68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

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2013年2月

速さと図とグラフから→時間が同じ場合の速さと距離(智弁学園和歌山中学 2010年)

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下の図の各点は一直線上に等間隔に並んでおり,図の太線と細線の曲線はともに半円がつながってできたものです。これらの曲線の端から端まで手の指でそれぞれ一定の速さでなぞったところ,なぞるのにかかった時間は同じでした。このとき,太線の曲線を指でなぞる速さは,細線の曲線を指でなぞる速さの何倍ですか。

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考え方と答え

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

スマホ向け解法集→「中学受験ー算数解き方ポータル」

速さと比の問題より→兄と弟の速さ(弘学館中学 2010年)

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家から600m難れている駅まで兄と弟が同時に歩いて出発しました。兄は200m歩いたところで忘れ物に気付き、すぐに家にもどり、最初に家を出てから8分後にもう一度駅にむけて出発したところ、同時に駅に着きました。
下の図は兄と弟の歩いた時間と家からの道のりを表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、2人の歩く速さはそれぞれ一定とします。

(1)兄と弟の速さの比を求めなさい。
(2)弟が駅についたのは家を出てから何分後ですか。
(3)兄と弟がすれ違ったのは家を出てから何分後ですか。

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考え方と答え

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通過算→電車の速さは?(春日部共栄中学 2010年)

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ある一定の速さで走っている電車があります。この電車がトンネルを渡り切る時間は,長さ2,350mのトンネルAに対しては2分4秒,長さ950mのトンネルBに対しては54秒かかりました。この電車の速さは秒速何mですか。
ただし,電車がトンネルを渡り切るとは,電車の最前部がトンネルに入ってから,最後部がトンネルを出るまでのこととします。

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イメージと答え

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流水算より→流れの速さ(東邦大学付属東邦中学 2010年)

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川の上流にあるA町と下流にあるB町とを,1時間6分で往復している船があります。この船の速さは一定で,川を上流に向かって進むときは毎分112m,下流に向かって進むときは毎分196mです。A町とB町の聞の距離は何mですか。

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考え方と答え

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旅人算より→速さの比(帝塚山中学 2010年)

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A君とB君が同時に同じ地点から1km先の図書館に向かいました。A君とB君速さの比は5:4で,A君が図書館に到着してからB君が到着するまで2分30秒かかりました。このとき、B君は出発してから図書館に到着するまで何分何秒かかりますか。

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考え方と答え

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見取り図から考える問題(女子学院中学 2011年)

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同じ大きさの立方体23個を図のように積み上げ,床についている面を除いた表面をすべて緑色のペンキで塗りました。次の立方体はそれぞれいくつありますか。

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①3つの面が緑色で塗られている立方体は

②2つの面が緑色で塗られている立方体は

③1つの面が緑色で塗られている立方体は

④どの面も緑色で塗られていない立方体は

イメージと答え

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展開図→毎年どこかで出題される有名な四面体(駒場東邦中学 2011年)

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ある正方形ABCD があり、辺BC,CD のまん中の点をそれぞれ M,N とします。A と M、A と N、M と N を結んだ直線で正方形を折ると、四面体を作ることができます。この四面体の体積は、3087c㎥ でした。

(ア)四面体を作ったとき、点B と重なる点をすべて答えなさい。

(イ)この正方形の1辺の長さを求めなさい。

(ウ)四面体を三角形 AMN を底面としたとき、四面体の高さを求めなさい。

四面体の展開図およびイメージ図と答え

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表面積問題より→切った後の表面積は?(國學院久我山中学 2010年)

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立方体を平面で6回切ったところ、切れ目が図の点線のようになり、直方体が27個できました。このとき、27個の直方体の表面積の合計は、元の立方体の表面積の何倍ですか。

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考え方と答え

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立体の切り口問題より→切り口の形は?(淑徳与野中学 2010年)

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同じ大ききの黒と白の立方体が4個ずつあります。これらを図のように積んで,立方体をつくります。この立方体を,4点A,B,C,Dを通る平面で切ったときの切り口の形をかき,黒い立方体の切り口になっている部分は黒くぬりなさい。

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イメージと答え

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体積問題より→大きいほうの体積は?(早稲田中学 2009年)

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参考イメージ図と解法例

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扇形問題から→三角形とおうぎ形(2009年、学校別サピックスオープンより)

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図は三角形ABCの中におうぎ形を重ねたものです。おうぎ形の半径と色のついた部分の周りの長さを求めなさい。

親子で考えた解法例

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面積比問題より→台形の面積比(青山学院中等部 2012年)

