等積変形してみると解答が見えてくる!(2015年 慶應義塾湘南藤沢中等部)
図のように、
点Oを中心とする円の中と外に正六角形があります。
色部分の面積が90c㎡のとき、
三角形ABCの面積は何c㎡ですか?
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図のように、
点Oを中心とする円の中と外に正六角形があります。
色部分の面積が90c㎡のとき、
三角形ABCの面積は何c㎡ですか?
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大きさの異なる3つの正方形が図のように置かれています。
正方形「あ」「い」「う」の1辺の長さはそれぞれ何cmですか?
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図のような、
各辺の長さが10cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
図のように、
辺AD、AE、BC、BF上にそれぞれ点I、J、K、Lがあり、
AI=6cm、AJ=6cm、BK=6cm、BL=6cmです。
また、辺AE、AB、DH、DC上にそれぞれ点M、N、O、Pがあり、
AM=3cm、AN=3cm、DO=3cm、DP=3cmです。
この立方体を、4点I、J、K、Lを通る平面と
4点M、N、O、Pを通る平面で切断して、
4つの立体に切り分けます。
切り分けてできる4つの立体のうち、
頂点Gをふくむ立体をXとします。
次の問いに答えなさい。
(1)解答らんには、もとの立方体と四角形IJLKと
四角形MNPOの辺が薄くかかれています。
立体Xの見取図をかきなさい。
ただし、見えている辺は濃い線で、見えていない辺は濃い点線で
かき入れなさい。
(2)立体Xの体積を求めなさい。
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下の図のように、半径2cm、3cm、4cmの半円と
直線を組み合わせてできた図形があります。
色部分の面積の和を求めなさい。
ただし、 円周率は3.14 とします。
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正方形の折り紙があります。この折り紙を次の手順で折っていきます。
(手順)
1 頂点A、頂点Bが頂点D、頂点Cにそれぞれ重なるように半分に折り、
長方形DEFCをつくる。
2 頂点Cを頂点Eに重なるように折る。
3 頂点Fを頂点Dに重なるように折る。
4 対角線 GH で折る。
この折り紙をもとの大きさまで広げたとき、
折り紙は折り目によっていくつに分けられていますか。
ただし、問題用紙や解答用紙を折ったり、切り取ったりしてはいけません。
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下の図のように、
正三角形を6つ用いてできる立体 ABCDE があり、
点P、Q、Rはそれぞれ辺 AB、BC、 CE の
真ん中の点です。
直線 PR と 平面 BCD の交わる点をSとするとき、
点 D、S、 Qは一直線上に並びます。
このとき、 DS:SQを答えなさい。
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立方体ABCD-EFGHにおいて 、
正方形ABCDの対角線ACを三等分する点をAに近い方から点P、Q
正方形FGCBの対角線FCを三等分する点をFに近い方から点R、S
正方形HDCGの対角線HCを三等分する点をHに近い方から点T、U とします。
次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ) ÷3で求められるものとします。
(1)
立方体を3点P、R、Tを通る平面で切断したときにできる切り口の図形を(ア)、
3点 Q、S、Uを通る平面で切断したときにできる切り口の図形を(イ)とします。
(ア)の面積と (イ)の面積の比を、
最も簡単な整数の比で答えなさい。
(2)
立方体を3点P、R、Tを通る平面と、3点Q、R、Tを通る平面で同時に切断したときにできる立体のうち、
点Bを含む立体と、点Eを含む立体の体積の比を、
最も簡単な整数の比で答えなさい。
2つの倉庫 A、Bに同じ個数の荷物が入っています。
Aに入っている荷物を小型トラックで、
Bに入っている荷物を大型トラックで運び出します。
それぞれの倉庫が空になるまで荷物を繰り返し
運び出したところ、
小型トラックが荷物を運んだ回数は、
大型トラックが荷物を運んだ回数より4回多くなりました。
また、小型トラックは毎回20個の荷物を運びましたが、
大型トラックは1回だけ10個以下の荷物を運び、
他は毎回32個の荷物を運びました。
大型トラックが荷物を運んだ回数と、
倉庫Bにもともと入っていた荷物の個数を答えなさい。
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