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カテゴリー「場合の数」の190件の記事

分野別2800問と解法例

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

移動経路は何通り?(今年 2019年 開成中学)

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《図1》は一辺の長さが1の正方形を2個並べて、横1、 縦2の長方形をつくり、

その長方形と 点 A、B を結ぶ道をつけたものです。

図の中で点 A と点 B を結ぶすべての線が、通ることのできる道です。

《図2》は一辺の長さが1の正方形を3個並べて、横3、縦1の長方形をつくり、

その長方形と 点 A、B を結ぶ道をつけたもので、

《図3》は一辺の長さが1の正方形を6個並べて、横3、縦2の長方形をつくり、

その長方形と点 A、B を結ぶ道をつけたものです。

それぞれ 《図1》と同 じく、

点 A、B を結ぶすべての線を道として通ることができます。

次のような規則に従ってこれらの道を通り、

点Aから点Bまで移動することを考えます。

規則

「一回だけ左に1進み、それ以外は右または上に進む」

ただし、進む方向を変更できるのは正方形の頂点の場所だけです。

点 A にもどったり、点B からもどったりはできません。

また、規則に従うかぎり、同じ道を2回以上通ることも可能で す。

このとき、《図1》の点 A から点 B までの移動経路は 10 通りあります。

では、《図2》、《図3》 のそれぞれについて、

考えられる移動経路は何通りありますか。

3073

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解法例

図2の場合

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3074_3

 

4通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3075

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3076

2通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3077

2通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3078

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3079

4通り、

全部で、4+3+2+2+3+4=18通り

図3の場合

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30710

10通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30711

6通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30712

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30713

8通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30714

9通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30715

8通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30716

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30717

6通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30718

10通り、

全部で、(10+6+3)×2+(8+9+8)

=38+25

=63通り

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

道順は何通り?(今年 2019年 開成中学)

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空間内または平面上にひかれた道を進んで、

点Aから点Bまで移動するとき、その移動経路が何通りあるかを考えます。

《図 1》は一辺の長さが1の立方体を4個組み合わせて、

横幅 2、高さ 2、奥行き1の直方体を つくり、

その直方体と点 A、B を結ぶ道をつけたものです。

図の中で点 A と点 Bを結ぶ太線が、通ることのできる道です。

《図2》は一辺の長さが1の立方体を4個組み合わせて、

横幅 4、高さ 、奥行き 1の直方体を つくり、

その直方体と点 A、B を結ぶ道をつけたものです。

《図 1》と同じく太線で表された道を通ることができます。

これらの道を右、上または奥のいずれかの方向に進むことで、

点 Aから点 Bまで移動する とき、考えられる移動経路は,

《図1》、《図2》のそれぞれについて何通りありますか。

3071

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解法例

6085

図のように、各頂点での道順の場合の数を記入していくと、

3072

図1は10通り、

図2は18通り になります。

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最短距離で行く方法は何通り?(今年 2019年 甲陽学院中学)

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下の図のように、9つの小さな正方形の区画があり、

ななめにも進むことができます。

1区画だけななめに進んで よいとき、

AからBまで最短距離で行く方法は 何通りありますか。

Bandicam_20190125_100504327

103

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解法例

 下の図の青線区画を通るとき、

6通り

1251

下の図の青線区画を通るとき、

3通りずつ、3×2=6通り

1252

下の図の青線区画を通るとき、

1通りずつ、1×2=2通り

1253

下の図の青線区画を通るとき、

4通り

1254

下の図の青線区画を通るとき、

3通りずつ、3×2=6通り

1255

下の図の青線区画を通るとき、

6通り

1256

全部で、

6+6+2+4+6+6=30通り

 

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

第2の冒険、連れ戻る方法は何通り?(今年 2018年 海城中学)

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第1の冒険はこちらに!

