約束記号計算の難問（開成中学 ２０１２年）

２以上１５０以下の整数Ｎに対して、＜Ｎ＞はＮの約数の中で２番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、６の約数は１，２，３，６ なので、＜６＞＝３ であり、７の約数は１，７ なので＜７＞＝１ です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２以上１５０以下のすべての偶数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。

（２）２以上１５０以下のすべての３の倍数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜３＞＋＜６＞＋＜９＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。

（３）Ａ÷５＝＜Ａ＞、Ｂ÷７＝＜Ｂ＞、Ｃ÷１１＝＜Ｃ＞ となるような２以上１５０以下の整数Ａ，Ｂ，Ｃ はそれぞれ何個ありますか。

（４）２以上１５０以下のすべての整数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。なお、２以上１５０以下の整数Ｎのうち、＜Ｎ＞＝１ であるものは３５個です。

考え方と答え

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