD、EF、GC 上にそれぞれ点 P、Q、R があり、
DP=8cm、PC=12cm、EQ=4cm、CR=9cmが成り立っています。
3点P、Q、R を通る平面でこの直方体を切断し、
切断したときにできる切り口の図形をXとします。
図形 X を前から見ると(面 ABFE に垂直な方向から見ると)、
面積が228㎠の図形に見えます。
図形X を上から見ると(面 ABCD に垂直な方向から見ると)、
面積が 266㎠の図形に見えます。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 図形 X は何角形ですか。
(2) 直方体の高さ(辺 AE の長さ)は何cm ですか。
(3) 直方体の奥行き(辺 AD の長さ)は何cm ですか。
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解法例
(1)切り口は図のような六角形です。
(2)前から見ると下の図のように見えます。
TQとPRは平行なので、
△TEQと△RCPは相似になり、
TE=4×3/4=3cm
六角形ATQFRP=228㎠なので、
AE=□cmとすると、
20×□-(4×3÷2+12×9÷2)=228
20×□-60=228
20×□=288
AE=□=14.4cm
(3)下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると
△TEQと△ODPは相似なので、
OD=8×3/4=6cm
△ODSと△TASも相似なので、
OD:TA=6:(14.4-3)=6:11.4=10:19より、
DS:SA=10:19
上から見ると、△緑どうしも相似になるので、
DP:FQ=8:16=1:2より、
DS:BU=10:20
20×(⑩+⑲)-(8×⑩÷2+16×⑳÷2)=266
580まる-200まる=266
380まる=266
①=0.7
AD=29まる=0.7×29=20.3cm
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