どう解く？中学受験算数

不思議な休憩室

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2019年4月19日 (金)

移動経路は何通り？（今年　２０１９年　開成中学）

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《図１》は一辺の長さが１の正方形を２個並べて、横１、縦２の長方形をつくり、

その長方形と点　Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたものです。

図の中で点Ａ　と点Ｂを結ぶすべての線が、通ることのできる道です。

《図２》は一辺の長さが１の正方形を３個並べて、横３、縦１の長方形をつくり、

その長方形と点Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたもので、

《図３》は一辺の長さが１の正方形を６個並べて、横３、縦２の長方形をつくり、

その長方形と点Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたものです。

それぞれ　《図１》と同じく、

点Ａ、Ｂを結ぶすべての線を道として通ることができます。

次のような規則に従ってこれらの道を通り、

点Ａから点Ｂまで移動することを考えます。

規則

「一回だけ左に１進み、それ以外は右または上に進む」

ただし、進む方向を変更できるのは正方形の頂点の場所だけです。

点Ａにもどったり、点Ｂからもどったりはできません。

また、規則に従うかぎり、同じ道を２回以上通ることも可能です。

このとき、《図１》の点Ａから点Ｂまでの移動経路は１０通りあります。

では、《図２》、《図３》のそれぞれについて、

考えられる移動経路は何通りありますか。

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解法例

図２の場合

図の赤い部分を左に１回進む場合、

４通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

２通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

２通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

４通り、

全部で、４＋３＋２＋２＋３＋４＝１８通り

図３の場合

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30710

１０通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30711

６通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30712

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30713

８通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30714

９通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30715

８通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30716

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30717

６通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30718

１０通り、

全部で、（１０＋６＋３）×２＋（８＋９＋８）

＝３８＋２５

＝６３通り

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2019年3月 7日 (木)

道順は何通り？（今年　２０１９年　開成中学）

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空間内または平面上にひかれた道を進んで、

点Ａから点Ｂまで移動するとき、その移動経路が何通りあるかを考えます。

《図１》は一辺の長さが１の立方体を４個組み合わせて、

横幅２、高さ２、奥行き１の直方体をつくり、

その直方体と点Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたものです。

図の中で点Ａと点Ｂを結ぶ太線が、通ることのできる道です。

《図２》は一辺の長さが１の立方体を４個組み合わせて、

横幅４、高さ、奥行き１の直方体をつくり、

その直方体と点Ａ、Ｂ　を結ぶ道をつけたものです。

《図１》と同じく太線で表された道を通ることができます。

これらの道を右、上または奥のいずれかの方向に進むことで、

点Ａから点Ｂまで移動するとき、考えられる移動経路は,

《図１》、《図２》のそれぞれについて何通りありますか。

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解法例

図のように、各頂点での道順の場合の数を記入していくと、

図１は１０通り、

図２は１８通り　になります。

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2019年1月26日 (土)

最短距離で行く方法は何通り？（今年　２０１９年　甲陽学院中学）

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下の図のように、９つの小さな正方形の区画があり、

ななめにも進むことができます。

１区画だけななめに進んでよいとき、

ＡからＢまで最短距離で行く方法は何通りありますか。

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解法例

下の図の青線区画を通るとき、

６通り

下の図の青線区画を通るとき、

３通りずつ、３×２＝６通り

下の図の青線区画を通るとき、

１通りずつ、１×２＝２通り

下の図の青線区画を通るとき、

４通り

下の図の青線区画を通るとき、

３通りずつ、３×２＝６通り

下の図の青線区画を通るとき、

６通り

全部で、

６＋６＋２＋４＋６＋６＝３０通り

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2018年12月24日 (月)

第２の冒険、連れ戻る方法は何通り？（今年　２０１８年　海城中学）

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第１の冒険はこちらに！

第2の冒険

第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、

図のＡ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートするときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を５つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

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P地点まで勇者は７つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

