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立方体の体積の何倍?(今年 2019年 渋谷教育学園渋谷中学)

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図のような立方体ABCD-EFGHがあります。

また、点I、J、Kは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷3」で求められます。

2101

 

 

(1)点H、I、K を通る平面

(2)点B、D、E を通る平面

(3)点F、I、J を通る平面

(4)点B、D、H を通る平面と、点H、I、K を通る平面の2つの平面で同時に切る

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解法例

(1)

2102

図のように、Aを含む立体は台形柱になるので、

立方体の1辺を1とすると、

(1+1/2)×1×1/2=3/4倍

(2)

2103

図のようにAを含む立体は三角すいになるので、

1×1×1/2×1/3=1/6倍

(3)

2104

 図のようにAを含む立体は、

立方体からCを含む立体を引いて求めます。

△OCIと△OGFは相似で、相似比は1:2なので、

Cを含む立体

=1×1×1/2×2×1/3-1/2×1/2×1/2×1×1/3

=1/3-1/24

=7/24

Aを含む立体=1-7/24=17/24倍

(4)

2105

△ABDを底面とする三角柱を

台形ABPKを底辺とする台形柱.(①)と

△KPDを底面とする三角柱(②)に分けます。

Aを含む立体は、

①+(②-三角すいHKPD)なので、

(1+1/2)×1/2×1/2×1+

(1/2×1/2×1/2×1-1/2×1/2×1/2×1×1/3)

=3/8+(1/8-1/24)

=3/8+2/24

=9/24+2/24

=11/24倍

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682

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