看板の方向と距離は？（今年 ２０１９年 筑波大学附属駒場中学）

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０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。

これらの看板 [０]、 [１]、[２] ・・・・[２０４８] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、

１本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [０]、東の端に [１] の看板を立てます。

続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・・工事１１を行います。

工事１： [０] と [１] の看板のちょうど中間地点に、[２] の看板を立てます。

工事２：工事１までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [３]、[４] の看板を立てます。

工事３：工事２までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [５]、.[６]、[７]、[８] の看板を立てます。

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事１１で [２０４８] の看板まで立てました。

このとき、[Ｏ]の看板と [２]の看板の間の距離は １/２ｋｍ、

[O]の看板と [３] の看板の間の距離は１/４ｋｍです。

（１）[０] の看板と [３１] の看板の間の距離は何ｋｍですか。

（２）[３１] の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、

    [２０１９] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

（３）この道路を[０]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

.   ちょうど、２０１９個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[０]の看板を１個目と数えます。

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解法例

（１）

工事２で、２×２＋１＝５本

工事３で、２×２×２＋１＝９本

工事４で、２×２×２×２＋１＝１７本

工事５で、２×２×２×２×２＋１＝３３本

の看板が立つので、

このとき、[３１]の看板は東から４本目で、

[０]からの距離は、（３２－３）/３２＝２９/３２ｋｍ

（２）

工事５までで、[３１]の東側には３本の看板が立っています。

工事６→３×２＝６本

工事７→６×２＝１２本

工事８→１２×２＝２４本

工事９→２４×２＝４８本

工事１０→４８×２＝９６本

工事１１→９６×２＝１９２本

[２０１９]の看板は、東から数えて、

（２０４８－２０１９）×２＋１＝５９本目

[３１]から１９２－５９＝１３３の距離があるので、

[３１]から東に１３３/２０４８ｋｍ

（３）

[２０１９]は東から数えて、

２０４９－２０１９＋１＝３１番目です。

[２０１９]の東側には３０本の看板が立っています。

看板は工事ごとに２倍－１本ずつ増えるので、

工事６から考えると、

２×２×２×２×２＝３２より

[６４]から東側を調べると、

工事６

６４　　　１

工事７

６４　１２８　１

工事８

６４　２５５　１２８　２５６　１

工事９

６４　５０９　２５５　５１０　１２８　５１１　２５６　５１２　１

工事１０

６４〇５０９〇２５５〇５１０〇１２８〇５１１〇２５６〇５１２〇１

一番右の〇＝１０２４

工事１１

６４×〇×５０９×〇×２５５×〇×５１０×〇×１２８×〇×５１１×〇×２５６×〇×５１２×〇×１

一番右の×＝２０４８

右から３１番目は６４の次の〇になるので、

１０２４－７＝１０１７

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