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三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

60814
 

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解法例はこちら!

 6086

1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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682

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正方形の面積の何倍?(市川中学  2016年)

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Bandicam_20181206_090512975

この図は、正方形ABCDの中に4つの半円をかいたものです。

斜線部分の面積の合計は正方形ABCDの面積の何倍ですか?
102
解法例はスクロールした下の方あります!

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解法例
Bandicam_20181206_090531073
 
半円の半径をaとすると、

正方形の面積は、

(2×a)×(2×a)=4×a×a

a×a=Aとしてみます。

緑部分は、4×A×1/4=A

半円の面積は、

A×3.14×1/2

黄色部分の面積は、

A×3.14×1/2-A=A×(1.57-1)=0.57×A となるので、

黄色部分は緑部分の0.57倍になります。

4倍しても倍率は変わらないので、

斜線部分は正方形の0.57倍です。

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682

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長さ比、面積比は?(今年 2018年 吉祥女子中学)

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図の四角柱は、底面が1辺5cmのひし形で、高さは5cmです。

点Mは 辺CG を二等分する点、

点Pは三角形AFHと直線CEの交わる点、

点Q は三角形AFH と直線MEの交わる点、

点Rは3点A、P、Qを通る直線と直線FHの交わる点です。

FHの長さが6cmで、ひし形ABCDの面積が24㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

12041

 

(1) ACの長さは何cmですか。

(2) FR:RH をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) AP:PR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(4) AQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(5) AP:PQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(6) 三角形EPQ の面積は何㎠ですか。

Santa3

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解法のヒント

Honeycam_20181204_081552

6082

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解法例

(1)ひし形の面積は、対角線×対角線÷2なので、

AC×6÷2=24 より、

AC=24×2÷6=8cm

(2)PもQも図のように対角線ACを含む

平面AEGC上にあるので、Rも同一平面上にあります。

12042

Rは対角線FHの中点になり、

FR:RH=1:1

(3)BFとDHが重なる方向から見ると、

12043

△AEPと△SRPは相似で相似比は2:1なので、

AP:PR=2:1

(4)TはSRの中点なので、

△AEQと△TRQは相似で相似比は4:1

AQ:QR=4:1

(5)AP:PRとAQ:QRの比の合計をそろえると、

 AP:PR=2:1=10:5

AQ:QR=4:1=12:3 より、

PQ=5-3=2

AP:PQ:QR=10:2:3

(6)

△EAPと△EPQと△EQRの面積比は10:2:3

△EARの面積=5×(8÷2)÷2=10㎠ より、

△EPQの面積=10×2/15=4/3㎠

6083

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682

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タイルは何枚?(今年 2018年 横浜女学院中学)

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図のように、赤と白の三角形のタイルを規則にしたがって並べていきます。

11301_2

このとき,次の各問いに答えなさい。

(1)タイルを全部で16枚並べたとき、右端のタイルは何色ですか。

(2)赤いタイルを全部で19枚並べたとき、

       タイルは全部で何枚並んでいますか。

                考えられるすべての枚数を答えなさい。

(3)タイルを全部で157枚並べたとき、

       赤いタイルは全部で何枚並んでいますか。

103

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

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解法のヒント

図のように4つずつ区切って考えると、わかりやすいかも・・・

11302

104

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解法例


11302_2

(1)

16枚では4つずつのブロックが、

16÷4=4個並ぶので、右端は赤になります。

(2)

1つのブロックに赤いタイルは2個並ぶので、

19÷2=9あまり1 より、

4×9=36 なので、

37枚、38枚、39枚

(3)

157÷4=39あまり1 より、

39×2=78

78+1=79枚

102


 

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682

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∠あの角度は?(今年 2018年 東海中学)

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図の四角形 ABCD は1辺が2cmの正方形で、

AEの長さとAFの長さはどちらも1cmです。

DE と CF の交点をGとし、AとG、BとGを結びます。

(1) 三角形 BCG の面積を求めなさい。

(2) 「あ」の角度を求めなさい。

11281

105

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解法例

(1)

11283

△茶と△赤は相似で、

DF:CH=1:4

FG:GC=1:4 より、

△BCGの高さは、

2×4/5=1.6cm

△BCGの面積=2×1.6÷2=1.6㎠

6082

(2)はちょっと難しい!

