どう解く？中学受験算数

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点Ｂの動いた道すじの長さは？（今年　２０１９年　栄光学園中学）

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半径１０ｃｍの円の内部に、

１辺の長さが１０ｃｍの正三角形ＡＢＣが図１のようにあります。

点Ａをつけたまま、点Ｂが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図２)。

2111

　　　　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２

次に、点Ｂをつけたまま、点Ｃが円周につくまで回転させます。

このような回転を同じ向きに繰り返していきます。

図１の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を６回繰り返したとき、

点Ｂの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第２位まで求めなさい。

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解法例

Ｂは図のような軌跡になるので、

１０×２×３．１４×（６０×４）/３６０

＝２０×３．１４×２/３

＝４１．８.７ｃｍ

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看板の方向と距離は？（今年　２０１９年　筑波大学附属駒場中学）

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０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。

これらの看板 [０]、 [１]、[２] ・・・・[２０４８] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、

１本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [０]、東の端に [１] の看板を立てます。

続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・・工事１１を行います。

工事１： [０] と [１] の看板のちょうど中間地点に、[２] の看板を立てます。

工事２：工事１までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [３]、[４] の看板を立てます。

工事３：工事２までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [５]、.[６]、[７]、[８] の看板を立てます。

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事１１で [２０４８] の看板まで立てました。

このとき、[Ｏ]の看板と [２]の看板の間の距離は１/２ｋｍ、

[O]の看板と [３] の看板の間の距離は１/４ｋｍです。

（１）[０] の看板と [３１] の看板の間の距離は何ｋｍですか。

（２）[３１] の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、

[２０１９] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

（３）この道路を[０]の看板から東へ進みながら、

看板の個数を数えていきます。

. ちょうど、２０１９個目の看板にかかれた数は何ですか。

ただし、[０]の看板を１個目と数えます。

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解法例

（１）

工事２で、２×２＋１＝５本

工事３で、２×２×２＋１＝９本

工事４で、２×２×２×２＋１＝１７本

工事５で、２×２×２×２×２＋１＝３３本

の看板が立つので、

このとき、[３１]の看板は東から４本目で、

[０]からの距離は、（３２－３）/３２＝２９/３２ｋｍ

（２）

工事５までで、[３１]の東側には３本の看板が立っています。

工事６→３×２＝６本

工事７→６×２＝１２本

工事８→１２×２＝２４本

工事９→２４×２＝４８本

工事１０→４８×２＝９６本

工事１１→９６×２＝１９２本

[２０１９]の看板は、東から数えて、

（２０４８－２０１９）×２＋１＝５９本目

[３１]から１９２－５９＝１３３の距離があるので、

[３１]から東に１３３/２０４８ｋｍ

（３）

[２０１９]は東から数えて、

２０４９－２０１９＋１＝３１番目です。

[２０１９]の東側には３０本の看板が立っています。

看板は工事ごとに２倍－１本ずつ増えるので、

工事６から考えると、

２×２×２×２×２＝３２より

[６４]から東側を調べると、

工事６

６４　　　１

工事７

６４　１２８　１

工事８

６４　２５５　１２８　２５６　１

工事９

６４　５０９　２５５　５１０　１２８　５１１　２５６　５１２　１

工事１０

６４〇５０９〇２５５〇５１０〇１２８〇５１１〇２５６〇５１２〇１

一番右の〇＝１０２４

工事１１

６４×〇×５０９×〇×２５５×〇×５１０×〇×１２８×〇×５１１×〇×２５６×〇×５１２×〇×１

一番右の×＝２０４８

右から３１番目は６４の次の〇になるので、

１０２４－７＝１０１７

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ゲームをしたのは何回？（今年　２０１９年　桜蔭中学）

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３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナメントを考えます。

ゲームは必ず３人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに１から順に番号をふります。

番号の小さい順に３人ずつ組み、１回戦を行います。

３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、１番から１１番の参加者１１人でトーナメントをするとき、