したがって、勇者は次にA地点で魔王と遭遇することになり、

P地点を通るルートは使えないことになります。

Q地点まで勇者は６つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

Q地点を通るルートは使えないことになります。

R地点までも勇者は６つ道を移動するので、

魔王はC地点にいます。

したがって、勇者は次にB地点で魔王と遭遇することになり、

R地点を通るルートは使えないことになります。

S地点まで勇者は７つ道を移動するので、

魔王はB地点にいます。

したがって、S地点を通るルートだけが姫を救出する道で、

図のように、S地点まで２１通りの行き方があります。

次に姫を救出したとき、魔王はB地点にいます。

図のように、C地点には行けず、

帰りのルートはA地点の方向になります。

A地点に２人が来たとき、魔王はC地点にいるので、

B地点の方向には行けず、P地点に向かうことになります。

P地点から城へ帰る行き方は図のように３５通りなので、

救出ルートは全部で、

２１×１×１×３５＝７３５通りです。

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2018年8月30日 (木)

第２の冒険、連れ戻る方法は何通り？（今年　２０１８年　海城中学）

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第2の冒険

第１の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去られてしまいました。

この街で魔王は、勇者が道を１つ進むごとに、

図のＡ、Ｂ、Ｃ地点をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｂ→Ａ→・・・の移動を繰り返しています。

勇者がスタートするときには魔王はA地点にいます。

したがって、勇者が道を５つ進んだときに、

魔王はB地点にいることになります。

勇者が魔王に出会わずに、

姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

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2018年8月28日 (火)

姫を連れ戻る道順は何通り？（今年　２０１８年　海城中学）

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これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、

もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。

この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、

帰りは南か西のみ動くことができます。

第１の冒険図のように

街には川が流れており、橋を渡って通るしかありません。

ただし、橋は１度通るとこわれてしまい、

再び通ることができなくなります。

このとき、勇者が姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は

何通りありますか。

第１の冒険図

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2018年4月16日 (月)

行き方は何通り？（今年　２０１８年　栄光学園中学）

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下の図のような、６つの正方形からなるマス目があります。

この正方形の辺を通って、点Ａから点Ｂへ行きます。

点Ａから点Ｂへ最短距離で行くときは５つの辺を通ることになりますが、

以下の問では最短距離では行かず、

７つや９つの辺を通る行き方を考えます。

ただし、同じ辺や頂点は２回以上通ってはいけないこととします。

（１）点Ａを右向きに出発します。

　　下の例のように行くと、点Ａから点Ｂまで７つの辺を通ることになります。

　　この行き方以外に、点Ａを右向きに出発して７つの辺を通って

　　点Ｂへ行く行き方は何通りありますか。

例

（２）点Ａを下向きに出発して、

　　７つの辺を通って点Ｂへ行く行き方をすべてかいてください。

Bandicam_20180211_101803912

（３）点Ａから点Ｂまで９つの辺を通る行き方は何通りありますか。

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2018年1月24日 (水)

電灯が消えている部屋は？（今年　２０１８年　洛南高附属中学）

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下の図のように縦に４部屋、横に４部屋の合計１６部屋が並んでいます。

各部屋からは隣り合う部屋に移動することができますが、

１部屋通るのに１分かかります。

各部屋には電灯があり、電灯がついている部屋に入ると電灯が消え、

電灯が消えている部屋に入ると電灯がつきます。

最初、電灯の消えている部屋は図の|緑色で表されています。

Ｓから入って７分でＧから出るとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ｇから出たとき、

　　各部屋の電灯が次の図のようになる経路を線でかきなさい。

（２）Ｇから出たとき、電灯が消えている部屋の数はいくつですか。

　　考えられる数をすべて答えなさい。

（３）ＳからGまで行く経路は全部で何通りありますか。

（４）Ｇから出たときに電灯が消えている部屋は、平均でいくつありますか。

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