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(2)

11282

△DAEと△CDFは合同なので、

△CDFと△DGFはそうじになり、

∠DGF=90° になります。

◎+●=180°なので、

△緑を90°回転して、△黄の位置にくっつけると、

GG’は一直線になるので、

 △AG’Gは二等辺直角三角形になり、

∠AG’G=∠AGG’=45° より、

∠あ=(90-45)+90=135°

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682

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ボールは何個ありますか?(今年 2018年 フェリス女学院中学)

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ボールが何個かあります。

ボールが44個入る箱Aと、ボールが49個入る箱Bがあ ります。

箱Aの数は箱Bの数より1多いです。

これらのボールを箱 A に入れてい くと、34個入りません。

これらのポールを箱Bに入れていくと、 23個入りません。

ボールは何個ありますか?

Gum11_sy01023s

60814
 

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2181

B箱の数を□個とすると、

44×□+44+34=49×□+23

5×□=78-23=55

□=11

ボールの数=49×11+23=562個

6082_2

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682

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四角形黄色の面積は?(今年 2018年 大宮開成中学)

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下の図の三角形の面積は60㎠です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、●は各辺にお ける間隔の等しい点を表します。

11231

60814

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解法例

588

11232

△青は、大きい三角形の底辺が1/5、高さが2/3なので、

面積は、大きい三角形の1/5×2/3=2/15

△緑は、大きい三角形の底辺が3/4、高さが1/3なので、

面積は、大きい三角形の3/4×1/3=3/12

△茶は、大きい三角形の底辺が2/5、高さが1/4なので、

面積は、大きい三角形の2/5×1/4=2/20

△青+△緑+△茶=2/15+3/12+2/20=29/60

四角形黄色の面積=60-29=31㎠

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682

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プレゼントはいくら?(今年 2018年 鎌倉学園中学)

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長男、次男、三男の三兄弟はおこづかいを貯金しています。

はじめ、長男と次男の貯金高の比は3:2、

次男と三男の貯金高の比も3:2でした。

三兄弟は両親 に日ごろの感謝の気持ちをこめてプレゼントをおくることにしました。

長男、次 男、三男は5:3:2の割合でお金を出し合い、

プレゼントを買ったところ、おつ りは 1250円でした。

このおつりを三男が貯金したところ、

長男と次男の貯金高 の比が2:3、

次男と三男の貯金高の比も2:3になりました。

Present_koukan_couple

次の問いに答えなさい。

(1) プレゼントを買う前の長男と次男と三男の貯金高の比を

   最も簡単な整数 の比で表しなさい。

(2) 長男の「プレゼントを買う前の貯金高」と

  「プレゼントに支出した金額」の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3) 両親におくったプレゼントはいくらでしたか。

解法例は下にスクロールしてください!

3205

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解法例

Panda250

(1)

最初の貯金高は

長男:次男=3:2・・・・・①

次男:三男=3:2・・・・・② なので、

次男の比をそろえます。

①×3、

長男:次男=9:6

②×2、

次男:三男=6:4 より、

長男:次男:三男=9:6:4

(2)

長男:次男=3:2・・・・・③ が

長男:次男=5:3・・・・・④ の出費によって、

長男:次男=2:3・・・・・⑤ になりました。

③×□-④×△=⑤ と考えると、

長男は、3×□-5×△=2 となり、

3の倍数と5の倍数の差が2になる□と△を探すと、

□=4、△=2 では

長男は、3×4-5×2=2 となりますが、

次男は、2×4-3×2=2となって、2:2になるので不適当、

□=9、△=5のとき、

長男は、3×9-5×5=2 となり、

次男は、2×9-3×5=3となって、2:3になります。

したがって、

長男の「プレゼントを買う前の貯金高」:「プレゼントに支出した金額」の比は、

3×9:5×5=27:25

(3)

最初の貯金高は、

長男:次男:三男=27:18:12

出し合った金額は、

長男:次男:三男=25:15:10

残った貯金額は、

長男:次男:三男=2:3:4.5

三男は12-10=2となるところ、

1250のお釣りを貯金したので、4.5になったわけで、

4.5-2=2.5が1250円に相当することになります。

プレゼントの金額は、

25+15+10-2.5=47.5 で、

(47.5÷2.5)×1250=23750円

6082

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682

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色部分の面積は何㎠?(今年 2018年 茗溪学園中学)

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下の図において、点は半径1cmの円周を8等分しています。

色部分の面積は何㎠ですか?

11201

解法のヒントと解法例はスクロールした下の方にあります!

588

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解法のヒント

11202

このように分けてみると・・・

5802

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解法例

11202_2

360÷8=45°なので、

緑部分は2つ合わせると、

1辺が1cmの正方形。

茶色部分は2つ合わせると半径1cmの半円になります。

したがって、求める面積は、

1×1+1×1×3.14÷2=2.57㎠

6082

 

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682

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