どう解く？中学受験算数

不思議な休憩室

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底面が動く水槽問題（慶應義塾湘南藤沢中等部２０１８年）

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ６０ｃｍのＡのところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分２ｃｍの速さで底面を上げていったところ、

３分後の水面の高さはＡから８ｃｍになりました。

（１）　水は毎分何しℓずつ入りますか。

（２）　水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

（３）　水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを１/３にして、

　　水を入れる量を２倍にしたところ、

　　水を入れ始めてから２４分後に水そうがいっぱいになりました。

　　口に入る数を求めなさい。

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解法例はこちらに！

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分野別２８００問と解法例

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クモが捕らえられる虫はどこにいるかな？（麻布中学２０１８年）

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されている点）が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

虫に最も近い辺上の点(図２、図３中の〇で表されている点)が

複数あるとき、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図１、図２、図３の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

クモの移動する速さは秒速１０ｃｍであるとして、

以下の問いに答えなさい。

（１）図４のように１辺の長さが１０ｃｍの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが１．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（２）図５のように、縦の長さが１０ｃｍ、

横の長さが２０ｃｍの長方形の頂点にクモがいるとします。

クモが２．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（３）　（２）で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

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解法のヒント

２．５ｃｍごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

Panda151587_640

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解法例はこちらに！

　　　　　　 102_4

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点Ｂの動いた道すじの長さは？（今年　２０１９年　栄光学園中学）

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半径１０ｃｍの円の内部に、

１辺の長さが１０ｃｍの正三角形ＡＢＣが図１のようにあります。

点Ａをつけたまま、点Ｂが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図２)。

2111

　　　　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２

次に、点Ｂをつけたまま、点Ｃが円周につくまで回転させます。

このような回転を同じ向きに繰り返していきます。

図１の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を６回繰り返したとき、

点Ｂの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第２位まで求めなさい。

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解法例

Ｂは図のような軌跡になるので、

１０×２×３．１４×（６０×４）/３６０

＝２０×３．１４×２/３

＝４１．８.７ｃｍ

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第２の冒険、連れ戻る方法は何通り？（今年　２０１８年　海城中学）

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第１の冒険はこちらに！

第2の冒険

第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、

図のＡ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートするときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を５つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

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P地点まで勇者は７つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

したがって、勇者は次にA地点で魔王と遭遇することになり、

P地点を通るルートは使えないことになります。

Q地点まで勇者は６つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

Q地点を通るルートは使えないことになります。

R地点までも勇者は６つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

R地点を通るルートは使えないことになります。

S地点まで勇者は７つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

したがって、S地点を通るルートだけが姫を救出する道で、

図のように、S地点まで２１通りの行き方があります。

次に姫を救出したとき、魔王はB地点にいます。

図のように、C地点には行けず、

帰りのルートはA地点の方向になります。

A地点に２人が来たとき、魔王はC地点にいるので、

B地点の方向には行けず、P地点に向かうことになります。

P地点から城へ帰る行き方は図のように３５通りなので、

救出ルートは全部で、

２１×１×１×３５＝７３５通りです。

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出題頻度の多い基本問題です！（今年　２０１８年　函館ラ・サール中学）

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下の図のように、

直角三角形ＡＢＣを点Ｃを中心に時計回りに９０°回転させました。

点Ａが点A’、点Ｂが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

解法例はスクロールした下の方にあります！

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解法例

Gif405_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角９０°、半径５ｃｍの扇形から、

中心角９０°、半径３ｃｍの扇形を引けばよいことになります。

５×５×３．１４×１/４－３×３×３．１４×１/４

＝（２５－９）×３．１４×１/４

＝４×３．１４

＝１２．５６㎠

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円の面積は？（今年　２０１８年　お茶の水女子大学附属中学）

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１辺の長さが２ｃｍの正三角形４枚を使って、

図のような立体ＡＢＣＤを作りました。

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を１つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は３．１４とします。

手順

①図のように、ＢＣＤの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺ＢＤを動かさないようにして、頂点Ａが机につくようにたおす。

③辺ＡＢを動かさないようにして、頂点Ｃが机につくようにたおす。

④辺ＢＣを動かさないようにして、頂点Ｄが机につくようにたおす。

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解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

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解法例

正六角形の一部なので、

円はＢを中心にした半径２ｃｍの円になります。

２×２×３．１４＝１２．５６㎠

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中心０が通った道のりは？（今年　２０１８年　早稲田中学）

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図の地点Ｐから地点Ｑまで半径３ｃｍの円が転がります。

円の中心０が通った道のりは何ｃｍですか。

解法のヒントと解法例はスクロールで！

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解法のヒント

図のように転がっていきます。

10112_2

Apa0307s

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解法例

△赤はいずれも正三角形なので、

黄色部分は中心角が３０°の円弧になり、

緑部分は中心角１２０°の円弧になります。

円弧部分は、３０×４＋１２０＝２４０°なので、

３×２×３．１４×２４０/３６０＋６×５

＝４×３．１４＋３０

＝４２．５６ｃｍ

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おうぎ形の回転（今年　２０１８年　学習院中等科）

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下の図は半径が６ｃｍ、半径にはさまれた角度が４２度のおうぎ形を

点Ａを中心として回転したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7091

（１）おうぎ形を何度回転させたか求めなさい。

（２）色をつけた２つの部分アとイの面積の差を求めなさい。

　　ただし、円周率を３．１４とします。

（３）角ウの大きさを求めなさい。

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図解と解法例はこちらに！

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）