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カテゴリー「立体図形」の398件の記事

立方体の体積の何倍?(今年 2019年 渋谷教育学園渋谷中学)

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図のような立方体ABCD-EFGHがあります。

また、点I、J、Kは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷3」で求められます。

2101

 

 

(1)点H、I、K を通る平面

(2)点B、D、E を通る平面

(3)点F、I、J を通る平面

(4)点B、D、H を通る平面と、点H、I、K を通る平面の2つの平面で同時に切る

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解法例

(1)

2102

図のように、Aを含む立体は台形柱になるので、

立方体の1辺を1とすると、

(1+1/2)×1×1/2=3/4倍

(2)

2103

図のようにAを含む立体は三角すいになるので、

1×1×1/2×1/3=1/6倍

(3)

2104

 図のようにAを含む立体は、

立方体からCを含む立体を引いて求めます。

△OCIと△OGFは相似で、相似比は1:2なので、

Cを含む立体

=1×1×1/2×2×1/3-1/2×1/2×1/2×1×1/3

=1/3-1/24

=7/24

Aを含む立体=1-7/24=17/24倍

(4)

2105

△ABDを底面とする三角柱を

台形ABPKを底辺とする台形柱.(①)と

△KPDを底面とする三角柱(②)に分けます。

Aを含む立体は、

①+(②-三角すいHKPD)なので、

(1+1/2)×1/2×1/2×1+

(1/2×1/2×1/2×1-1/2×1/2×1/2×1×1/3)

=3/8+(1/8-1/24)

=3/8+2/24

=9/24+2/24

=11/24倍

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回転体の体積比は(今年 2019年 東大寺学園中学)

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下の図において,三角形 ABC は直角二等辺三角形で,

AC = BC = 9cm です。

BC を三等分する点をBに近い方から D, E とし,

Dを通り BC に垂直な直線をア,Eを通り BC に垂直な直線をイとします。


(1)三角形 ABC を直線アのまわりに1回転してできる立体の体積は,

   三角形 ABC を直線 AC のまわりに1回転してできる立体の体積の何倍ですか.


(2)三角形 ABCを直線イのまわりに1回転してできる立体の体積は,

   三角形 ABC を直線 AC のまわりに1回転してできる立体の体積の何倍ですか。

4091

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解法例

△ABCをACのまわりで1回転させると、

Honeycam-20190407-174131

円周率は共通なので、計算から除外して考えると、

この回転体の体積比は、

9×9×9×1/3=243

(1)は

Honeycam-20190407-164307

Bandicam-20190409-071445230

半径6cm、高さ9cmの円柱から

点線部分の円すいを引きます。

6×6×9-6×6×6×1/3

=252

体積比は、252/243=28/27

(2)は

Honeycam-20190407-165644

Bandicam-20190409-071959592 

円すいと円柱の重なった立体から、

点線部分の円すいを引きます。

6×6×6×1/3-3×3×3×1/3=63

3×3×6-3×3×3×1/3=45

63+45=108

体積比は、108/243=4/9

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あふれた水の量は(ア)の何杯分?(今年 2019年 青山学院中等部)

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図のように3つの円柱状の容器(ア)(イ)(ウ)があります。

底面の半径は、(イ)は(ア)の2倍、 (ウ)は(イ)の 1.5倍で、

高さは、(イ)は(ア)の 1.5倍、(ウ)は(イ)の 1.5倍です。

(イ)を満水にして空の(ウ)に何回か水を入れたところ、

水があふれてしまいました。

このとき、あふれた水の量は(ア)の何杯分ですか。

Bandicam-20190404-092139217

 

Hakusi240

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解法例

アの半径を1とすると、イは2でウは3なので、

底面積の比は、

ア=1×1=1

イ=2×2=4

ウ=3×3=9

アの高さを4とすると、イは6でウは9、

体積の比は、

ア=1×4=4

イ=4×6=24

ウ=9×9=81

ウがこぼれるのは、イ×4=96のときで、

こぼれる量は、96-81=15

アの体積の、

15÷4=3.75杯分

Hakusi240

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立方体の積み木は何個?(今年 2019年 筑紫女学園中学)

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同じ大きさの立方体の積み木をいくつか使って積み上げました。

真正面から見た図、真横(右)から見た図、

真上から見た図は次のようになりました。

立方体の積み木は、何個使いましたか。

3181

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解法例

Honeycam_20190318_093241

図のように、13個使っています。

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色のついた3面の目の数の和は?(今年 2019年 立教新座中学)

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図1のさいころを 27 個使い、

同じ目の数の面どうしをはり合わせて、 図2のような立方体 をつくりました。

色のついた3つの面の目の数の和を求めなさい。

ただし、さいころの向かい合う面の目の数の和は7であるものとします。

3021

103

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解法例

6085

3022_2

左手前下隅のさいころは①のようになるので、

図1から考えて、上面は4です。

したがって、左手前上隅の面の数は4です。

左奥下隅のさいころは②のようになるので、

図1から考えて、上面は3です。

したがって、左奥上隅の面の数は3です。

右奥下隅のさいころは③のようになるので、

図1から考えて、上面は6です。

したがって、右奥上隅の数は6です。

3つの面の数の和は、4+3+6=13

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682

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切り口の面積比は?(今年 2019年 麻布中学)

