切り口の面積比は？（今年 ２０１９年 麻布中学）

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

２点Ｐ、Ｑはそれぞれ２辺ＡＢ、ＣＤ上の点で、

ＡＰ：ＰＢ＝４：３、ＣＱ＝ＱＤ です。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

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解法例

切り口は図のようになります。

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

△ＡＰＴと△ＢＰＵは相似で、相似比は４：３

ＰＴの長さを４とすると、ＰＵ＝３

△ＲＥＦと△ＱＣＳと△ＱＤＯは合同、

△ＲＥＦと△ＲＢＰは相似で、相似比は１：２

△ＯＤＴと△ＰＢＵも相似で、相似比は１：２になります。

したがって、ＯＴはＰＵの１/２で、１．５です。

ＱＦ＝１．５＋４＝５．５

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、５．５×□

赤い切り口の面積は、５．５×□－１．５×□÷２

面積比は、

白：赤＝５．５：４．７５＝２２：１９

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