図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、

１０番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあとｄ、ｅの２回ゲームを行うと優勝者が１人決まります。

図１

2061

（１）１番から８１番の参加者８１人で１回戦を図２のように行うと、

優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？

図２

（２）１番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、

優勝者が１人決まるまでに合計何回のゲームが行われますか？

（３）優勝者が１人決まるまでに合計２４　回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は図３のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか？

図３

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解法例

（１）

８１÷３＝２７

２７÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

２７＋９＋３＋１＝４０回

（２）

２３５÷３＝７８・・・・・１

（７８＋１）÷３＝２６・・・・・１

（２６＋１）÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

７８＋２６＋９＋３＋１＝１１７回

（３）

逆に考えていきます。

（２＋１）÷３＝１

７÷３＝２・・・・・１

この７が１＋６か２＋５なのか調べます。

１＋６の場合、

（６＋１）÷３＝２・・・・・１

その前は、

（　　　）÷３＝６・・・・・１　なので、

（　　）＝１９

１９＝１８＋１　か　１７＋２　となって、

いずれの場合も２４ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

（５＋２）÷３＝２・・・・・１　なので、

その前は、

（　　）÷３＝５・・・・・２　より

（　　）＝１７

１７＝１６＋１　か　１５＋２　ですが、

２４ゲームになるのは、１６＋１なので、

（１６＋１）÷３＝５・・・・・２

その前は、

（　　）÷３＝１６・・・・・１　より、

（　　）＝４９人

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切り口の面積比は？（今年　２０１９年　麻布中学）

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

２点Ｐ、Ｑはそれぞれ２辺ＡＢ、ＣＤ上の点で、

ＡＰ：ＰＢ＝４：３、ＣＱ＝ＱＤです。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

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解法例

切り口は図のようになります。

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

△ＡＰＴと△ＢＰＵは相似で、相似比は４：３

ＰＴの長さを４とすると、ＰＵ＝３

△ＲＥＦと△ＱＣＳと△ＱＤＯは合同、

△ＲＥＦと△ＲＢＰは相似で、相似比は１：２

△ＯＤＴと△ＰＢＵも相似で、相似比は１：２になります。

したがって、ＯＴはＰＵの１/２で、１．５です。

ＱＦ＝１．５＋４＝５．５

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、５．５×□

赤い切り口の面積は、５．５×□－１．５×□÷２

面積比は、

白：赤＝５．５：４．７５＝２２：１９

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切断面の形は？（今年　２０１９年　開成中学）

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次の図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ　があります。

また、辺ＣＤ、ＥＦ、ＧＣ上にそれぞれ点　Ｐ、Ｑ、Ｒ　があり、

ＤＰ＝８ｃｍ、ＰＣ＝１２ｃｍ、ＥＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝９ｃｍが成り立っています。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をＸとします。