台形ABCDと三角形ABEの面積が等しいとき、三角形DFEの面積は台形ABCDの面積の何倍ですか。

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イメージ参考図と答え

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面積問題の基本より→60゜をさがせ!(中学受験算数 三角定規)

三角定規を利用した問題が多いので、そ特徴をよくつかんでおきたいもの・・・

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図の斜線部分の面積を求めなさい。ただし、おうぎ形OABは半径18cm、中心角1 5 0 度で、円周率は3.14とします。

親子で考えた解法

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相似を使う問題→難問に挑戦(第11回算数オリンピック、ファイナル問題)

長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sを図のようにとり、PRとQSの交点をOとします。三角形PQOの面積と三角形RSOの面積が等しく、それぞれ30c㎡であるとき、長方形ABCDの面積を求めなさい。

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考え方と答え

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角度問題(早稲田実業学校中等部 2007年)

図の・は円周を9等分した点です。角度「あ」は何度ですか。

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考え方と答え

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旅人算より→動く歩道(浦和明の星女子中学 2011年)

ある駅の通路には,一直線に,長さが60mの動く歩道が2つあります。1つ目の動く歩道の始まりと終わりの地点をそれぞれA,Bとし,2つ目の動く歩道の始まりと終わりの地点をそれぞれC,Dとします。
お父さんと明子さんはA地点からD地点に向かって同時にスタートしました。お父さんは動く歩道に乗り,明子さんは動く歩道にそって歩きました。お父さんは,1つ目の動く歩道の上では止まったまま乗っていたので,明子さんがB地点に来たとき,お父さんは明子さんより15m後ろにいました。
その後,お父さんがB地点から歩き始めてC地点に来たとき,明子さんはお父さんより17m先にいました。そして,お父さんは,2つ目の動く歩道の上でもそのままの速さで歩いたのでお父さんがD地点に着いたとき,明子さんはお父さんより13m後ろにいました。

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(1)次の速さの比を,もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
 ①明子さんの歩く速さと,動く歩道の動く速さ
 ②明子さんの歩く速さと,お父さんの歩く速さ

(2)BとCの間の距離を求めなさい。

考え方と答え

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比例問題より→比と比の比較

兄と弟の、もらったおこづかいの比は、6:5でした。そのうち使った金額の比は、3:1でしたが、2人とも1800円残りました。2人のもらったおこづかいは、それぞれ何円ずつでしたか。

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親子で考えた解法例

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木の葉形面積とヒポクラテスの三日月

Mondaizu

「ねえ、黄色の面積と緑の面積って同じなんだって。どうして?」

「黄色の部分は木の葉形の面積。習ったよね?」

Konoha

「一辺×一辺×3.14÷2-一辺×一辺、で

一辺×一辺×0.57って教わった」

「緑の部分のおうぎ形の半径は正方形の対角線だから、

対角線×対角線が半径×半径になるね。

対角線×対角線って、一辺×一辺の2倍でしょ」

「なんで?」

「正方形の面積は一辺×一辺=対角線×対角線÷2だから」

「そうか・・・」

「だから緑部分の面積は

2×一辺×一辺×3.14÷4-一辺×一辺で

木の葉形と同じ、一辺×一辺×0.57になるわけ」

「形がこんなに違うのに、ホントカナ?って感じ」

なんか納得しない様子です。そこで・・・

Hipo

「黄色い三日月部分の面積が緑の三角形の面積と同じになるのは知っているよね?」

「ヒポラテスの三日月!」

「ヒポクラテス!」

「こんな風に図形を移動してみるとわかるでしょ(クリックしてみてください)

「よけいわからなくなった・・・」

またため息・・・

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周期性の問題→連続した数の掛け算(筑波大学附属駒場中学 2012年)

1からA までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「0」の個数を記号<A>で表します。

例えば、

1×2×3×4=24   なので、<4> の数値は「0」で、

1×2×3×4×5=120 なので、<5> の数値は「1」です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)<10>、<15>の数値をそれぞれ答えなさい。

(2)<A> の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から2つ答えなさい。

(3)<1>、<2>、<3>、・・・、<125> の数値の合計を求めなさい。

考え方と答え

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単位換算問題より→地球の半径は?(市川中学 2010年)

ある装置を使って,市川中学校の校門の緯度を調べたところ,北緯35.733°でした。そこから南へ1 0 9. 9m離れたバスケットボールのゴールがある場所で緯度を調べたところ,北緯3 5. 732°でした。下の図のように,北緯とは,地球をある地点と北極点および南極点を通る面で切断したときの,赤道と地球の中心とその地点でつくられる角度のことをいいます。地球を完全な球体であるとして,地球の半径の大きさを求めなさい。この問題は,答えだけでなく考え方や計算式も書きなさい。ただし,円周率は3.14とします。答えの単位はkmとし,小数第1位以下は切り捨てるものとします。

