どう解く？中学受験算数

投稿者 SAKURA 時刻 07時01分日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, パズル, クイズ, 面積 | 固定リンク | コメント (0)

長さと面積は？（今年　２０１９年　武蔵中学）

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下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形で、

ＡＥ＝６ｃｍ、ＥＤ＝８ｃｍ、ＤＧ：ＧＣ＝２：５、

∠ＤＥＨ＝∠ＧＦＣ、

三角形ＧＦＣの面積は１０㎠です。

次の問いに答えなさい。

（１）ＣＦは何ｃｍですか？

（２）ＡＢは何ｃｍですか？

（３）三角形ＢＦＨの面積は何㎠ですか？

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解法例

（１）

△ＧＦＣと△ＦＥＰは相似で、相似比は５：７より、

（⑤＋⑦）＝⑫が８ｃｍなので、

ＣＦ＝⑤＝８×５/１２＝１０/３ｃｍ

（２）

１０/３×ＣＧ×１/２＝１０㎠なので、

ＣＧ＝１０÷５/３＝６ｃｍ

ＤＧ＝６×２/５＝１２/５ｃｍ

ＡＢ＝６＋１２/５＝４２/５ｃｍ

（３）

△ＤＥＨと△ＢＦＨは相似で、相似比は

８：（１４－１０/３）＝８：３２/３＝２４：３２＝３：４

△ＢＦＨの面積＝３２/３×４２/５×４/７×１/２

＝３２/３×１２/５

＝１２８/５㎠

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△ＥＤＦと△ＥＢＤの面積は？（今年　２０１９年　東大寺学園中学）

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下の図において、三角形ＡＥＦ、三角形ＦＤＣ、三角形ＡＦＣの面積は

それぞれ４㎠、５㎠、６㎠です。

（１）三角形ＥＤＦの面積を求めなさい。

（２）三角形ＥＢＤの面積を求めなさい。

1231

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解法例

（１）△ＡＤＣ：△ＦＤＣ＝（６＋５）：５＝１１：５

ＡＦ：ＦＤ＝６：５

△ＡＥＤ：△ＡＥＦ＝１１：６　なので、

△ＡＥＦ：△ＥＤＦ＝６：５　より、

△ＥＤＦ＝４×５/６＝１０/３㎠

３と１/３㎠

（２）△ＡＤＣと△ＥＤＣは共通な底辺ＤＣなので、

高さの比は、△ＡＤＣ：△ＥＤＣ＝１１：（５＋１０/３）＝１１：２５/３

△ＡＢＤと△ＥＢＤは共通の底辺ＢＤなので、

面積比は、△ＡＢＤ：△ＥＢＤ＝１１：２５/３

△ＥＢＤの面積を□㎠とすると、

（２２/３＋□）：□＝１１：２５/３

１１×□＝２５/３×（２２/３＋□）

１１×□－２５/３×□＝５５０/９

８/３×□＝５５０/９

２４×□＝５５０

□＝２７５/１２㎠

２２と１１/１２㎠

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色部分の面積の和は？（今年　２０１９年　灘中学　１日目）

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下の図のような点Ｏを中心とする円について、

色部分の面積の和は何㎠ですか？

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解法例

ＰＪを対象軸として、弧ＤＦをＡＢに移動すると、

ＩＨ＝ＨＧ＝ＣＪ＝ＪＥ＝１ｃｍなので、

弧ＡＢＣは円周の半部であることがわかります。

したがって、ＡＣは直径になり、中心Ｏを通ります。

求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、

ＯＨ＝ＢＨ＝ＨＦ＝５ｃｍ　なので、

円の半径を□ｃｍとすると、

□×□÷２＝５×５＝２５

□×□＝５０

ＤＩ＝ＡＧ＝１２－５－５＝２ｃｍ

ＣＥ＝２ｃｍ

△黄＝△ＡＢＧ＋台形ＢＣＥＧ－△ＡＣＥ　なので、

△黄＝６×２÷２＋（６＋２）×１２÷２－２×１４÷２

＝６＋４８－１４

＝４０㎠

求める面積＝５０×３．１４÷２－４０＝３８．５㎠

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△AEF の面積は何㎠？（今年　2019年　大阪星光学院中学）

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下の図のような１辺の長さが１５ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、