第2の冒険

第1の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を1つ進むごとに、

図の A、B、C地点をA→B・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を5つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

7231

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P地点まで勇者は7つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

7232

したがって、勇者は次にA地点で魔王と遭遇することになり、

P地点を通るルートは使えないことになります。

Q地点まで勇者は6つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

7233

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

Q地点を通るルートは使えないことになります。

R地点までも勇者は6つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

7234

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

R地点を通るルートは使えないことになります。

S地点まで勇者は7つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

7235

したがって、S地点を通るルートだけが姫を救出する道で、

図のように、S地点まで21通りの行き方があります。

次に姫を救出したとき、魔王はB地点にいます。

7236

図のように、C地点には行けず、

帰りのルートはA地点の方向になります。

7237

A地点に2人が来たとき、魔王はC地点にいるので、

B地点の方向には行けず、P地点に向かうことになります。

P地点から城へ帰る行き方は図のように35通りなので、

救出ルートは全部で、

21×1×1×35=735通りです。

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

なぞり方は何通り?(2019年 海陽中等教育学校(特別給費))

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点線で辺がかかれた正方形について、

正方形の中に書かれた数字の本数だけ辺を線でなぞります。

たとえば・・・

12181

などのようになります。

(1)

12182

となっているとき、辺のなぞり方は6通りあります。

6通りすべて書いてください。

(2)

12184_2

上の図において、辺のなぞり方がちょうど1通りとな るような

(あ)と(い)の組合せをすべてあげてください。

たとえば(あ)が3で(い)が2のときは(3、2)のように答えること。

(3)

12185

 となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

(4)

12187

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

(5)

下の図において、(う)と(え)と(お)になぞることのできる数の組を入れます。

このような数の組をすべて考えると、

辺のなぞり方は全部で何通りありますか。

12189

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解法例

(1)

12183

(2)

(0、0)、(3、0)、(0、3)、(1、4)、(4、1)、(4、4)

(3)

12186_2

左側の2本が中央の線をなぞらない3通りでは、

右側はそれぞれ3通りのなぞり方があるので、

3×3=9通り

左側の2本が中央の線をなぞる3通りでは、

右側の残る1本のなぞり方は図のように3通りなので、

3×3=9通り

全部で、9×2=18通り

(4)

12188

3の正方形は図のように3通りのなぞり方があり、

一番左の場合、それに応じた2の正方形のなぞり方で、

1の正方形のなぞり方が決まり、

真ん中と、右の場合は1の正方形のなぞり方は決まっているので、

2の正方形のなぞり方は2通りずつ、

したがって、全部で9通りのなぞり方があります。

(5)

121810

各辺はなぞるか、なぞらないかの2通りなので、

2×2××××××××

=1024通り

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

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この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第2の冒険

第1の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

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図の A、B、C地点をA→B・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を5つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

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姫を連れ戻る道順は何通り?(今年 2018年 海城中学)

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

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この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第1の冒険 図のように

街には川が流れており、橋を渡って通るしかありません。

ただし、橋は1度通るとこわれてしまい、

再び通ることができなくなります。

このとき、勇者が姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は

何通りありますか。

第1の冒険 図

7225

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Giff

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全部で何個ある?(今年、2018年 灘中学 1日目)

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下の図で、円周を12等分した点をA、B、...、Lとします。

これら12個の点から異なる3点を選んで三角形をつくるとき、

どの辺の長さも円の半径より大きくなるような三角形は

全部で何個ありますか。

ただし、合同な三角形でも、

頂点が異なるときには異なる三角形として数えます。

1154

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Gingerman200

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

支払い方は何通り? (今年 2018年 サレジオ学院中学)

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Aさんは、あるお店で買い物をしたら、

3800円の代金を支払うことになりました。

Aさんは、1000円札を3枚、

500円玉を2枚、

100円玉を6枚、

50円玉を2枚、

10円玉を10枚持っています。

このとき、おつりの出ない支払い方は全部で 何通りですか?

Ilm16_aa04033s

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25

考え方と解法例はこちらに!

6082

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