面積が6㎠の正六角形 ABCDEF があります。
図のように、 P、Q、 R をそれぞれ
辺 AB、 CD、EF の真ん中の点とします。
三角形 PQR の面積を求めなさい。
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図は、おうぎ形 ＡＯＢ を
点Ｂを中心に ４５°回転 した様子を表しています。
色のついた部分の面積は何㎠ですか？
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解法例
下の図の黄色部分を赤部分に移動すると、
求める面積は、
半径ＡＢ、中心角４５°のおうぎ形の面積になることがわかります。
ＡＢ×ＡＢ＝８×８×２＝１２８
求める面積は、
１２８×３．１４×４５/３６０
＝１６×３．１４
＝５０，２４㎠
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下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形で、
ＡＥ＝６ｃｍ、ＥＤ＝８ｃｍ、ＤＧ：ＧＣ＝２：５、
∠ＤＥＨ＝∠ＧＦＣ、
三角形ＧＦＣの面積は１０㎠です。
次の問いに答えなさい。
（１）ＣＦは何ｃｍですか？
（２）ＡＢは何ｃｍですか？
（３）三角形ＢＦＨの面積は何㎠ですか？
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解法例
（１）
△ＧＦＣと△ＦＥＰは相似で、相似比は５：７より、
（⑤＋⑦）＝⑫が８ｃｍなので、
ＣＦ＝⑤＝８×５/１２＝１０/３ｃｍ
（２）
１０/３×ＣＧ×１/２＝１０㎠なので、
ＣＧ＝１０÷５/３＝６ｃｍ
ＤＧ＝６×２/５＝１２/５ｃｍ
ＡＢ＝６＋１２/５＝４２/５ｃｍ
（３）
△ＤＥＨと△ＢＦＨは相似で、相似比は
８：（１４－１０/３）＝８：３２/３＝２４：３２＝３：４
△ＢＦＨの面積＝３２/３×４２/５×４/７×１/２
＝３２/３×１２/５
＝１２８/５㎠
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下の図において、三角形ＡＥＦ、三角形ＦＤＣ、三角形ＡＦＣの面積は
それぞれ４㎠、５㎠、６㎠です。
（１）三角形 ＥＤＦの面積を求めなさい。
（２）三角形 ＥＢＤの面積を求めなさい。
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解法例
（１）△ＡＤＣ：△ＦＤＣ＝（６＋５）：５＝１１：５
ＡＦ：ＦＤ＝６：５
△ＡＥＤ：△ＡＥＦ＝１１：６ なので、
△ＡＥＦ：△ＥＤＦ＝６：５ より、
△ＥＤＦ＝４×５/６＝１０/３㎠
３と１/３㎠
（２）△ＡＤＣと△ＥＤＣは共通な底辺ＤＣなので、
高さの比は、△ＡＤＣ：△ＥＤＣ＝１１：（５＋１０/３）＝１１：２５/３
△ＡＢＤと△ＥＢＤは共通の底辺ＢＤなので、
面積比は、△ＡＢＤ：△ＥＢＤ＝１１：２５/３
△ＥＢＤの面積を□㎠とすると、
（２２/３＋□）：□＝１１：２５/３
１１×□＝２５/３×（２２/３＋□）
１１×□－２５/３×□＝５５０/９
８/３×□＝５５０/９
２４×□＝５５０
□＝２７５/１２㎠
２２と１１/１２㎠
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下の図のような点Ｏを中心とする円について、
色部分の面積の和は何㎠ですか？
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解法例
ＰＪを対象軸として、弧ＤＦをＡＢに移動すると、
ＩＨ＝ＨＧ＝ＣＪ＝ＪＥ＝１ｃｍなので、
弧ＡＢＣは円周の半部であることがわかります。
したがって、ＡＣは直径になり、中心Ｏを通ります。
求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、
ＯＨ＝ＢＨ＝ＨＦ＝５ｃｍ なので、
円の半径を□ｃｍとすると、
□×□÷２＝５×５＝２５
□×□＝５０
ＤＩ＝ＡＧ＝１２－５－５＝２ｃｍ
ＣＥ＝２ｃｍ
△黄＝△ＡＢＧ＋台形ＢＣＥＧ－△ＡＣＥ なので、
△黄＝６×２÷２＋（６＋２）×１２÷２－２×１４÷２
＝６＋４８－１４
＝４０㎠
求める面積＝５０×３．１４÷２－４０＝３８．５㎠
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下の図のような１辺の長さが１５ｃｍ の正方形 ＡＢＣＤ があり、
Ｅは辺ＢＣを３等分した点のうちＢに近い方の点です。
△ＡＥＦの周の長さが最も短くなるように点Ｆを辺 ＣＤ 上にとるとき、
△AEF の面積は何㎠ですか。
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解法例
ＤＣを鏡と考えると、
Ａを出発した光はＥの対称点Ｇに向かい、
Ｆで反射し、Ｅに最短距離で届きます。
∠ＡＦＤ＝∠ＧＦＣ＝∠ＥＦＣ
△黄と△緑は相似で相似比は、１５：１０＝３：２
したがって、ＤＦ＝１５×３/５＝９ｃｍ
ＦＣ＝１５×２/５＝６ｃｍ
△ＡＥＦの面積は、
（１５＋１０）×１５÷２－（９×１５÷２＋６×１５÷２）
＝１８７．５－９７．５
＝９０㎠
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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたもの です。
図の色部分の面積を求めなさい。
ただし、円周率は3.14 とします。
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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、
赤い部分は小さい円の３/４になります。
緑部分の面積は、
半径４ｃｍ、中心角１３５°のおうぎ形から、
黄と赤部分を引いて求めます。
４×４×３．１４×１３５/３６０－２×２×３．１４×３/４
＝６×３．１４－３×３．１４
＝３×３．１４
＝９．４２㎠
９．４２－２×２÷２＝７．４２㎠
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図のように、直径が6cmの半円の紙を
中心Oが円周上にくるように折りました。
図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14と します。
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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。
△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、
ACとBOは平行になり、
△ABCは△AOCに等積移動できます。
すると、白い部分は半径３ｃｍ、中心角６０°の
扇形の面積に等しいので、
求める面積＝３×３×３．１４×１/２－３×３×３．１４×１/６
＝３×３×３．１４×１/３
＝３×３．１４
＝９．４２㎠
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半径１２ｃｍ、中心角９０°のおうぎ形と、
半径６ｃｍ、中心角９０°のおうぎ形が図のように重なっています。
点ＢとＣはＡからＤまでの弧を３等分した点です。
色部分の面積は何㎠ですか？
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解法例
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝３０° なので、
△ＢＥＯは９０°６０°３０°の直角三角形になり、
ＢＥ＝１２×１/２＝６ｃｍ
△ＢＦＯ＋△ＣＧＯ＝６×６÷２×２＝３６㎠
おうぎ形茶の面積＝１２×１２×３．１４×３０/３６０＝１２×３．１４㎠
色部分の合計から小さなおうぎ形を引くと、
３６＋１２×３．１４－６×６×３．１４×９０/３６０
＝３６＋１２×３．１４－９×３．１４
＝３６＋３×３．１４
＝４５．４２㎠
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