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決まった操作による移動(2016年 開成中学)

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図の正五角形は直線ℓに関して線対称です。

いま、点Aが正五角形の頂点①、②、③、④、⑤を、

操作1、操作2、操作3のいずれかに従い移動します。

操作1:時計回りに2つ移動する

操作2:時計回りの反対の方向に1つ移動する

操作3:直線ℓに関して線対称な頂点に移動する

Bandicam_20160202_083013569

たとえば②からスタートして、操作1、操作2、操作3、操作3、操作1 の

5回の操作による点Aの移動は、次の例のように表記します。

操作3、操作2、操作3、操作3、操作1による移動も同じ表記になります。

Bandicam_20160202_083033586
(1)点Aが②からスタートして

2回の操作の直後にいることができる頂点をすべて書きなさい。

(2)1回の操作の直後に点Aが④にいられるような頂点をすべて書きなさい。

(3)点Aが②からスタートして

5回の操作の直後に④にいる移動の表記は全部で何通りありますか。

さらに、その表記を上の例にならってすべて書きなさい。

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ちょっと難問! 何通りあるでしょうか?(2014年 麻布中学)

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決められた何種類かの整数を足し合わせて1つの整数を作る方法を考えます。

例えば,1,2,3のみを用いて5を作る方法は,

3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1

の5通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

2,3,5のみを用いて30を作る方法は全部で何通りありますか。

Apf0507s

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面の値はいくつ?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

2182

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2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

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図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,

面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが

水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmで

PQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,

Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,

容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,

この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,

また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。

ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,

板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,

頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

0

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操作計算の規則性と場合の数(灘中学 2014年)

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4ケタの整数ABCDに次の①、②、③の【操作】を行って

新しい整数を作ります。

【操作】

① A×A、B×B、C×C、D×D をそれぞれ計算する

② ①でできた4個の数をそれぞれ 14 で割り、余りを求める

   ただし、0を14で割ったときの余りは 0 である

③ ②で求めたあまりを順に並べて整数を作る

たとえば、下のように 2014 に【操作】を行うと、4012が作られ、

1513に【操作】を行うと、11119 が作られます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3814a_2 

(1)下の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。

Pic_3815q

(2)【操作】を行っても値が変化しないような4ケタの整数は

   全部で何個ありますか。

(3)【操作】を行うと値が小さくなるような4ケタの整数は

   全部で何個ありますか。

(4)【操作】を行うと値が大きくなるような4ケタの整数は

   全部で何個ありますか。

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«切り口の形と立体の大きさは?(桐蔭学園中学 1975年)

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