体積: どう解く？中学受験算数

平面と平面が交わると、そこは直線になりますね。（２０２３年　開成中学）

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図のような、

各辺の長さが１０ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。

図のように、

辺ＡＤ、ＡＥ、ＢＣ、ＢＦ上にそれぞれ点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌがあり、

ＡＩ＝６ｃｍ、ＡＪ＝６ｃｍ、ＢＫ＝６ｃｍ、ＢＬ＝６ｃｍです。

また、辺ＡＥ、ＡＢ、ＤＨ、ＤＣ上にそれぞれ点Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐがあり、

ＡＭ＝３ｃｍ、ＡＮ＝３ｃｍ、ＤＯ＝３ｃｍ、ＤＰ＝３ｃｍです。

この立方体を、４点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面と

４点Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐを通る平面で切断して、

４つの立体に切り分けます。

切り分けてできる４つの立体のうち、

頂点Ｇをふくむ立体をＸとします。

次の問いに答えなさい。

（１）解答らんには、もとの立方体と四角形ＩＪＬＫと

四角形ＭＮＰＯの辺が薄くかかれています。

立体Ｘの見取図をかきなさい。

ただし、見えている辺は濃い線で、見えていない辺は濃い点線で

かき入れなさい。

（２）立体Ｘの体積を求めなさい。

アニメーションイメージ解法はこちらに！

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分野別２８００問と解法例

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回転体の体積比は（今年　２０１９年　東大寺学園中学）

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下の図において,三角形 ABC は直角二等辺三角形で,

AC = BC = ９cm です。

BC を三等分する点をBに近い方から D, E とし,

Dを通り BC に垂直な直線をア,Eを通り BC に垂直な直線をイとします。

（１）三角形 ABC を直線アのまわりに１回転してできる立体の体積は,

　　　三角形 ABC を直線 AC のまわりに１回転してできる立体の体積の何倍ですか.

（２）三角形 ABCを直線イのまわりに1回転してできる立体の体積は,

　　　三角形 ABC を直線 AC のまわりに1回転してできる立体の体積の何倍ですか。

4091

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解法例

△ＡＢＣをＡＣのまわりで１回転させると、

円周率は共通なので、計算から除外して考えると、

この回転体の体積比は、

９×９×９×１/３＝２４３

（１）は

半径６ｃｍ、高さ９ｃｍの円柱から

点線部分の円すいを引きます。

６×６×９－６×６×６×１/３

＝２５２

体積比は、２５２/２４３＝２８/２７

（２）は

円すいと円柱の重なった立体から、

点線部分の円すいを引きます。

６×６×６×１/３－３×３×３×１/３＝６３

３×３×６－３×３×３×１/３＝４５

６３＋４５＝１０８

体積比は、１０８/２４３＝４/９

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体積は？（今年　２０１８年　灘中学　１日目）

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下の図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨと３点Ｐ、Ｑ、Ｒがあります。

３点Ｂ、Ｄ、Ｈを通る平面をア、

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面をイ、

３点Ａ、Ｂ、Ｈを通る平面をウとします。

この直方体を平面アとイで切って、４つの立体に分けるとき、

頂点Ｅを含む立体の体積は【　】立方ｃｍです。

また、この直方体を平面アとイとウで切って、８つの立体に分けるとき、

頂点Ｅを含む立体の体積は【　】立方ｃｍです。