図形Ｘを前から見ると(面ＡＢＦＥに垂直な方向から見ると)、

面積が２２８㎠の図形に見えます。

図形Ｘを上から見ると(面ＡＢＣＤに垂直な方向から見ると)、

面積が２６６㎠の図形に見えます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　図形Ｘは何角形ですか。

（２）　直方体の高さ(辺ＡＥの長さ)は何ｃｍですか。

（３）　直方体の奥行き(辺ＡＤの長さ)は何ｃｍですか。

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解法例

（１）切り口は図のような六角形です。

（２）前から見ると下の図のように見えます。

ＴＱとＰＲは平行なので、

△ＴＥＱと△ＲＣＰは相似になり、

ＴＥ＝４×３/４＝３ｃｍ

六角形ＡＴＱＦＲＰ＝２２８㎠なので、

ＡＥ＝□ｃｍとすると、

２０×□－（４×３÷２＋１２×９÷２）＝２２８

２０×□－６０＝２２８

２０×□＝２８８

ＡＥ＝□＝１４．４ｃｍ

（３）下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

△ＴＥＱと△ＯＤＰは相似なので、

ＯＤ＝８×３/４＝６ｃｍ

△ＯＤＳと△ＴＡＳも相似なので、

ＯＤ：ＴＡ＝６：（１４．４－３）＝６：１１．４＝１０：１９より、

ＤＳ：ＳＡ＝１０：１９

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

ＤＰ：ＦＱ＝８：１６＝１：２より、

ＤＳ：ＢＵ＝１０：２０

２０×（⑩＋⑲）－（８×⑩÷２＋１６×⑳÷２）＝２６６

５８０まる－２００まる＝２６６

３８０まる＝２６６

①＝０．７

ＡＤ＝２９まる＝０．７×２９＝２０．３ｃｍ

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長さと表面積は？（今年　２０１９年　神戸女学院中学部）

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図１のような直方体を上下はそのままで４個はり合わせて、

図２のような立体を作ります。

図１の直方体４個分の表面積の和と図２の立体の表面積の比は

５：４となりました。

図１

図２

（１）「あ」の長さは何ｃｍですか。

（２）図２の立体を２個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Ｐを中心に４５°回転させて、図３のような立体を作ります。

このとき、図３の立体の表面積を求めなさい。

図３

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解法例

（１）図１の立体の表面積は、

３×６×２＋３×あ×２＋あ×６×２

＝１８×あ＋３６

その４個分は、

７２×あ＋１４４

図２の立体は、

３×あ×８＝２４×あ　だけ表面積が少なくなっているので、

（７２×あ＋１４４）：（４８×あ＋１４４）＝５：４

４×（７２×あ＋１４４）＝５×（４８×あ＋１４４）

２８８×あ＋５７６＝２４０×あ＋７２０

４８×あ＝１４４

あ＝３ｃｍ

（２）

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

３×３÷２×２＝.９㎠

この重なった部分は８個あるので、

９×８＝７２㎠

図２の立体２つ分の表面積は、

２×（４８×３＋１４４）＝５７６㎠

図３の立体の表面積は

５７６－７２＝５０４㎠

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色部分の面積は？（今年　２０１９年　ラ・サール中学）

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図の三角形ＡＢＣで角Ａは直角、辺ＡＢの長さは２４ｃｍ、

辺ＡＣの長さは１５ｃｍです。

さらに、ＡＤの長さが６ｃｍ、ＡＥの長さが１０ｃｍ、

ＤＦは辺ＡＣと平行とします。

（１）ＤＦの長さを求めなさい。

（２）色部分の面積を求めなさい。

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解法例

（１）

△ＥＡＢと△ＦＤＢは相似で、

ＡＢ：ＤＢ＝２４：（２４－６）＝４：３

ＤＦ＝１０×３/４＝７．５ｃｍ

（２）

△赤と△緑も相似で、

ＣＥ：ＤＦ＝（１５－１０）：７．５＝２：３

△緑の底辺をＤＦとしたときの高さは、

６×３/５＝３．６ｃｍ

求める面積＝

（２４×１０÷２－１８×７．５÷２）－７．５×３．６÷２

＝（１２０－６７．５）－１３．５

＝３９㎠

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最短距離で行く方法は何通り？（今年　２０１９年　甲陽学院中学）

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下の図のように、９つの小さな正方形の区画があり、

ななめにも進むことができます。

１区画だけななめに進んでよいとき、

ＡからＢまで最短距離で行く方法は何通りありますか。

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解法例

下の図の青線区画を通るとき、

６通り

下の図の青線区画を通るとき、

３通りずつ、３×２＝６通り

下の図の青線区画を通るとき、

１通りずつ、１×２＝２通り

下の図の青線区画を通るとき、

４通り

下の図の青線区画を通るとき、

３通りずつ、３×２＝６通り

下の図の青線区画を通るとき、

６通り

全部で、

６＋６＋２＋４＋６＋６＝３０通り

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