68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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不合格だった人の数は?(2017年 海城中学)

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40人のクラスでA、Bの2種類のテストを行いました。

どちらのテストも100点満点であり、60点以上で合格です。

Aの合格者は27人、Bの合格者は21人で、

Aだけ合格した人の数はBだけ合格した人の数の2倍でした。

また、Aを80点以上で合格した人は13人で、

そのうちBも合格した人は6人でした。

(1)A も Bも不合格だった人は何人ですか。

(2)Aを80点未満で合格したが、Bが不合格だった人は何人ですか。

2203

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8311

(1)両方合格した人数を□とすると、

27-□=2×(21-□)

27-□=42-2×□

□=42-27=15人

黄=27-15=12人

緑=21-15=6人

両方とも不合格だった人数=40-(12+15+6)=7人

(2)

8312

Aが80点以上でBは不合格だった人は、

13-6=7人 なので、

Aを80点未満で合格したが、Bが不合格だった人は

12-7=5人

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この三角形の面積は何c㎡?(今年 2017年 洗足学園中学)

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面積が6c㎡の正六角形をすき間なく敷き 詰め、

図のように、三角形をかきました。

この三角形の面積は何c㎡ですか?

3121

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図のように等積移動して、

緑、水色、赤の3つの三角形に分けます。

3122

3123

緑=3×2+6=12c㎡

水色=3×2+1×2=8c㎡

赤=6×2+3×4+1=25c㎡

求める面積=12+8+25=45c㎡

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682

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光 が通る部分の体積は?(2016年2日目 灘中学)

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1辺の長さが6cmの正方形のガラス板を6枚使って、

図のような立方体の形をした箱を作り、 水平な床に置きます。

上面ABCDの部分のガラス板は、

1辺の長さが3cmの斜線部分の正方形の2辺が

箱の辺AB、ADと重なるように置かれています。

ガラス板の斜線部分は光を通さず、斜線部分以外の部分は光を通します。

点QはDの真上6cmのところにあります。

ガラス板の厚さ、電球の大きさは考えないとすると、

電球が点Qの位置にあるとき、

箱の内部で、電球の光 が通る部分の体積は何立方cmですか。

Bandicam_20160127_092036959

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光が届かない部分は、

図のように、青い正方形の下の緑部分になります。

Bandicam_20160127_090759792

この部分の体積は、

底辺が3×6÷2=9c㎡、高さが6cmの三角柱から、

底辺が3×3=9c㎡、高さが6cmの四角すいを引いたものです。

9×6-9×6÷3=36立方cm

したがって、光が通る部分は、

6×6×6-36=180立方cm

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682

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面積とグラフの関係は?(2017年  桐蔭学園中学校男子部)

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【図1】のような辺ADの長さが8cmである長方形ABCDがあります。

辺BC上に点Eをとります。

点Pは長方形ABCDの辺上を毎秒1cmの速さで、

点Aを出発し、点Bを通って、点Cまで動くとします。

また、【図2】は、点Pが点Aを出発してから点Cに着くまでの

時間と三角形APEの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7271

(1)辺ABの長さは何cmですか。

(2)BEの長さは何cmですか。

(3)【図2】の(ア) (イ)にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

(4) 三角形APEの面積が8㎠になるのは、

  点Pが点Aを出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

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(1)Bは、PがAからEまで動く中で、

△APEが最大になるときなので、9㎠のとき、

つまり、6秒後なので、6cmです。

(2)9×2÷6=3cm

(3)アはPがEに来たときで、ア=6+3=9秒後

イはPがCに来たときで、(8-3)×6÷2=15㎠

(4)△APEが8㎠になるときは図のように3回あります。

7272

1回目→8×2÷3=5と1/3秒後

2回目→8×2÷6=2と2/3cmなので、

      6+(3-2と2/3)=6と1/3秒後

3回目→9+2と2/3=11と2/3秒後

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682

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