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不思議な休憩室

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周期性と規則性を見つける超難問(筑波大学附属駒場中学 2006年)

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下の図1のような、4つの面が同じ大きさの正三角形でできているコマと、下の図2のような、コマの面と同じ大きさの正三角形がたくさん描いてある板があります。コマの1つの面には☆印がついていて、はじめに、この☆の面が図2の★のついた三角形とぴったり重なるように置いてあります。

1

11

板についている面の1つの辺を動かさないようにコマをたおし、別の面を下にする操作を何回か行って、コマを動かすことを考えます。たとえば、1回目の操作で、コマは図2の○印の3つの三角形のどれかに移動します。また、たとえば3回目の操作で図2の●印の三角形、4回目の操作で図2の■印の三角形、5回目の操作で図2の▲印の三角形にコマは移動できて、いずれも☆の面が●、■、▲の三角形に重なります。コマが移動できる板上の三角形の個数について、次の問に答えなさい。ただし、はじめにコマを置いた★印の三角形は個数に含めません。

(1)2回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは何個ありますか。3回目、4回目の操作についても、同じものを求めなさい。

(2)8回以下の操作でコマが移動できる三角形は全部で何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

(3)100回以下の操作でコマが移動できる三角形のうち、☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

イメージ図と答え

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

スマホ向け解法集→「中学受験ー算数解き方ポータル」

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