正方形の折り紙があります。この折り紙を次の手順で折っていきます。
(手順)
１ 頂点A、頂点Bが頂点D、頂点Cにそれぞれ重なるように半分に折り、
長方形DEFCをつくる。
２ 頂点Cを頂点Eに重なるように折る。
３ 頂点Fを頂点Dに重なるように折る。
４ 対角線 GH で折る。
この折り紙をもとの大きさまで広げたとき、
折り紙は折り目によっていくつに分けられていますか。
ただし、問題用紙や解答用紙を折ったり、切り取ったりしてはいけません。
------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------下の図のように、
正三角形を6つ用いてできる立体 ABCDE があり、
点P、Q、Rはそれぞれ辺 AB、BC、 CE の
真ん中の点です。
直線 PR と 平面 BCD の交わる点をSとするとき、
点 D、S、 Qは一直線上に並びます。
このとき、 DS:SQを答えなさい。
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立方体ABCD-EFGHにおいて 、
正方形ABCDの対角線ACを三等分する点をAに近い方から点P、Q
正方形FGCBの対角線FCを三等分する点をFに近い方から点R、S
正方形HDCGの対角線HCを三等分する点をHに近い方から点T、U とします。
次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ) ÷3で求められるものとします。
（１）
立方体を3点P、R、Tを通る平面で切断したときにできる切り口の図形を(ア)、
3点 Q、S、Uを通る平面で切断したときにできる切り口の図形を(イ)とします。
(ア)の面積と (イ)の面積の比を、
最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）
立方体を3点P、R、Tを通る平面と、3点Q、R、Tを通る平面で同時に切断したときにできる立体のうち、
点Bを含む立体と、点Eを含む立体の体積の比を、
最も簡単な整数の比で答えなさい。
2つの倉庫 A、Bに同じ個数の荷物が入っています。
Aに入っている荷物を小型トラックで、
Bに入っている荷物を大型トラックで運び出します。
それぞれの倉庫が空になるまで荷物を繰り返し
運び出したところ、
小型トラックが荷物を運んだ回数は、
大型トラックが荷物を運んだ回数より4回多くなりました。
また、小型トラックは毎回20個の荷物を運びましたが、
大型トラックは1回だけ10個以下の荷物を運び、
他は毎回32個の荷物を運びました。
大型トラックが荷物を運んだ回数と、
倉庫Bにもともと入っていた荷物の個数を答えなさい。
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図1のようなサイコロがあり、
向かい合う2つの面の目の数の和は7です。
このサイコロを8個使い、同じ目の数の面どうしをはり合わせて、
図2のような立方体を作りました。
このとき、 ア、イの目の数を答えなさい。
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３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。
ゲームは必ず３人で行います。
このトーナメントに参加する子どもたちに１から 順に番号をふります。
番号の小さい順に３人ずつ 組み、 １回戦を行います。
３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。
２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。
例えば、１番から １１番の参加者 １１人でトーナメントをするとき、
図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、
１０ 番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。
そのあと ｄ、ｅの２回ゲームを行うと 優勝者が１人決まります。
図１
（１）１番から８１番の参加者 ８１人で１回戦を図２のように行うと、
優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？
図２
（２） １番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、
優勝者が１人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか？
（３）優勝者が１人決まるまでに合計 ２４ 回ゲームが行われたとき、
トーナメントの決勝、準決勝は 図３のようになりました。
このときのトーナメントの参加者は何人ですか？
図３
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１から５までの数字が表に書かれたカードが３枚ずつ、合計15枚あります。
これらのカードを裏にしておき、１枚ずつ順に表にしていくゲームをし ます。
同じ数字が書かれたカードが３枚とも表になったらこのゲームは終了 とし、
その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。
たとえば、表にしたカードの数字が順に４➡４➡４ の場合は
４＋４＋４＝１２(点)
５➡５➡１➡５ の 場合は
５＋５＋１＋５＝１６(点)
３➡２➡２➡５➡２ の場合は
３＋２＋２＋５＋２＝１４(点) となります。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。
（２）８枚めくった時点でゲームが終了したとき、
考えられる得点のうちでもっ とも高い得点は何点ですか。
（３）ゲームが終了したとき、表になっているカードに書かれた数字は
４種類で、得点は３０点でした。
このとき、最後にめくったカードに書かれた数字として
考えられるものをすべて答えなさい。
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解法例はこちら！
（１）
５＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝３５点
（２）
５＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＝３１点
（３）
最後のカードが５の場合、
３０－５×３＝１５なので、
４×２＋３＋２×２＝１５より、５は可能。
最後のカードが４の場合、
３０－４×３＝１８なので、
５×２＋３×２＋２＝１８より、４も可能。
最後のカードが３の場合、
３０－３×３＝２１なので、
５と４と２と１から３種類選んで２１にするのは不可能。
最後のカードが２の場合、
３０－２×３＝２４なので、
５×２＋４×２＋３×２＝２４より、２は可能。
最後のカードが１の場合、
３０－１×３＝２７なので、
５と４と３と２から３種類選んで２７にするのは不可能。
よって、５、４、２
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光が鏡で反射するときには、図１のように角アと角イが等しくなります。
図２のように、内側が 鏡の三角形 ＡＢＣを作り、
内部の点Ｐから辺ＡＣに向かって光を発射させたところ、
点 Ｑ、Ｒで反射して元の位置に戻りました。
「あ」の角度を求めなさい。
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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、
もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。
この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、
帰りは南か西のみ動くことができます。
第2の冒険
第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。
この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、
図の Ａ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。
勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。
したがって、勇者が道を５つ進んだときに、
魔王はB地点にいることになります。
勇者が魔王に出会わずに、
姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。
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