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不合格だった人の数は?(2017年 海城中学)

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40人のクラスでA、Bの2種類のテストを行いました。

どちらのテストも100点満点であり、60点以上で合格です。

Aの合格者は27人、Bの合格者は21人で、

Aだけ合格した人の数はBだけ合格した人の数の2倍でした。

また、Aを80点以上で合格した人は13人で、

そのうちBも合格した人は6人でした。

(1)A も Bも不合格だった人は何人ですか。

(2)Aを80点未満で合格したが、Bが不合格だった人は何人ですか。

2203

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8311

(1)両方合格した人数を□とすると、

27-□=2×(21-□)

27-□=42-2×□

□=42-27=15人

黄=27-15=12人

緑=21-15=6人

両方とも不合格だった人数=40-(12+15+6)=7人

(2)

8312

Aが80点以上でBは不合格だった人は、

13-6=7人 なので、

Aを80点未満で合格したが、Bが不合格だった人は

12-7=5人

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682

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この三角形の面積は何c㎡?(今年 2017年 洗足学園中学)

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面積が6c㎡の正六角形をすき間なく敷き 詰め、

図のように、三角形をかきました。

この三角形の面積は何c㎡ですか?

3121

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図のように等積移動して、

緑、水色、赤の3つの三角形に分けます。

3122

3123

緑=3×2+6=12c㎡

水色=3×2+1×2=8c㎡

赤=6×2+3×4+1=25c㎡

求める面積=12+8+25=45c㎡

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光 が通る部分の体積は?(2016年2日目 灘中学)

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1辺の長さが6cmの正方形のガラス板を6枚使って、

図のような立方体の形をした箱を作り、 水平な床に置きます。

上面ABCDの部分のガラス板は、

1辺の長さが3cmの斜線部分の正方形の2辺が

箱の辺AB、ADと重なるように置かれています。

ガラス板の斜線部分は光を通さず、斜線部分以外の部分は光を通します。

点QはDの真上6cmのところにあります。

ガラス板の厚さ、電球の大きさは考えないとすると、

電球が点Qの位置にあるとき、

箱の内部で、電球の光 が通る部分の体積は何立方cmですか。

Bandicam_20160127_092036959

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光が届かない部分は、

図のように、青い正方形の下の緑部分になります。

Bandicam_20160127_090759792

この部分の体積は、

底辺が3×6÷2=9c㎡、高さが6cmの三角柱から、

底辺が3×3=9c㎡、高さが6cmの四角すいを引いたものです。

9×6-9×6÷3=36立方cm

したがって、光が通る部分は、

6×6×6-36=180立方cm

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面積とグラフの関係は?(2017年  桐蔭学園中学校男子部)

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【図1】のような辺ADの長さが8cmである長方形ABCDがあります。

辺BC上に点Eをとります。

点Pは長方形ABCDの辺上を毎秒1cmの速さで、

点Aを出発し、点Bを通って、点Cまで動くとします。

また、【図2】は、点Pが点Aを出発してから点Cに着くまでの

時間と三角形APEの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7271

(1)辺ABの長さは何cmですか。

(2)BEの長さは何cmですか。

(3)【図2】の(ア) (イ)にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

(4) 三角形APEの面積が8㎠になるのは、

  点Pが点Aを出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

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(1)Bは、PがAからEまで動く中で、

△APEが最大になるときなので、9㎠のとき、

つまり、6秒後なので、6cmです。

(2)9×2÷6=3cm

(3)アはPがEに来たときで、ア=6+3=9秒後

イはPがCに来たときで、(8-3)×6÷2=15㎠

(4)△APEが8㎠になるときは図のように3回あります。

7272

1回目→8×2÷3=5と1/3秒後

2回目→8×2÷6=2と2/3cmなので、

      6+(3-2と2/3)=6と1/3秒後

3回目→9+2と2/3=11と2/3秒後

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時計算の難問!(開成中学 2014年)

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ある世界では、1日が10時間(午前5時間、午後5時間)、

1時間が25分、1分が25秒に区切られていて、

下の図のような時計を用いて時間を計っています。

現在の時間は午後2時5分0秒で、

時計の短針(黒)、長針(白)、秒針は正しい時刻を指しています。

この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

 Pic_3693q

(1)これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、

そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(2)さらに時間が進んで

最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、

そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(3)現在(午後2時5分0秒)から、

3本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。

ちょうど100回目となるのは何日後で、

午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。

ただし、現在から2時間20分後の午前0時から1日後が始まるものとします。

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解法例

 

(1)秒針は1秒で、360÷25=14.4度 進みます。

 

長針は、1分で、14.4度 進みます。

 

短針は、1時間で、360÷5=72度進み、1分で、72÷25=2.88度進みます。

 

まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が重なるかどうかで判断します。

 

2時の時点で、長針と短針は、144度はなれているので、重なるのは、

 

  144÷(14.4-2.88)

 

=144÷11.52

 

=12.5分後

 

です。

 

長針の位置は、12.5×14.4=180度 のところで、

 

  12.5分=12分12.5秒後(この世界では)

 

なので、秒針の位置も同じとなります。

 

 

 

よって、長針、短針、秒針が重なるのは、

 

午後2時12分12.5秒 で、下の図1のようになります。

 

 Pic_3694a

 

 (2)図1の状態から、長針と短針の作る角度が180度に

 

なる時刻を求めると、

 

  180÷(14.4-2.88)=15と5/8分後

 

とわかります。

 

 

 

12.5+15と5/8=28と1/8 より、2時28分と1/8分で、

 

1時間が25分なので、3時3分と1/8分。

 

1/8分=25×1/8=3と1/8秒 なので、長針と短針が

 

反対向きになるのは、午後3時3分3と1/8秒です。

 

また、秒針と分針が重なることがわかります。

 

 

 

3時3分3と1/8秒を図に表すと、下の図2のようになります。

 

 Pic_3695a

 

 (3)(2)より、長針が短針と180度はなれるとき、

 

長針と秒針が重なることがわかります。

 

 

 

つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる

 

ということになります。

 

 

 

(2)より、長針と短針が重なるのは、

 

   15と5/8 ×2 = 31と1/4分ごと

 

とわかります。

 

 

 

午後2時12分12.5秒を1回目として、3本の針が100回目に

 

重なるのは、

 

  31と1/4 × 99 =125×99/4=12375/4

 

 =3093と3/4分後

 

  3/4分=25×3/4=18と3/4秒

 

  3093分=3093÷25=123時間18分

 

  123時間=123÷10=12日と3時間

 

より、12日と3時間18分18と3/4秒後 が100回目で、

 

      午後2時12分12と1/2秒 の

 

  12日と3時間18分18と3/4秒後は、

 

  12日と午後5時30分31と1/4秒後で、

 

  13日後の午前1時6分6と1/4秒

 

です。

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