ジグソーパズルを解いたような気分になる名作問題(2023年 灘中学)
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下の図のように、半径2cm、3cm、4cmの半円と
直線を組み合わせてできた図形があります。
色部分の面積の和を求めなさい。
ただし、 円周率は3.14 とします。
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図のように、2つの正方形を組み合わせました。
辺EHの長さが8cmで、辺AHと辺AEの長さの差が2cmであるとき、
三角形AEHの面積は何㎠ですか?
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面積が6㎠の正六角形 ABCDEF があります。
図のように、 P、Q、 R をそれぞれ
辺 AB、 CD、EF の真ん中の点とします。
三角形 PQR の面積を求めなさい。
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図は、おうぎ形 AOB を
点Bを中心に 45°回転 した様子を表しています。
色のついた部分の面積は何㎠ですか?
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解法例
下の図の黄色部分を赤部分に移動すると、
求める面積は、
半径AB、中心角45°のおうぎ形の面積になることがわかります。
AB×AB=8×8×2=128
求める面積は、
128×3.14×45/360
=16×3.14
=50,24㎠
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下の図で、四角形ABCDは長方形で、
AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、
∠DEH=∠GFC、
三角形GFCの面積は10㎠です。
次の問いに答えなさい。
(1)CFは何cmですか?
(2)ABは何cmですか?
(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?
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解法例
(1)
△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、
(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、
CF=⑤=8×5/12=10/3cm
(2)
10/3×CG×1/2=10㎠なので、
CG=10÷5/3=6cm
DG=6×2/5=12/5cm
AB=6+12/5=42/5cm
(3)
△DEHと△BFHは相似で、相似比は
8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4
△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2
=32/3×12/5
=128/5㎠
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下の図において、三角形AEF、三角形FDC、三角形AFCの面積は
それぞれ4㎠、5㎠、6㎠です。
(1)三角形 EDFの面積を求めなさい。
(2)三角形 EBDの面積を求めなさい。
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解法例
(1)△ADC:△FDC=(6+5):5=11:5
AF:FD=6:5
△AED:△AEF=11:6 なので、
△AEF:△EDF=6:5 より、
△EDF=4×5/6=10/3㎠
3と1/3㎠
(2)△ADCと△EDCは共通な底辺DCなので、
高さの比は、△ADC:△EDC=11:(5+10/3)=11:25/3
△ABDと△EBDは共通の底辺BDなので、
面積比は、△ABD:△EBD=11:25/3
△EBDの面積を□㎠とすると、
(22/3+□):□=11:25/3
11×□=25/3×(22/3+□)
11×□-25/3×□=550/9
8/3×□=550/9
24×□=550
□=275/12㎠
22と11/12㎠
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下の図のような点Oを中心とする円について、
色部分の面積の和は何㎠ですか?
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解法例
PJを対象軸として、弧DFをABに移動すると、
IH=HG=CJ=JE=1cmなので、
弧ABCは円周の半部であることがわかります。
したがって、ACは直径になり、中心Oを通ります。
求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、
OH=BH=HF=5cm なので、
円の半径を□cmとすると、
□×□÷2=5×5=25
□×□=50
DI=AG=12-5-5=2cm
CE=2cm
△黄=△ABG+台形BCEG-△ACE なので、
△黄=6×2÷2+(6+2)×12÷2-2×14÷2
=6+48-14
=40㎠
求める面積=50×3.14÷2-40=38.5㎠
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