速さの比と道のりの比（２０２２年 浦和明の星女子中学）

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コースの長さは？橋の長さは？（桐朋中学 ２０１８年 ）

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下の図のように、 池のまわりを1周する ランニングコースと、

池にかかる橋があります。

その橋はランニングコースの P地点とQ地点の間にかかっています。

A、B、Cの３人がP地点から同時に出発して、次のように移動しました。

AはP地点を出発して、分速１６０ｍで走り、

X地点、Q地点、Y地点 を通ってP地点に戻りました。

BはP地点を出発して、分速８０ｍで歩き、

Y地点を通って、Q地点から橋を渡ってP地点に戻りました。

CはP地点を出発して、分速６０ｍで歩き、

X地点を通って、Q地点から 橋を渡ってP地点に戻りました。

３人がP地点を出発して４分３０秒後に、AとBはY地点で出会いました。

また、AがP地点に戻ってから１分 ５５秒後に、CはP地点に戻りました。

（１）ランニングコース１周の道のりは何ｍですか。

（２） CがP地点を出発してから、P地点に戻るまでにかかった時間は

　　何分何秒でしたか。

（３） Bが Q地点を通ってから ３０秒後にCがQ地点を通りました。

　　橋の 長さは何ｍですか。

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• 速さ、旅人算（１３７）
• 図形や点の移動（１６３）
• 立体図形（３６１）
• 場合の数（１７７）
• 論理と推理（１２０）
• 規則性（１６１）
• 割合と比、食塩水の濃度（１０８）
• 時計算（１４）
• グラフと量の変化（５８）
• 計算の工夫（３８）
• 面積図（１１）
• ニュートン算（１５）
• 和と差（５３）
• 流水算（２０）
• 通過算（１８）
• 方陣算（１４）
• 折り紙（４５）
• N進法（１４）
• 仕事算（２２）
• 平均算（２５）
• 還元算（８）
• 年令算（９）
• 数の性質（１０８）
• ２量の関係（１６）
• 相当算（２０）
• 分配算（４）
• 帰一算（１）
• 消去算（１４）
• 差集め算（６）
• 日暦算（８）
• 算数オリンピック・高校生クイズ問題（１９）
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• 過不足算（１２）
• 単位換算（１５）
• 魔方陣（１６）
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• 角度、相似、展開図、特殊算など細目別解法集
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• やりとり算（５）
• 集合算（１０）
• つるかめ算（３０）

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兄が歩く速さを変えたのはいつ？（筑波大学附属中学 ２０１９年）

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弟は一定の速さで家から学校まで歩きます。

兄は弟が出発してから８分後に家を出発して一定の速さで歩きましたが,

途中で一度歩く速さを７/４倍に変えて学校まで歩きました。

すると,弟が出発してから ４０ 分後に,兄は弟に追いつき,

弟より２分早く学校に到着し ました。

このとき,弟が家を出発してからの時間と二人の間の距離の関係は,

下の図のよ うになります。

後の問いに答えなさい。

(1) 家から学校までの距離は何 m ですか。

(2) 兄が歩く速さを変えたのは,弟が家を出発してから何分後ですか。

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貨物列車の時速は？（女子美術大学付属中学 ２０１９年）

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長さ200m、時速108km の特急列車が、

長さ350mの貨物列車に追いついてから追いこし終わるまでに

1分40秒かかりました。

このときの貨物列車の時速を次のように求めました。

ア～キにあてはまる数を答えなさい。

(考え方)

時速108km は秒速何mかを求めると、

108 × (ア)　÷　( 60 × 60 ) = (イ)より、秒速 (イ) mになります。

また、1分40秒は (ウ) 秒です。

特急列車と貨物列車の速さの差は

( 200 + (エ)) ÷ (ウ) = (オ)より、秒速(オ) m です。

貨物列車の速さは、(イ) －(オ) = (カ)より、 秒速 (カ) mとなります。

秒速(カ) mは時速何km かを求めると、

(カ)  × 60 × 60 ÷ (ア) = (キ)

よって、貨物列車は時速、(キ) km です。

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解法例はこちらに！

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Aさんの速さは分速何m？（今年 ２０１９年 市川中学）

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１周 ２８００ｍ の池の周りを

Ａ さんと Ｂ さんが同じ地点から同時に反対向きに歩き始めました。

２人は ２０ 分後に初めてすれちがい、

Ａさんがちょうど１周したときにはＢさんは２１００ｍ歩いていました。

このとき、Ａさんの速さは分速何ｍですか。

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解法例

ＡさんとＢさんの速さの比は、

２８００：２１００＝４：３

Ａさんの分速を、４×◎

Ｂさんの分速を、３×◎　とすると、

２８００÷（４×◎＋３×◎）＝２０　より。

２８００÷７×◎＝２０

４００÷◎＝２０

◎＝２０　なので、

Ａさんの速さは、分速２０×４＝８０ｍ

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ウサギとカメのかけ比べ（２０１７年 久留米大学附設中学）

