周期性と規則性を見つける超難問（筑波大学附属駒場中学 2006年）

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下の図１のような、４つの面が同じ大きさの正三角形でできているコマと、下の図２のような、コマの面と同じ大きさの正三角形がたくさん描いてある板があります。コマの１つの面には☆印がついていて、はじめに、この☆の面が図２の★のついた三角形とぴったり重なるように置いてあります。

板についている面の１つの辺を動かさないようにコマをたおし、別の面を下にする操作を何回か行って、コマを動かすことを考えます。たとえば、１回目の操作で、コマは図２の○印の３つの三角形のどれかに移動します。また、たとえば３回目の操作で図２の●印の三角形、４回目の操作で図２の■印の三角形、５回目の操作で図２の▲印の三角形にコマは移動できて、いずれも☆の面が●、■、▲の三角形に重なります。コマが移動できる板上の三角形の個数について、次の問に答えなさい。ただし、はじめにコマを置いた★印の三角形は個数に含めません。

（１）２回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは何個ありますか。３回目、４回目の操作についても、同じものを求めなさい。

（２）８回以下の操作でコマが移動できる三角形は全部で何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

（３）１００回以下の操作でコマが移動できる三角形のうち、☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

イメージ図と答え

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