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不思議な休憩室

カテゴリー「規則性」の200件の記事

看板の方向と距離は?(今年 2019年 筑波大学附属駒場中学)

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0から2048までの数がひとつずつ書かれた、2049本の看板があります。

これらの看板 [0]、 [1]、[2] ・・・・[2048] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ1kmの道路に、

1本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [0]、東の端に [1] の看板を立てます。

続いて、次のように工事1、工事2、工事3、・・・・工事11を行います。

工事1: [0] と [1] の看板のちょうど中間地点に、[2] の看板を立てます。

2081

工事2:工事1までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [3]、[4] の看板を立てます。

2082

工事3:工事2までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [5]、.[6]、[7]、[8] の看板を立てます。

2083

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事11で [2048] の看板まで立てました。

このとき、[O]の看板と [2]の看板の間の距離は 1/2km、

[O]の看板と [3] の看板の間の距離は1/4kmです。

Panda250

(1)[0] の看板と [31] の看板の間の距離は何kmですか。

(2)[31] の看板から東西どちらに何km進めば、

    [2019] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

(3)この道路を[0]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

.   ちょうど、2019個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[0]の看板を1個目と数えます。

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解法例

(1)

工事2で、2×2+1=5本

工事3で、2×2×2+1=9本

工事4で、2×2×2×2+1=17本

工事5で、2×2×2×2×2+1=33本

の看板が立つので、

このとき、[31]の看板は東から4本目で、

[0]からの距離は、(32-3)/32=29/32km

(2)

工事5までで、[31]の東側には3本の看板が立っています。

工事6→3×2=6本

工事7→6×2=12本

工事8→12×2=24本

工事9→24×2=48本

工事10→48×2=96本

工事11→96×2=192本

[2019]の看板は、東から数えて、

(2048-2019)×2+1=59本目

[31]から192-59=133の距離があるので、

[31]から東に133/2048km

(3)

[2019]は東から数えて、

2049-2019+1=31番目です。

[2019]の東側には30本の看板が立っています。

看板は工事ごとに2倍-1本ずつ増えるので、

工事6から考えると、

2×2×2×2×2=32より

[64]から東側を調べると、

工事6

64   1

工事7

64 128 1

工事8

64 255 128 256 1

工事9

64 509 255 510 128 511 256 512 1

工事10

64〇509255510128511256512

一番右の〇=1024

工事11

64×〇×509××255××510××128××511××256××512××

一番右の×=2048

右から31番目は64の次の〇になるので、

1024-7=1017

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色が塗られるのは何列目?(今年 2019年 渋谷教育学園幕張中学)

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図1のように、正方形のます目にななめに直線がひかれており、

そこに、あるきまりにしたがって色をぬっていきます。

小さな正方形の1辺の長さは1cmです。

図1

1233

 

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)4段目にはじめて色がぬられるのは何列目ですか。

(2)はじめて図2のように色がぬられるのは何列目ですか。

図2

1234

 (3)2019列目で色がぬられている部分の面積はあわせて何㎠ですか。

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解法例

6085

(1)

3列目で1段上がり、2段に、

3×3=9列目でさらに1段上がり、3段に、

次に1段上がり4段になるのは、

3×3×3=27列目

(2)

1234_2

4段目は、27×1=27

3段目は、9×2=18

1段目は、1×1=1

合計、27+18+1=46列目

(3)

1段目1個→1列目

2段目1個→3列目

3段目1個→9列目

4段目1個→27列目

5段目1個→81列目

6段目1個→243列目

7段目1個→729列目

8段目1個→2187列目

・・・・・

2019列目は

7段目×2+6段目×2+4段目×2+3段目×2+2段目×1

=729×2+243×2+27×2+9×2+3

=2019

1235

4.5㎠

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682

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タイルは何枚?(今年 2018年 横浜女学院中学)

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図のように、赤と白の三角形のタイルを規則にしたがって並べていきます。

11301_2

このとき,次の各問いに答えなさい。

(1)タイルを全部で16枚並べたとき、右端のタイルは何色ですか。

(2)赤いタイルを全部で19枚並べたとき、

       タイルは全部で何枚並んでいますか。

                考えられるすべての枚数を答えなさい。

(3)タイルを全部で157枚並べたとき、

       赤いタイルは全部で何枚並んでいますか。

103

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

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解法のヒント

図のように4つずつ区切って考えると、わかりやすいかも・・・

11302

104

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解法例


11302_2

(1)

16枚では4つずつのブロックが、

16÷4=4個並ぶので、右端は赤になります。

(2)

1つのブロックに赤いタイルは2個並ぶので、

19÷2=9あまり1 より、

4×9=36 なので、

37枚、38枚、39枚

(3)

157÷4=39あまり1 より、

39×2=78

78+1=79枚

102


 

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使うタイルは何枚?(今年 2018年 慶應義塾中等部)

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同じ大きさの正三角形のタイルが 140 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。

9081

(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、

  正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか?

