どう解く？中学受験算数

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切断される立方体の個数は？（今年、２０１８年　浦和明の星女子中学）

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１辺の長さが１ｃｍである小さな立方体をいくつか組み合わせて、

直方体を作ります。

(ア) 図１のような３辺の長さがそれぞれ２ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍの直方体を作り、

　　３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ　を通る平面で切断します。

　　このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図１

（イ）図２のような３辺の長さがそれぞれ４ｃｍ、４ｃｍ、６ｃｍの直方体を作り、

　　３つの頂点Ｄ、Ｅ、Ｆを通る平面で切断します。

　　このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図２

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立方体の切断と体積（東邦大学付属東邦中学　２０１７）

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図のような、１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。

また、点Ｍは辺ＡＥを２等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）３点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

　　点Ｈを含む立体の体積を求めなさい。

（２）（１）で体積を求めた立体を、３点Ｄ、Ｆ、Ｍを通る平面で切り分けたとき、

　　点Ａを含む立体の面の数を求めなさい。

（３）（２）で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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直方体の切断（渋谷教育学園渋谷中学　２０１７年）

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下の図のように、ＡＢとＢＣの長さが６ｃｍ、

ＡＥの長さが２４ｃｍの直方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨがあります。

辺ＢＣ、ＣＤのまん中の点をそれぞれＭ、Ｎとします。

（１）３点Ｍ、Ｎ、Ｈを通る平面でこの直方体を切った場合、

　　切り口はどのような図形になりますか。

（２）３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面でこの直方体を切った場合、

　　この３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面と辺ＢＦとが交わった点から

　　Ｆまでの長さは何ｃｍですか。

（３）３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面でこの直方体を切ったとき、

　　頂点Ａをふくむ方の立体の体積は何立方ｃｍですか。

　　ただし、すい体の体積は、「(底面積) × (高さ) ÷３」で

　　求めることができます。

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立方体は何個？（２０１８年度入試　海陽中等教育学校（特別給費））

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１辺が１ｃｍの透明な立方体を図のように縦８個、横６個、

高さ４個となるように規則正しく直方体となるように積み上げました。

12181

（１）２つの頂点ＡとＢを通るようにレーザー光線で直線を引いたとき、

　　直線が内部を通る立方体は何個ありますか。

　　ただし、頂点や辺のみを通る場合は内部を通らないものとします。

（２）３つの頂点A、C、Dを通る平面で切ったとき、

　　２つの立体に分けられる立方体は何個ありますか。

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この立体の体積は？（豊島岡女子学園中学　2017年）

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は３２４㎠、高さは１２ｃｍです。

この立体の６つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。

ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷３で求めることができます。

（１）立体Ｐの体積は何立方ｃｍですか。

（２）底面ＤＥＦから高さが４ｃｍのところで底面と平行な面で立体Pを切ったとき、

　　底面ＤＥＦを含む立体の体積は何立方ｃｍですか。

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残された空間図形は？（駒場東邦中学　２０１７年）

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１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を４等分します。

②１つの頂点に注目したとき、

　その頂点を端の点とする３つの辺上にある分点(分ける点)のうち、

　頂点から最も離れている３つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Ａに対し、

３点Ｐ　Ｑ　Ｒを通る平面で切り取った図です。

この「作業]を立方体の８個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体「あ」の面を

　解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

　①面「い」の形の名前を答えなさい。

　②(三角形ＰＱＲの面積)：(面「い」の面積)を

　　　最も簡単な整数の比で求めなさい。

（３）立体「あ」の体積を求めなさい。

　ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷３で求めることができます。

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体積比、長さ比は？（広尾学園中学　２０１７年）

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下の図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨにおいて、

辺ＣＧ上にＣＱ：ＱＧ＝３：２となる点をＱとします。

（１）三角錐ＡＢＤＥの体積と直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積の比を求めなさい。

（２）直線ＡＧが平面ＢＤＥと交わる点をＰとするとき、

　　ＡＰ：ＰＧを求めなさい。

（３）直線ＡＱが平面ＢＤＥと交わる点をＲとするとき、

　　三角錐ＲＢＤＧの体積と直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積の比を求めなさい。

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