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切り口の面積比は?(今年 2019年 麻布中学)

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

2点P、Qはそれぞれ2辺AB、CD上の点で、

AP:PB=4:3、CQ=QD です。

3点P、Q、Rを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

2042

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解法例

切り口は図のようになります。

2045

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

2044

△APTと△BPUは相似で、相似比は4:3

PTの長さを4とすると、PU=3

△REFと△QCSと△QDOは合同、

△REFと△RBPは相似で、相似比は1:2

△ODTと△PBUも相似で、相似比は1:2になります。

したがって、OTはPUの1/2で、1.5です。

QF=1.5+4=5.5

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、5.5×□

赤い切り口の面積は、5.5×□-1.5×□÷2

面積比は、

白:赤=5.5:4.75=22:19

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682

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