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

2点P、Qはそれぞれ2辺AB、CD上の点で、

AP:PB=4:3、CQ=QD です。

3点P、Q、Rを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

2042

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解法例

切り口は図のようになります。

2045

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

2044

△APTと△BPUは相似で、相似比は4:3

PTの長さを4とすると、PU=3

△REFと△QCSと△QDOは合同、

△REFと△RBPは相似で、相似比は1:2

△ODTと△PBUも相似で、相似比は1:2になります。

したがって、OTはPUの1/2で、1.5です。

QF=1.5+4=5.5

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、5.5×□

赤い切り口の面積は、5.5×□-1.5×□÷2

面積比は、

白:赤=5.5:4.75=22:19

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切断面の形は?(今年 2019年 開成中学)

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次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。

また、辺 CD、EF、GC 上にそれぞれ点 P、Q、R があり、

DP=8cm、PC=12cm、EQ=4cm、CR=9cmが成り立っています。

2021

 

3点P、Q、R を通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をXとします。

図形 X を前から見ると(面 ABFE に垂直な方向から見ると)、

面積が228㎠の図形に見えます。

図形X を上から見ると(面 ABCD に垂直な方向から見ると)、

面積が 266㎠の図形に見えます。

2022

 

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 図形 X は何角形ですか。

(2) 直方体の高さ(辺 AE の長さ)は何cm ですか。

(3) 直方体の奥行き(辺 AD の長さ)は何cm ですか。

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解法例

106

(1)切り口は図のような六角形です。

2023

(2)前から見ると下の図のように見えます。

2027

TQとPRは平行なので、

△TEQと△RCPは相似になり、

TE=4×3/4=3cm

六角形ATQFRP=228㎠なので、

AE=□cmとすると、

20×□-(4×3÷2+12×9÷2)=228

20×□-60=228

20×□=288

AE=□=14.4cm

(3)下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

2025

△TEQと△ODPは相似なので、

OD=8×3/4=6cm

△ODSと△TASも相似なので、

OD:TA=6:(14.4-3)=6:11.4=10:19より、

DS:SA=10:19

2026

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

DP:FQ=8:16=1:2より、

DS:BU=10:20

20×(⑩+⑲)-(8×⑩÷2+16×⑳÷2)=266

580まる-200まる=266

380まる=266

①=0.7

AD=29まる=0.7×29=20.3cm

 

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682

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長さと表面積は?(今年 2019年 神戸女学院中学部)

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図1のような直方体を上下はそのままで4個はり合わせて、

図2のような立体を作ります。

図1の直方体4個分の表面積の和と図2の立体の表面積の比は

5:4となりました。

図1

1301

図2

1302

(1)「あ」の長さは何cmですか。

(2)図2の立体を2個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Pを中心に45°回転させて、図3のような立 体を作ります。

このとき、図3の立体の表面積を求めなさい。

図3

1303

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解法例

109

(1)図1の立体の表面積は、

3×6×2+3×あ×2+あ×6×2

=18×あ+36

その4個分は、

72×あ+144

図2の立体は、

3×あ×8=24×あ だけ表面積が少なくなっているので、

(72×あ+144):(48×あ+144)=5:4

4×(72×あ+144)=5×(48×あ+144)

288×あ+576=240×あ+720

48×あ=144

あ=3cm

(2)

1304

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

3×3÷2×2=.9㎠

この重なった部分は8個あるので、

9×8=72㎠

図2の立体2つ分の表面積は、

2×(48×3+144)=576㎠

図3の立体の表面積は

576-72=504㎠

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682

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どんな図形に見えますか?(2018年 渋谷教育学園渋谷 中学)

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立方体を3つの頂点を通る平面で切り、

立方体から1つの三角すいを取り除いた図のような立体を作りました。

この立体の①の面を底面として机に置いたとき、

真上から見ると1つの平面図形に見えました。

その図形の名前はなんですか?

385

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図のような正六角形

Bandicam_20180308_112813942

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682

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この回転体の体積は?(今年 2018年 駒場東邦中学)

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下の四角形 ABCD を直線 ℓ を軸として

1回転してできる立体の体積は何立方cmか求めなさい。

なお、AC=BC で BC と DA はそれぞれ ACに垂 直な直線です。

BC、DA の長さはそれぞれ15cm、 10cm で円周率は3.14とします。

ただし、円錐の体積は (底面積)×(高さ)÷3で求められます。

4171

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Gif417

このように、円すいを2つ重ねた立体になります。

重なった部分を引くことになりますが、

下図のように、△黄と△緑は相似で、

相似比は△黄:△緑=10:15=2:3 より、

AH=6cm、CH=9cmになります。

4172

10×10×3.14×15÷3-6×6×3.14×9÷3

15×15×3.14×15÷3-6×6×3.14×6÷3

=(500×3.14-108×3.14)+(1125×3.14-72×3.14)

=392×3.14+1053×3.14

=1445×3.14

=4537.3立方cm

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682

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