Ｅは辺ＢＣを３等分した点のうちＢに近い方の点です。

△ＡＥＦの周の長さが最も短くなるように点Ｆを辺ＣＤ上にとるとき、

△AEF の面積は何㎠ですか。

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解法例

ＤＣを鏡と考えると、

Ａを出発した光はＥの対称点Ｇに向かい、

Ｆで反射し、Ｅに最短距離で届きます。

∠ＡＦＤ＝∠ＧＦＣ＝∠ＥＦＣ

△黄と△緑は相似で相似比は、１５：１０＝３：２

したがって、ＤＦ＝１５×３/５＝９ｃｍ

ＦＣ＝１５×２/５＝６ｃｍ

△ＡＥＦの面積は、

（１５＋１０）×１５÷２－（９×１５÷２＋６×１５÷２）

＝１８７．５－９７．５

＝９０㎠

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色部分の面積は？（今年　２０１９年　浦和明の星女子中学）

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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたものです。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、

赤い部分は小さい円の３/４になります。

緑部分の面積は、

半径４ｃｍ、中心角１３５°のおうぎ形から、

黄と赤部分を引いて求めます。

４×４×３．１４×１３５/３６０－２×２×３．１４×３/４

＝６×３．１４－３×３．１４

＝３×３．１４

＝９．４２㎠

９．４２－２×２÷２＝７．４２㎠

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色部分の面積は？（鎌倉学園中学２０１７年）

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図のように、直径が6cmの半円の紙を

中心Oが円周上にくるように折りました。

図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14とします。

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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。

3252

△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、

ACとBOは平行になり、

△ABCは△AOCに等積移動できます。

3253

すると、白い部分は半径３ｃｍ、中心角６０°の

扇形の面積に等しいので、

求める面積＝３×３×３．１４×１/２－３×３×３．１４×１/６

＝３×３×３．１４×１/３

＝３×３．１４

＝９．４２㎠

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色部分の面積は？（今年　２０１８年　大阪星光学院中学）

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半径１２ｃｍ、中心角９０°のおうぎ形と、

半径６ｃｍ、中心角９０°のおうぎ形が図のように重なっています。

点ＢとＣはＡからＤまでの弧を３等分した点です。

色部分の面積は何㎠ですか？

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解法例

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∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝３０°　なので、

△ＢＥＯは９０°６０°３０°の直角三角形になり、

ＢＥ＝１２×１/２＝６ｃｍ

△ＢＦＯ＋△ＣＧＯ＝６×６÷２×２＝３６㎠

おうぎ形茶の面積＝１２×１２×３．１４×３０/３６０＝１２×３．１４㎠

色部分の合計から小さなおうぎ形を引くと、

３６＋１２×３．１４－６×６×３．１４×９０/３６０

＝３６＋１２×３．１４－９×３．１４

＝３６＋３×３．１４

＝４５．４２㎠

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クモが捕らえられる虫はどこにいるかな？（今年　２０１８年　麻布中学）

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されている点）が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

虫に最も近い辺上の点(図２、図３中の〇で表されている点)が

複数あるとき、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図１、図２、図３の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

クモの移動する速さは秒速１０ｃｍであるとして、

以下の問いに答えなさい。

（１）図４のように１辺の長さが１０ｃｍの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが１．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（２）図５のように、縦の長さが１０ｃｍ、

横の長さが２０ｃｍの長方形の頂点にクモがいるとします。

クモが２．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（３）　（２）で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

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解法のヒント

２．５ｃｍごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

Panda151587_640

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解法例

（１）

（２）

（３）

（５×５）×５＋（５×５）×１/２＋（５×５）×３/４

＝（５×５）×（５＋１/２＋３/４）

＝２５×６．２５

＝１５６．２５㎠

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色のついた部分の周の長さは？（今年　２０１８年　豊島岡女子学園中学）

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下の図は、１辺の長さが６ｃｍの正１０角形と、

その頂点を中心とし、半径が６ｃｍの円の一部を組み合わせた図形です。

図の色のついた部分の周の長さの合計は何ｃｍですか。

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解法のヒント

△赤は正三角形になり、

弧A➡C➡Bの長さは、中心角６０°半径６ｃｍの円弧になりますね。

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解法例

求める長さは、

６×２×３．１４×６０/３６０×１０＋６×５

＝１２×３．１４×２０/１２＋３０

＝２０×３．１４＋３０

＝６２．８＋３０

＝９２．８ｃｍ

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