どう解く？中学受験算数

不思議な休憩室

投稿者 SAKURA 時刻 07時11分日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, パズル, クイズ, 立体の切り口 | 固定リンク | コメント (1)

分野別２８００問と解法例

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立方体の切り口は？（本郷中学　２０１８年）

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図のような１辺の長さが３ｃｍの立方体があります。

点Ｉは辺ＧＨ上、点ＪはＤＨ上にあり、ＧＩ＝ＤＪ＝１ｃｍです。

この立方体を、３点Ａ、Ｆ、Ｊを通る平面で切ったとき、

点Ｅを含む立体をＫとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）立体Ｋの表面のうち、

　　もとの立方体の表面に含まれる部分の面積は何㎠ですか。

（２）この立方体の展開図は下図のようになります。

　　（１）で求めた部分を色部分で表します。

　　　残りの部分に色をつけてください。

（３）立体Ｋの体積は何立方ｃｍですか。

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Gifa

解法例はこちらに！

　　　　 31_3

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切り口の図形は？（芝浦工業大学柏中学２０１８年）

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同じ大きさの立方体５つからなる図のような立体をつくりました。

この立体をＰ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったとき、

切り口の図形で正しいものは、次のア～エのどれになりますか？

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図解と解法例はこちらに！

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立方体の体積の何倍？（今年　２０１９年　渋谷教育学園渋谷中学）

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図のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。

また、点Ｉ、Ｊ、Ｋは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷３」で求められます。

2101

（１）点Ｈ、Ｉ、Ｋを通る平面

（２）点Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面

（３）点Ｆ、Ｉ、Ｊを通る平面

（４）点Ｂ、Ｄ、Ｈを通る平面と、点Ｈ、Ｉ、Ｋを通る平面の２つの平面で同時に切る

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解法例

（１）

図のように、Ａを含む立体は台形柱になるので、

立方体の１辺を１とすると、

（１＋１/２）×１×１/２＝３/４倍

（２）

図のようにＡを含む立体は三角すいになるので、

１×１×１/２×１/３＝１/６倍

（３）

図のようにＡを含む立体は、

立方体からＣを含む立体を引いて求めます。

△ＯＣＩと△ＯＧＦは相似で、相似比は１：２なので、

Ｃを含む立体

＝１×１×１/２×２×１/３－１/２×１/２×１/２×１×１/３

＝１/３－１/２４

＝７/２４

Ａを含む立体＝１－７/２４＝１７/２４倍

（４）

△ＡＢＤを底面とする三角柱を

台形ＡＢＰＫを底辺とする台形柱.（①）と

△ＫＰＤを底面とする三角柱（②）に分けます。

Ａを含む立体は、

①＋（②－三角すいＨＫＰＤ）なので、

（１＋１/２）×１/２×１/２×１＋

（１/２×１/２×１/２×１－１/２×１/２×１/２×１×１/３）

＝３/８＋（１/８－１/２４）

＝３/８＋２/２４

＝９/２４＋２/２４

＝１１/２４倍

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切り口の面積比は？（今年　２０１９年　麻布中学）

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

２点Ｐ、Ｑはそれぞれ２辺ＡＢ、ＣＤ上の点で、

ＡＰ：ＰＢ＝４：３、ＣＱ＝ＱＤです。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

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解法例

切り口は図のようになります。

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

△ＡＰＴと△ＢＰＵは相似で、相似比は４：３

ＰＴの長さを４とすると、ＰＵ＝３

△ＲＥＦと△ＱＣＳと△ＱＤＯは合同、

△ＲＥＦと△ＲＢＰは相似で、相似比は１：２

△ＯＤＴと△ＰＢＵも相似で、相似比は１：２になります。

したがって、ＯＴはＰＵの１/２で、１．５です。

ＱＦ＝１．５＋４＝５．５

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、５．５×□

赤い切り口の面積は、５．５×□－１．５×□÷２

面積比は、

白：赤＝５．５：４．７５＝２２：１９

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切断面の形は？（今年　２０１９年　開成中学）

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次の図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ　があります。

また、辺ＣＤ、ＥＦ、ＧＣ上にそれぞれ点　Ｐ、Ｑ、Ｒ　があり、

ＤＰ＝８ｃｍ、ＰＣ＝１２ｃｍ、ＥＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝９ｃｍが成り立っています。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をＸとします。

図形Ｘを前から見ると(面ＡＢＦＥに垂直な方向から見ると)、

面積が２２８㎠の図形に見えます。

図形Ｘを上から見ると(面ＡＢＣＤに垂直な方向から見ると)、

面積が２６６㎠の図形に見えます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　図形Ｘは何角形ですか。

（２）　直方体の高さ(辺ＡＥの長さ)は何ｃｍですか。

（３）　直方体の奥行き(辺ＡＤの長さ)は何ｃｍですか。

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解法例

（１）切り口は図のような六角形です。

（２）前から見ると下の図のように見えます。

ＴＱとＰＲは平行なので、

△ＴＥＱと△ＲＣＰは相似になり、

ＴＥ＝４×３/４＝３ｃｍ

六角形ＡＴＱＦＲＰ＝２２８㎠なので、

ＡＥ＝□ｃｍとすると、

２０×□－（４×３÷２＋１２×９÷２）＝２２８

２０×□－６０＝２２８

２０×□＝２８８

ＡＥ＝□＝１４．４ｃｍ

（３）下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

△ＴＥＱと△ＯＤＰは相似なので、

ＯＤ＝８×３/４＝６ｃｍ

△ＯＤＳと△ＴＡＳも相似なので、

ＯＤ：ＴＡ＝６：（１４．４－３）＝６：１１．４＝１０：１９より、

ＤＳ：ＳＡ＝１０：１９

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

ＤＰ：ＦＱ＝８：１６＝１：２より、

ＤＳ：ＢＵ＝１０：２０

２０×（⑩＋⑲）－（８×⑩÷２＋１６×⑳÷２）＝２６６

５８０まる－２００まる＝２６６

３８０まる＝２６６

①＝０．７

ＡＤ＝２９まる＝０．７×２９＝２０．３ｃｍ

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切られる立方体はいくつ？（筑波大学附属中学　２０１７年）

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同じ大きさの立方体を、

図のように６４個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。

Paper

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

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解法例

２段目では５個

３段目では３個

一番下の段では、１個

合計、７＋５＋３＋１＝１６個　です。

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点Dを含む立体の体積は？（今年　２０１８年　芝中学）

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１辺が３ｃｍの立方体を下の図の様に

辺を３等分した点Ａ、Ｂと頂点Ｃを結んで切ります。

ＤＥの長さは何ｃｍですか。

また、点Dを含む立体の体積は何立方ｃｍですか。

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください！

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解法のヒント

切り口は図のようになります。

ＥＡとＢＣは平行になります。

△ＡＥＦと△ＢＣＧは相似になり、

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解法例

ＣＧ：ＧＢ＝３：２＝ＥＦ：ＦＡ

ＥＦ＝１×３/２＝１．５ｃｍ

ＤＥ＝１．５ｃｍ

Ｄを含む立体は図のように、

底辺がＡＰＱＤＥ、頂点がＣの五角すいと、

底辺がＢＲＱＤＳ、頂点がＣの五角すいと、

底辺がＥＤＳ、頂点がＣの三角すいでできています。

高さはいずれも３ｃｍなので、

（３×３－１×１．５÷２）×３÷３×２＋

１．５×１．５÷２×３÷３

＝８．２５×２＋１．１２５

＝１７．６２５立方ｃｍ

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