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考え方とこたえ

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入れ方の場合の数→今年、2013年の武蔵中学入試問題より(武蔵中学 2013年)

5匹のやぎA、B、C、D、Eがいて、図のようなそれぞれのための小屋があります。あるとき、5つの小屋にやぎが1匹ずつ入っていましたが、自分の小屋にいたのは5匹のうち1匹だけでした。5匹のやぎの、このような小屋への入り方は全部で何通りですか。

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考え方と解法例

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円と正八角形(甲陽学院中学 2010年)

1辺の長さが6cmの正八角形の各頂点を中心として円をかき、円と正八角形が重なった部分を正八角形から切り取っていきます。
次の場合に、残った部分の図形の周囲の長さを求めなさい。円周率は3.14とします。
(1)半径が3cmの円をかく場合。

(2)半径が6cmの円をかく場合。

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イメージ図と答え

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道順問題より→道順は何通り(四谷大塚 2009年合不合判定予備テストより)

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8つの点ABCDEFGHを結ぶ線があり、角の部分はすべて直角になっています。この線上を、同じ点を2回以上通らないで進むとき、

(1)点Aから点Dまで最も短い道のりで進む道順は、全部で何通りありますか?

(2)点Aから点Hまで進む道順は、全部で何通りありますか?

「(1)はできてるけど(2)が間違っているね」

「(1)は和の法則を使った」

「動きのイメージとしてはこうね」(クリックを)

Mondai1

「交点で数字をたしていくから、答えは4通り」

「そう、でも(2)なんで2通りって書いたの」

「だってこの和の法則で見たらHでは2通りだろ?」

「これは遠回りしてもいいの」

「えっ、だって問題には同じ点を2回以上通ってはいけないって書いてある」

「同じところを通らなければ、遠回りしてもいいわけ」

「遠回りする必要なんかないのに・・・」

「だいたい(2)が(1)より簡単なはずないでしょ」

「ふん」

「(2)のイメージはこうなる」(クリックを)

「樹形図書くのか・・・」

Mondai2

「で、6通り」

「この何通り?っていう問題きらいだ」

「パターンを覚えていくしかないでしょ?」

「何通り?」

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条件整理と推理問題より→仕事のスピードと時間の関係(栄光学園中学 2011年)

A君、B君、C君、D君の4人で、千羽鶴(せんばづる)を折ることにしました。1人250羽ずつ折ります。ある日の正午に4人同時に折り始めたところ、A君が80羽を仕上げたのが、その日の午後2時台(2時から3時の間)、B君が120羽を仕上げたのが、その日の午後4時台、C君が160羽を仕上げたのが、その日の午後6時台、D君が240羽を仕上げたのが、その日の午後8時台でした。ただし、それぞれ250羽を仕上げるまで、休みなく同じペースで折り続けたものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)250羽を仕上げた順番として考えられるものを、下の例にならって全て答えなさい。ただし、だれかとだれかが同時に仕上げたということはなかったものとします。

【例】A,B,C,D の順番で仕上げた場合:(A,B,C,D)

(2)千羽鶴は、最も早くて午後何時何分何秒に仕上がったと考えられますか。

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考え方と答え

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食塩水問題より→移した量と蒸発した量(洛星中学 2010年)

濃度が13%の食塩水120gが入った容器Aと,7%の食塩水120gが入った容器Bがあります。容器Bから食塩水をいくらか容器Aに移したところ,容器Aの食塩水の濃度が11%になりました。

(1)容器Bから容器Aに移した食塩水の量は何gですか。

そのあと,容器Aの食塩水から水を蒸発させてから40gを容器Bに移したところ。容器Bの食塩水の濃度が9%になりました。

(2)容器Aから蒸発させた水の量は何gですか。

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考え方と答え

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兄と弟の速さ(神戸女学院中等部 2010年)

周囲が6kmの池のまわりを、弟は自転車で時速12kmの速さで、兄はジョギングで時速6kmの速さで走ります。午前7時30分に2人は図のA地点を矢印の向きに同時に出発し、弟は池を何回もまわり、兄はA地点とB地点の間(片道2.4km)を何回も往復します。

(1)出発後、2人が初めて出会う時刻を求めなさい。

(2)出発後、2人が再びA地点で出会う最初の時刻を求めなさい。

(3)2人が10回目に出会う時刻を求めなさい。ただし出発時は出会いの回数に入れません。

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考え方と答え

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