切り口の面積比は?(今年 2019年 麻布中学)
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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。
下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。
2点P、Qはそれぞれ2辺AB、CD上の点で、
AP:PB=4:3、CQ=QD です。
3点P、Q、Rを通る平面で立方体を切断したとき、
切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、
最も簡単な整数の比で答えなさい。
ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、
赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。
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解法例
切り口は図のようになります。
白は平行四辺形ですが、
赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。
△APTと△BPUは相似で、相似比は4:3
PTの長さを4とすると、PU=3
△REFと△QCSと△QDOは合同、
△REFと△RBPは相似で、相似比は1:2
△ODTと△PBUも相似で、相似比は1:2になります。
したがって、OTはPUの1/2で、1.5です。
QF=1.5+4=5.5
白と赤の高さは同じで、□とすると、
白い切り口の面積は、5.5×□
赤い切り口の面積は、5.5×□-1.5×□÷2
面積比は、
白:赤=5.5:4.75=22:19
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