切断面の形は？（今年 ２０１９年 開成中学）

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次の図のような直方体 ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ　があります。

また、辺 ＣＤ、ＥＦ、ＧＣ 上にそれぞれ点　Ｐ、Ｑ、Ｒ　があり、

ＤＰ＝８ｃｍ、ＰＣ＝１２ｃｍ、ＥＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝９ｃｍが成り立っています。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒ を通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をＸとします。

図形 Ｘ を前から見ると(面 ＡＢＦＥ に垂直な方向から見ると)、

面積が２２８㎠の図形に見えます。

図形Ｘ を上から見ると(面 ＡＢＣＤ に垂直な方向から見ると)、

面積が ２６６㎠の図形に見えます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　図形 Ｘ は何角形ですか。

（２）　直方体の高さ(辺 ＡＥ の長さ)は何ｃｍ ですか。

（３）　直方体の奥行き(辺 ＡＤ の長さ)は何ｃｍ ですか。

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解法例

（１）切り口は図のような六角形です。

（２）前から見ると下の図のように見えます。

ＴＱとＰＲは平行なので、

△ＴＥＱと△ＲＣＰは相似になり、

ＴＥ＝４×３/４＝３ｃｍ

六角形ＡＴＱＦＲＰ＝２２８㎠なので、

ＡＥ＝□ｃｍとすると、

２０×□－（４×３÷２＋１２×９÷２）＝２２８

２０×□－６０＝２２８

２０×□＝２８８

ＡＥ＝□＝１４．４ｃｍ

（３）下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

△ＴＥＱと△ＯＤＰは相似なので、

ＯＤ＝８×３/４＝６ｃｍ

△ＯＤＳと△ＴＡＳも相似なので、

ＯＤ：ＴＡ＝６：（１４．４－３）＝６：１１．４＝１０：１９より、

ＤＳ：ＳＡ＝１０：１９

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

ＤＰ：ＦＱ＝８：１６＝１：２より、

ＤＳ：ＢＵ＝１０：２０

２０×（⑩＋⑲）－（８×⑩÷２＋１６×⑳÷２）＝２６６

５８０まる－２００まる＝２６６

３８０まる＝２６６

①＝０．７

ＡＤ＝２９まる＝０．７×２９＝２０．３ｃｍ

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