ゲームをしたのは何回？（桜蔭 中学 ２０１９年）

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３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず３人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに１から 順に番号をふります。

番号の小さい順に３人ずつ 組み、 １回戦を行います。

３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、１番から １１番の参加者 １１人でトーナメントをするとき、

図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、

１０ 番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと ｄ、ｅの２回ゲームを行うと 優勝者が１人決まります。

図１

（１）１番から８１番の参加者 ８１人で１回戦を図２のように行うと、

優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？

図２

（２） １番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、

優勝者が１人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか？

（３）優勝者が１人決まるまでに合計 ２４　回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図３のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか？

図３

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　　　　　解法例はこちらに！

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• 平面図形（７２２）
• 速さ、旅人算（１３７）
• 図形や点の移動（１６３）
• 立体図形（３６１）
• 場合の数（１７７）
• 論理と推理（１２０）
• 規則性（１６１）
• 割合と比、食塩水の濃度（１０８）
• 時計算（１４）
• グラフと量の変化（５８）
• 計算の工夫（３８）
• 面積図（１１）
• ニュートン算（１５）
• 和と差（５３）
• 流水算（２０）
• 通過算（１８）
• 方陣算（１４）
• 折り紙（４５）
• N進法（１４）
• 仕事算（２２）
• 平均算（２５）
• 還元算（８）
• 年令算（９）
• 数の性質（１０８）
• ２量の関係（１６）
• 相当算（２０）
• 分配算（４）
• 帰一算（１）
• 消去算（１４）
• 差集め算（６）
• 日暦算（８）
• 算数オリンピック・高校生クイズ問題（１９）
• 倍数変化算（１）
• 過不足算（１２）
• 単位換算（１５）
• 魔方陣（１６）
• 周期（２７）
• 角度、相似、展開図、特殊算など細目別解法集
• 中学校別過去問
• ユーチューブ算数
• やりとり算（５）
• 集合算（１０）
• つるかめ算（３０）

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もっ とも高い得点は？（今年 ２０１８年 吉祥女子中学）

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１から５までの数字が表に書かれたカードが３枚ずつ、合計15枚あります。

これらのカードを裏にしておき、１枚ずつ順に表にしていくゲームをし ます。

同じ数字が書かれたカードが３枚とも表になったらこのゲームは終了 とし、

その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。

たとえば、表にしたカードの数字が順に４➡４➡４ の場合は

４＋４＋４＝１２(点)

５➡５➡１➡５ の 場合は

５＋５＋１＋５＝１６(点)

３➡２➡２➡５➡２ の場合は

３＋２＋２＋５＋２＝１４(点) となります。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。

（２）８枚めくった時点でゲームが終了したとき、

　　　考えられる得点のうちでもっ とも高い得点は何点ですか。

（３）ゲームが終了したとき、表になっているカードに書かれた数字は

　　　４種類で、得点は３０点でした。

　　　このとき、最後にめくったカードに書かれた数字として

　　　考えられるものをすべて答えなさい。

 

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解法例はこちら！

（１）

５＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝３５点

（２）

５＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＝３１点

（３）

最後のカードが５の場合、

３０－５×３＝１５なので、

４×２＋３＋２×２＝１５より、５は可能。

最後のカードが４の場合、

３０－４×３＝１８なので、

５×２＋３×２＋２＝１８より、４も可能。

最後のカードが３の場合、

３０－３×３＝２１なので、

５と４と２と１から３種類選んで２１にするのは不可能。

最後のカードが２の場合、

３０－２×３＝２４なので、

５×２＋４×２＋３×２＝２４より、２は可能。

最後のカードが１の場合、

３０－１×３＝２７なので、

５と４と３と２から３種類選んで２７にするのは不可能。

よって、５、４、２

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∠あの角度は？（今年 ２０１８年 早稲田実業学校中等部）

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光が鏡で反射するときには、図１のように角アと角イが等しくなります。