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ウサギとカメが競走をします。

ウサギもカメも常に一定の速さで走り、

カメが１ｍ走る間にウサギは８ｍ走り ます。

同時にスタートした後、ウサギはスタートからゴールまでの距離の

４/５ を走ったところで寝てしまいました。

３時間寝てから起きると、

ずっと走り続けているカメにすでに追い越されていました。

ウサギはあわててカメを追 いかけましたが、

ウサギが４分３０秒走ったところでカメが先にゴールしました。

（１）ウサギが寝始めたとき、

　　カメはスタートからゴールまでの距離の[ア]を走ったところにいます。

　　[ア]にあてはまる数を分数で答えてください。

（２）ウサギが寝始めたのは、スタートしてから何分何秒後ですか。

（３）カメがウサギを追い抜いたのは、スタートしてから何時間何分後ですか。

（４）カメがゴールしたとき、ウサギはゴールまであと５０ｍの地点にいました。

　　カメの速さは分速何mですか。

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（１）カメの速さはウサギの１/８なので、

４/５×１/８＝１/１０　のところです。

（２）カメは残り９/１０を３時間＋４分３０秒で走るので、

１/１０を、（１８０＋４．５）÷９＝２０．５分で走ります。

したがって、ウサギが寝始めたのはスタートして２０分３０秒後です。

（３）カメがウサギを追い抜いた地点は、

全体の８/１０の地点なので、

２０．５×８＝１６４分＝２時間４４分後です。

（４）ウサギが４．５分走る距離をカメは、４．５×８＝３６分かかります。

２/１０にカメは、２０．５×２＝４１分かかるので、

５０ｍを、４１－３６＝５分で走ったことになり、

分速、５０÷５＝１０ｍです。

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何ｍはなれているかな？（今年 ２０１８年 早稲田大学高等学院中学部）

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２０００ｍはなれたＡ地点とＢ地点の間を太郎さんと次郎さんが走ります。

２人は Ａ地点に着いたときも、Ｂ地点に着いたときも

休みを入れて反対方向に走ることをくり返します。

太郎さんは分 速２５０ｍで走り、休みの時間を６０秒とします。

次郎さんは分速２００ｍで走り、休みの時間を９０秒とします。

いま、２つの地点の中間地点から太郎さんがＡ地点へ、

次郎さんがＢ地点へ向かって同時に走り始めました。

このとき、次の問い に答えなさい。

（１）

太郎さんが初めてＢ地点から出発するとき、

次郎さんと何ｍ はなれているかを求めなさい。

（２）

２人が同じ方向に向かって走っているときに、

初めて８００ｍはなれるのは走り始めてから何分後ですか。

（３）

太郎さんがＡ地点、Ｂ地点を経て出発地点を通過した後、

コースの途中で向きを変えて次郎さんと同時にＢ地点に到着したい。

このとき、太郎さんはＡ地点から何ｍはなれた地点で

向きを変えればよいかを求めなさい。

 

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解法のヒント

図で表すと考えやすくなります。

（１）

太郎がＢ地点を出発するまでの時間は、

図からわかるように、

３０００÷２５０＋２＝１４より

１４分後です。

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解法例

そのとき次郎は図のように

１４－（１０００÷２００＋１．５）＝７．５　より、

Ｂ地点から７．５分後のところにいます。

きょりはＢ地点から、

２００×７．５＝１５００ｍです。

（２）

図のように次郎がＡ地点に着いたとき、１６．５分後なので、

太郎は、２５０×（１６．５－１４）＝６２５ｍ　より、

Ａ地点から、２０００－６２５＝１３７５ｍで、

８００ｍ以上の差がついています。

太郎がＡ地点を出発するときは２３分後なので、

そのとき次郎は、Ａ地点から５分後の

２００×５＝１０００ｍの中間地点にいます。

そこから、１０００－８００＝２００ｍ差が縮まる時間は、

２００÷（２５０－２００）＝４分後なので、

２３＋４＝２７分後になります。

（３）

図のように、太郎が中間地点まで来るのに、１８分

このとき次郎は、Ａ地点を出発しようとしています。

Ｂ地点まで１０分で到着するので、

太郎の中間地点から折り返し点までのきょりを△ｍとすると、

（１０００＋２×△）÷２５０＝１０　なので、

２×△＝１５００

△＝７５０　より、

Ａ地点から、

１０００－７５０＝２５０ｍの地点で折り返せばいいわけです。

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中学受験算数解法１０００→「イメージでわかる中学受験算数」

