ジグソーパズルを解いたような気分になる名作問題(2023年 灘中学)
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図のように、2つの正方形を組み合わせました。
辺EHの長さが8cmで、辺AHと辺AEの長さの差が2cmであるとき、
三角形AEHの面積は何㎠ですか?
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図のような AB、BC、CA の長さがそれぞれ20m、16m、12mで、
角Cの大きさが 90°である直角三角形ABCの3つの頂点の位置に
牛が1頭ずつロープでつながれています。
A、B、C につながれている ロープの長さは、
それぞれ 16m、12m、20m です。
このとき、牛が動くこ とのできる部分の面積は全部で何㎠ですか。
ただし、牛の大きさ、ロー プの太さは考えないものとし、
ロープはのびないものとします。
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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。
図のように最初の底面の位置は深さ60cmのAの ところにあります。
ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に
毎分2cmの速さで底面を上げていったところ、
3分後の水面の高さは Aから8cm になりました。
(1) 水は毎分何しℓずつ入りますか。
(2) 水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。
(3) 水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを1/3にして、
水を入れる量を2倍にした ところ、
水を入れ始めてから 24分後に水そうがいっぱいになりました。
口に入る数を求めなさい。
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ある長方形があり、
頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。
ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。
クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。
虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、
その点まで辺上を最短経路で移動する。
虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が
複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで
辺上を最短経路で移動する。
こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。
例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、
クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは
それぞれ下図のようになります。
クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、
以下の問いに答えなさい。
(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。
クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、
どのような範囲にいる虫ですか。
その範囲を斜線で示しなさい。
ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。
(2)図5のように、 縦の長さが10cm、
横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。
クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、
どのような範囲にいる虫ですか。
その範囲を斜線で示しなさい。
ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。
(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。
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解法のヒント
2.5cmごとに線をひいて、
クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、
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半径10cmの円の内部に、
1辺の長さが10cmの正三角形ABCが図1のようにあります。
点Aをつけたまま、点Bが円周につくまで、
正三角形を回転させます(図2)。
図1 図2
次に、点Bをつけたまま、点Cが円周につくまで回転させます。
このような回転を同 じ向きに繰り返していきます。
図1の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を6回繰り返したとき、
点Bの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第2位まで求めなさい。
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解法例
Bは図のような軌跡になるので、
10×2×3.14×(60×4)/360
=20×3.14×2/3
=41.8.7cm
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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、
もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。
この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、
帰りは南か西のみ動くことができます。
第2の冒険
第1の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。
この街で魔王は、勇者が道を1つ進むごとに、
図の A、B、C地点をA→B→C→B→A→・・・の移動を繰り返しています。
勇者がスタートする ときには魔王はA地点にいます。
したがって、勇者が道を5つ進んだときに、
魔王はB地点にいることになります。
勇者が魔王に出会わずに、
姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。
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P地点まで勇者は7つ道を移動するので、
魔王はB地点にいます。
したがって、勇者は次にA地点で魔王と遭遇することになり、
P地点を通るルートは使えないことになります。
Q地点まで勇者は6つ道を移動するので、
魔王はC地点にいます。
したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、
Q地点を通るルートは使えないことになります。
R地点までも勇者は6つ道を移動するので、
魔王はC地点にいます。
したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、
R地点を通るルートは使えないことになります。
S地点まで勇者は7つ道を移動するので、
魔王はB地点にいます。
したがって、S地点を通るルートだけが姫を救出する道で、
図のように、S地点まで21通りの行き方があります。
次に姫を救出したとき、魔王はB地点にいます。
図のように、C地点には行けず、
帰りのルートはA地点の方向になります。
A地点に2人が来たとき、魔王はC地点にいるので、
B地点の方向には行けず、P地点に向かうことになります。
P地点から城へ帰る行き方は図のように35通りなので、
救出ルートは全部で、
21×1×1×35=735通りです。
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下の図のように、
直角三角形ABCを点Cを中心に時計回りに90°回転させました。
点Aが点A’、点Bが点B’に移るとき、
斜線部分の面積は何㎠ですか。
ただし、 円周率は3.14とします。
解法例はスクロールした下の方にあります!
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解法例
黄色部分を赤部分に移動すると、
求める面積は、中心角90°、半径5cmの扇形から、
中心角90°、半径3cmの扇形を引けばよいことになります。
5×5×3.14×1/4-3×3×3.14×1/4
=(25-9)×3.14×1/4
=4×3.14
=12.56㎠
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