図２のように、内側が 鏡の三角形 ＡＢＣを作り、

内部の点Ｐから辺ＡＣに向かって光を発射させたところ、

点 Ｑ、Ｒで反射して元の位置に戻りました。

「あ」の角度を求めなさい。

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図解と解法例はこちらに！

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第２の冒険、連れ戻る方法は何通り？（今年 ２０１８年 海城中学）

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第2の冒険

第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、

図の Ａ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を５つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

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図解と解法例はこちらに！

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さいころの目の出方は何通り？（東邦大学付属東邦中学 ２０１４年 場合の数）

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図のような正五角形ＡＢＣＤＥがあります。点Ａを出発し、

さいころを投げて出た目が奇数ならば頂点をその目の数だけ時計周りに進み、

偶数ならば頂点をその目の数だけ反時計周りに進むゲームをします。

このとき、次の問いに答えなさい。


（１）２回さいころをふったとき、

　　　点Ａにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。

（２）３回さいころをふったとき、

　　　点Ａにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。

図解と解法例はこちらに！

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２０１５年（芝中学）陣地の広さの比は？

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Ａ君，Ｂ君の２人は，以下のルールでゲームをしました。

ルール

①最初は２人とも同じ広さの陣地をもっています。

②硬貨１枚を投げて，表が出ればＡ君の勝ち，裏が出ればＢ君の勝ちとします。

　　　ただし，硬貨の表裏の出方は，等しいとします。

③勝った方は，負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。

（１）２回の勝負をして，Ａ君は１回目は勝ち，２回目は負けました。

　　　このとき，Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。

（２）３回の勝負をしました。

　　（ア）Ａ君が３連勝したとき，Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。

　　（イ）Ａ君は２勝１敗でした。Ａ君の陣地が最大となるとき，

　　　　　　Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。

考え方と解法例はこちらに！

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２人の手の出し方は？（神奈川大学附属中学 2013年）

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ＡさんとＢ君がアメをそれぞれ１０個ずつ持っています。

２人はジャンケンをして、グーで勝つとアメを４個、チョキで勝つとアメを３個、

パーで勝つとアメを２個相手からもらうゲームをします。

どちらかのアメの個数がもう一人のアメの個数の３倍以上になった時点で、

アメを多く持っている方を勝者としてゲームは終了します。

ただし、ゲーム中に、あいこは一度もないものとして、次の問に答えなさい。

（１）２回目のゲームでＡさんが勝者として終了するとき、２人の手の出し方は全部で何通りありますか。

（２）３回目のゲームで終了するとき、２人の手の出し方は何通りありますか。

考え方と解法例はこちらに！

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サイコロゲーム問題 （洛星中学 2012年）

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３個のサイコロを同時に投げ、出た目の積を得点とするゲームをします。このゲームを３回行ったところ、２回目の得点は１回目の得点の半分、３回目の得点は２回目の得点の半分になり、３回の得点の合計は２１０点でした。このとき、次の問に答えなさい。

（１）１回目、２回目、３回目の得点はそれぞれ何点ですか。

（２）３回とも必ず出ている目があります。その目を答えなさい。

（３）３回のゲームの中で、１回も出ていない可能性のある目をすべて答えなさい。

考え方と解法例

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じゃんけんゲームの場合の数（雙葉中学 2014年）

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Ａ，Ｂの２人が２５段の階段の一番下からスタートして、ジャンケンで勝った方だけが移動するゲームをしました。あいこは考えません。グーで勝つと３段、チョキは４段、パーは５段移動します。移動したら１回と数えます。３回目を終えたとき、Ａは下から９段目、Ｂは下から４段目にいました。６回目を終えたとき、下から１２段目で初めて２人は並びました。その後、Ａだけは一番上まで上っており始め、１２回目を終えたときに下から２３段目で、上ってきたＢと並びました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）３回目を終えたとき、Ａはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。

（２）４回目、５回目はＢが勝ち、６回目はＡが勝ちました。Ｂの４，５，６回目の出し方をすべて答えなさい。

（３）７回目から１２回目までは、Ａは３勝３敗でした。この６回でＡはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。考えられる場合を全て答えなさい。

考え方と解法例

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