ア～ウにあてはまる数は？（今年 ２０１８年 フェリス女学院中学）

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点Ｏを中心とする半径 ４．５ｃｍの大きい円の周上に点Ｐ、

半径３．６ｃｍの小さい円の周上に点Ｑがあります。

はじめ３点Ｏ、Ｐ、Ｑは、図のように一直線上に並んでいます。

はじめの位置から点Ｐは反時計回りに大きい円の周上を、

点Ｑは時計回りに小さい円の周上を同時に出発して同じ速さで進み、

同時にはじめの位置に戻ったときに止ま ります。

次のア～ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

はじめてＯ、Ｐ、Ｑが一直線上に並ぶまでに

点Ｐが進む道のりは（　ア　）ｃｍです。

三角形ＯＰＱ の面積が最も大きくなるとき、その面積は（　イ　）㎠であり、

このような場合は（　ウ　）回あります。

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解法例はこちらに！

半径の比が、４．５：３．６＝５：４　なので、

同じ速さで、同じ時間に進む角度は、逆比になり４：５

一直線になるのは１８０°なので、

図のように、Pは４．５×２×３．１４－８０/３６０ｃｍ進み、

ア＝９×３．１４×２/９＝６．２８ｃｍ

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△OPQの面積が最大になるのは、

図のように、OPを底辺にした場合、

高さが最大になるのOQがOPに対して直角になったときで、

イ＝４．５×３．６÷２＝８．１㎠

止まるときはQが5周、Pが4周しています。

Pが４０°、８０°、１２０°、１６０°、２００°、

２４０°２８０°、３２０°、３６０°のときに

OQと９０°（△OPQの面積が最大）と１８０°（一直線）を繰り返すので、

Pが1周目、５回直角

Pが２周目、４回直角

Pが３周目、５回直角

Pが４周目、４回直角　より、

ウ＝１８回

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コースの長さは？橋の長さは？（今年 ２０１８年 桐朋中学）

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下の図のように、 池のまわりを1周する ランニングコースと、

池にかかる橋があります。

その橋はランニングコースの P地点とQ地点の間にかかっています。

A、B、Cの３人がP地点から同時に出発して、次のように移動しました。

AはP地点を出発して、分速１６０ｍで走り、

X地点、Q地点、Y地点 を通ってP地点に戻りました。

BはP地点を出発して、分速８０ｍで歩き、

Y地点を通って、Q地点から橋を渡ってP地点に戻りました。

CはP地点を出発して、分速６０ｍで歩き、

X地点を通って、Q地点から 橋を渡ってP地点に戻りました。

３人がP地点を出発して４分３０秒後に、AとBはY地点で出会いました。

また、AがP地点に戻ってから１分 ５５秒後に、CはP地点に戻りました。

（１）ランニングコース１周の道のりは何ｍですか。

（２） CがP地点を出発してから、P地点に戻るまでにかかった時間は

　　何分何秒でしたか。

（３） Bが Q地点を通ってから ３０秒後にCがQ地点を通りました。

　　橋の 長さは何ｍですか。

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解法のヒント

Ｙ地点で４分３０秒後にＡとＢは出会いました。

２人は、１６０＋８０＝分速２４０ｍで近づいていったわけです。

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解法例

（１）

（１６０＋８０）×４．５＝１０８０ｍ

（２）

ＡがＰ地点にもどったのは、

１０８０÷１６０＝６．７５分＝６分４５秒後なので、

ＣがＰ地点にもどったのは、

６分４５秒＋１分５５秒＝８分４０秒後

（３）

ＢがＱ地点に着いたとき、

Ｃはその手前３０秒、６０÷２＝３０ｍの地点にいます。

つまり、１０８０－３０＝１０５０ｍを２人で歩いたことになり、

その時間は、１０５０÷（８０＋６０）＝７．５＝７分３０秒です。

ＣはＱ地点まで、７分３０秒＋３０秒＝８分で着き、

橋を、８分４０秒－８分＝４０秒で渡ったので、

橋の長さは、６０ｍ×２/３分＝４０ｍ　です。

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