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回転体の体積比は(今年 2019年 東大寺学園中学)

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下の図において,三角形 ABC は直角二等辺三角形で,

AC = BC = 9cm です。

BC を三等分する点をBに近い方から D, E とし,

Dを通り BC に垂直な直線をア,Eを通り BC に垂直な直線をイとします。


(1)三角形 ABC を直線アのまわりに1回転してできる立体の体積は,

   三角形 ABC を直線 AC のまわりに1回転してできる立体の体積の何倍ですか.


(2)三角形 ABCを直線イのまわりに1回転してできる立体の体積は,

   三角形 ABC を直線 AC のまわりに1回転してできる立体の体積の何倍ですか。

4091

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解法例

△ABCをACのまわりで1回転させると、

Honeycam-20190407-174131

円周率は共通なので、計算から除外して考えると、

この回転体の体積比は、

9×9×9×1/3=243

(1)は

Honeycam-20190407-164307

Bandicam-20190409-071445230

半径6cm、高さ9cmの円柱から

点線部分の円すいを引きます。

6×6×9-6×6×6×1/3

=252

体積比は、252/243=28/27

(2)は

Honeycam-20190407-165644

Bandicam-20190409-071959592 

円すいと円柱の重なった立体から、

点線部分の円すいを引きます。

6×6×6×1/3-3×3×3×1/3=63

3×3×6-3×3×3×1/3=45

63+45=108

体積比は、108/243=4/9

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682

 

 

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