  正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか?

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Gifz

図解と解法例はこちらに!

12

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並んでいる式はいくつ?(今年 2018年 渋谷教育学園渋谷中学)

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2018×1

2018×2

2018×3

2018×4

2018×5

2018×6

・・・・・

のように、2018に整 数を順にかけた式が並んでいます。

それらの式を計算して一の位の数のみをすべて加えたら、

2018 となりました。

並んでいる式はいくつありますか。

Write990373_640

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○×○×○×はいくつ?(今年 2018年 自修館中学)

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次のカンタロウ君とシュウ子さんの会話を読んで、各問いに答えなさい。

カンタロウ「○と×だけを使って数字を表す暗号を作ったんだ。」 ①

シュウ子「どんな暗号なの?」

カンタロウ「×が0、○が1、○×が2、○○が3、○××が4、・・・

             という記号を使った暗号だよ。」

シュウ子「なるほど、規則性がわかったかもしれないわ。

            5は(ア)じゃない?」

カンタロウ「おっ、正解。じゃあ、13 はどうなるでしょう?」

シュウ子「全部○になった次の数字は記号が増えるから・・・、(イ)ね。」

カンタロウ「これまた正解。この暗号は解読できてしまったみたいだね。」

シュウ子「じゃあ、私が○と×に◎を加えて

             新たな数字を表す暗号を作るわ。」

カンタロウ「どうなるの?」

シュウ子「×が0、○が1、が2、○×が3、○○が4、○が5、

 ×が6、○が7、が8、○××が9、・・・よ。

           さて、このとき 29 はどうなるでしょう。 」

カンタロウ「ちょっといきなり難しいなあ。えーっと・・・、(ウ)でどうかな?」

シュウ子「さすが、正解よ。ちなみに、

           私の誕生日は西暦××○年○日な の。」 ②

カンタロウ「これは解読するのに時間がかかるな。」

(1)(ア)と(イ)に当てはまる記号をそれぞれ答えなさい。

(2)下線部①において、○×○×○×は

     どんな数を表しているか答えなさい。

(3)(ウ)に当てはまる記号を答えなさい。

(4)下線部②において、シュウ子さんの誕生日はいつか答えなさい。

Pfa021sPfa020s

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Gify

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Sasu2

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682

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何個の○をぬることができますか? (今年 2018年 城北中学)

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50個の○が円形に並んでいます。

図のように、まず1つの○に色をぬり、

次にそのから時計回りに6個進んで止まり、そこにある○をぬります。

さらにそのから 時計回りに6個進んで止まり、

そこにある○をぬり、以下同じ作業を くり返していきます。

すでに色がぬられたに止まったときに終了とするとき、

何個の○をぬることができますか?

6021

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Gify

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数並びの規則性は?(暁星中学 2017年)

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .

141


このように、2、0、1、7の数がそれぞ れ1つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、3番目の数は1で、7番目の数は0です。

次の問い に答えなさい。

(1)30番目の数は何ですか。

(2)1番目の数から6番目までの数を全部足すと、14になります。

  では、1番目から何番目の数を全部足すと、550に なりますか。

(3)2017番目の数は何ですか。

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円周形の周り の長さは?(2017年 函館ラ・サール中学)

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下の図1、図2のように、半径1cmの円を

となり同士がたがいに接するように並べます。

(どの円も接する円は2個とします。)

このとき、各円の円周で囲まれた部分を「円周形」と呼ぶことにします。

例えば、図1の色部分は円を4個並べたときの円周形

図2の色部分は円を8個並べたときの円周形です。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

10141

(1)図1の円周形の周りの長さは何cmですか。

(2)円を6個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(3)円を100個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(4)円周形の周りの長さが314cmになるのは、

   円をいくつ並べたときですか。

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Photo

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面の値はいくつ?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

2182

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11gif

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551

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