立方体の体積の何倍？（今年 ２０１９年 渋谷教育学園渋谷中学）

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図のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。

また、点Ｉ、Ｊ、Ｋは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷３」で求められます。

（１）点Ｈ、Ｉ、Ｋ を通る平面

（２）点Ｂ、Ｄ、Ｅ を通る平面

（３）点Ｆ、Ｉ、Ｊ を通る平面

（４）点Ｂ、Ｄ、Ｈ を通る平面と、点Ｈ、Ｉ、Ｋ を通る平面の２つの平面で同時に切る

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解法例

（１）

図のように、Ａを含む立体は台形柱になるので、

立方体の１辺を１とすると、

（１＋１/２）×１×１/２＝３/４倍

（２）

図のようにＡを含む立体は三角すいになるので、

１×１×１/２×１/３＝１/６倍

（３）

 図のようにＡを含む立体は、

立方体からＣを含む立体を引いて求めます。

△ＯＣＩと△ＯＧＦは相似で、相似比は１：２なので、

Ｃを含む立体

＝１×１×１/２×２×１/３－１/２×１/２×１/２×１×１/３

＝１/３－１/２４

＝７/２４

Ａを含む立体＝１－７/２４＝１７/２４倍

（４）

△ＡＢＤを底面とする三角柱を

台形ＡＢＰＫを底辺とする台形柱.（①）と

△ＫＰＤを底面とする三角柱（②）に分けます。

Ａを含む立体は、

①＋（②－三角すいＨＫＰＤ）なので、

（１＋１/２）×１/２×１/２×１＋

（１/２×１/２×１/２×１－１/２×１/２×１/２×１×１/３）

＝３/８＋（１/８－１/２４）

＝３/８＋２/２４

＝９/２４＋２/２４

＝１１/２４倍

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