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光が鏡で反射するときには、図１のように角アと角イが等しくなります。
図２のように、内側が 鏡の三角形 ＡＢＣを作り、
内部の点Ｐから辺ＡＣに向かって光を発射させたところ、
点 Ｑ、Ｒで反射して元の位置に戻りました。
「あ」の角度を求めなさい。
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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、
もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。
この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、
帰りは南か西のみ動くことができます。
第2の冒険
第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。
この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、
図の Ａ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。
勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。
したがって、勇者が道を５つ進んだときに、
魔王はB地点にいることになります。
勇者が魔王に出会わずに、
姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。
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図のような正五角形ＡＢＣＤＥがあります。点Ａを出発し、
さいころを投げて出た目が奇数ならば頂点をその目の数だけ時計周りに進み、
偶数ならば頂点をその目の数だけ反時計周りに進むゲームをします。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）２回さいころをふったとき、
点Ａにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。
（２）３回さいころをふったとき、
点Ａにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。
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Ａ君，Ｂ君の２人は，以下のルールでゲームをしました。
ルール
①最初は２人とも同じ広さの陣地をもっています。
②硬貨１枚を投げて，表が出ればＡ君の勝ち，裏が出ればＢ君の勝ちとします。
ただし，硬貨の表裏の出方は，等しいとします。
③勝った方は，負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。
（１）２回の勝負をして，Ａ君は１回目は勝ち，２回目は負けました。
このとき，Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。
（２）３回の勝負をしました。
（ア）Ａ君が３連勝したとき，Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。
（イ）Ａ君は２勝１敗でした。Ａ君の陣地が最大となるとき，
Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。
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ＡさんとＢ君がアメをそれぞれ１０個ずつ持っています。
２人はジャンケンをして、グーで勝つとアメを４個、チョキで勝つとアメを３個、
パーで勝つとアメを２個相手からもらうゲームをします。
どちらかのアメの個数がもう一人のアメの個数の３倍以上になった時点で、
アメを多く持っている方を勝者としてゲームは終了します。
ただし、ゲーム中に、あいこは一度もないものとして、次の問に答えなさい。
（１）２回目のゲームでＡさんが勝者として終了するとき、２人の手の出し方は全部で何通りありますか。
（２）３回目のゲームで終了するとき、２人の手の出し方は何通りありますか。
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３個のサイコロを同時に投げ、出た目の積を得点とするゲームをします。このゲームを３回行ったところ、２回目の得点は１回目の得点の半分、３回目の得点は２回目の得点の半分になり、３回の得点の合計は２１０点でした。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１回目、２回目、３回目の得点はそれぞれ何点ですか。
（２）３回とも必ず出ている目があります。その目を答えなさい。
（３）３回のゲームの中で、１回も出ていない可能性のある目をすべて答えなさい。
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Ａ，Ｂの２人が２５段の階段の一番下からスタートして、ジャンケンで勝った方だけが移動するゲームをしました。あいこは考えません。グーで勝つと３段、チョキは４段、パーは５段移動します。移動したら１回と数えます。３回目を終えたとき、Ａは下から９段目、Ｂは下から４段目にいました。６回目を終えたとき、下から１２段目で初めて２人は並びました。その後、Ａだけは一番上まで上っており始め、１２回目を終えたときに下から２３段目で、上ってきたＢと並びました。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）３回目を終えたとき、Ａはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。
（２）４回目、５回目はＢが勝ち、６回目はＡが勝ちました。Ｂの４，５，６回目の出し方をすべて答えなさい。
（３）７回目から１２回目までは、Ａは３勝３敗でした。この６回でＡはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。考えられる場合を全て答えなさい。
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１，２，３，４，５ の数字が書かれている ５枚のカードをよく混ぜて１枚引き、そのカードを元に戻します。これをくり返し、同じ数字のカードが出たら終了とし、それまでに出たカードの数字の合計を得点とします。たとえば、【１】、【２】、【１】の順でカードを引いた場合、３回で終了し、得点は ４点です。このとき、次の問に答えなさい。
（１）最大何回までカードを引くことができますか。また、最高点は何点ですか。
（２）４回で終了したとき、得点が８点になるカードの引き方は何通りありますか。
（３）得点が ８点で終了するカードの引き方は何通りありますか。
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あなたと海陽君が「３目並べ」をします｡「３目並べ」とは，図１の表の①～⑨の９か所に先攻が○，後攻が×を交互に入れていき，縦，横，斜めのいずれかに○が３つ連続して並べば先攻の勝ち，×が３つ連続して並べば後攻の勝ちとなるゲームのことです。
あなたが先攻で⑦をとり，海陽君が後攻で⑨をとりました（図２）
次にあなたは残りの７か所①～⑥，⑧のどこをとれば，その後に相手がどのようにとっても，あなたがうまくとれば必ず勝つことができますか。すべて選んで，①～⑥，⑧の記号で答えなさい。
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１から10までの数字が1つずつ書かれたカードが10枚あり、そのうち５枚は青字で、残りの５枚は赤字で書かれています。10枚のカードの中から５枚のカードを取り出して、青字で書かれた数字をすべて足すことにします。それぞれの５枚の組み合わせに対して、青い数字の和は矢印の右側の数になります。青字で書かれた数字を小さい順にすべて答えなさい。
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