68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

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2013年3月

相当算→ややこしいですが(第6回ジュニア算数オリンピックファイナル問題より)

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大・中・小の3つの鉄球と、水がいっぱいに入っている容器が1つあります。第1回目はその容器に小球を入れ、2回目は小球を取りだし中球を入れ、3回目は中球を取りだし、小球と大球を入れました。このとき、1回目にあふれた水の量は2回目の2分の1で、3回目は2回目の1.5倍の水があふれました。小球の体積を12立法cmとするとき、中球と大球の体積をそれぞれ求めなさい。

1

考え方と答え

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

スマホ向け解法集→「中学受験ー算数解き方ポータル」

平均算→平均の考え方(青山学院中等部 2009年)

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あるクラスの女子の生徒がソフトボール投げをしました。その平均を計算したところ、一番遠くに投げた人の記録をまちがえて9m少なくしたため、平均がちょうど14.2mになりました。計算しなおしたら、今度は一番少なく投げた人の記録をまちがえて6m多くしたため、平均がちょうど15.45mになりました。このクラスの女子は何人で、正しい平均は何mですか。

Ilm12_ab03001s

考え方と答え

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年齢算→何歳ですか?(愛光中学 2010年)

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父,母,兄,妹の4人家族がいます。兄は妹より4歳年上です。現在,母の年齢は兄の年齢の3倍で,8年後には父の年齢は妹の年齢の3倍になります。父は母より[①]歳年上です。また,現在の4人の年齢を足すと96歳です。現在,母の年齢は[②]歳,妹の年齢は[③]歳です。

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考え方と答え

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魔方陣→立体の魔方陣(豊島岡女子学園中学 2006年)

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図のように、立方体の8つの頂点にボールを入れることができるようにしました。ボールには、①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧ の8種類の数が書かれています。立方体の面に、面を囲む頂点に入れたボールの数の和を書くと図のようになりました。このとき、青い面に書くことのできる数のうち、最も大きい数を答えなさい。

1

考え方と答え

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推理パズル問題→カードを推理する(四天王寺中学 2010年)

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①、①、②の3枚のカードがあります。この3枚のカードを裏向きにしてよく混ぜて,A,Bの2人が1枚ずつ選び,おたがいに自分のカードの番号は見ないで相手に見せます。AはBのカードを見ても自分のカードの番号はわかりませんでしたが,「自分のカードの番号はわかりません。」というBの発言を聞いて,自分のカードの番号がわかりました。A,Bが選んだカードの番号を答えなさい。

Cocolog_oekaki_2011_02_15_08_56

考え方とこたえ

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倍数算→太郎君の持っていた金額は(同志社中学 2010年)

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最初、太郎君と次郎君がそれぞれ持っているお金は、2人合わせて6000円でした。太郎君は600円の商品を買い、次郎君は自分の持っていたお金の1/3を使いました。すると2人の持っている金額は同じになりました。太郎君がはじめに持っていたお金は何円ですか。

4271

考え方と答え

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過不足算→浦島太郎?(高槻中学 2010年)

昔,太郎君が浜辺を歩いていたら何人かの子供が亀をつかまえようとしていました。亀を助けるために太郎君は持っていたお菓子を子供たちに分け与えようとしました。1人に4個ずつ与えると7個余り,5個ずつ与えると2個不足します。太郎君の持っていたお菓子の数を求めなさい。

Urasima

考え方とこたえ

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和差算→和差算の名作問題(武蔵中学 2009年)

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重さの違うA,B,Cの3種類の玉があり、重い方からA,B,Cの順になっています。A,B,Cの3種類の玉を必ず1つ入れて5個の玉を袋に入れると、重さの違う袋が5通りできました。
このとき、次の問に答えなさい。

(1)Aを3個、Bを1個、Cを1個選んだときを、(3,1,1)のように表すことにします。同じ重さになる玉の入れ方がありますが、それは3種類の玉をどのように選んだときか答えなさい。

(2)5通りの袋のうち、2番目に重い袋は79g、4番目に重い袋は71gでした。A,B,Cの玉はそれぞれ何gか答えなさい。
Cocolog_oekaki_2012_03_12_14_30

考え方と答え

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操作計算→和の操作(浦和明の星女子中学 2011年)

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1、2、3、4、5の5つの数を並べて、隣り合う数をたし合わせる操作を4回します。例えば、5つの数を、1、3、5、2、4と並べたとき、次のようになります。

7271

(1)上のような操作をしたとき、下図のようになりました。
  ア、イにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

7272

(2)上のよう操作をしたとき、下図のようになりました。このとき
①◎にあてはまる数を答えなさい。
②A、B、C、Dの4つの数の和と、☆にあてはまる数を答えなさい。
③A、B、C、Dにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

7273

考え方と答え

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計算の工夫→どう工夫して計算しますか?(広尾学園中学 2010年)

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2010×2009-2009×2008+2010×2008-2008×2008

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工夫と答え

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虫食い算→当てはまる数は?(桜蔭中学 2009年)

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3×5×5×5+4×5×5+2×5+1=

ア×ア×ア+イ×ア×ア+ウ×ア+3

(ア、イ、ウは1~9までの数字です)

ア、イ、ウはいくつですか。

考え方と答え

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約数と倍数→操作計算(栄東中学東大クラス選抜 2010年)

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下の図のa,b,c,d,eにはそれぞれ1つの整数が入ります。X,Y,Zではある操作が行われます。

106zu1

行われる操作

X:aにaより1だけ大きい数をかけて得られた数をbにする。
Y:bあるいはdの約数の個数をcにする。
Z:cがaより大きいとき,dをcと同じ数にしてYに戻す。cがaと同じ,またはaより小さいとき,eをcと同じ数にする。

aが20のとき,eに入る数を求めなさい。

考え方とこたえ

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分数計算→約分できる分数(海城中学 2008年)

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考え方と答え

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つるかめ算→参加人数は?(関西学院中学 2010年)

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太郎君は子供会を計画しました。費用は会場費とおやつ代で、会場費は参加人数に関係なく一定です。1人あたりの費用を計算すると、参加人数が25人のときは346円、参加人数が32人のときは325円となります。1人当たりの費用が300円となるときの参加人数を求めなさい。

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面積図とこたえ

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比例問題より→道のりの比(学芸大学附属竹早中学 2010年)

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1191

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考え方とこたえ

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サイコロの規則性→サイコロの三面和(筑波大学附属駒場中学 2010年)

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サイコロは向かい合う面の数の和が「7」になっています。サイコロを図1のように見ると、3つの面を同時に見ることができます。このとき見えている3つの目の数の和を【三面和】と呼ぶことにします。図1の状態の三面和は「6」です。

1

平面上に置いたサイコロを、底面のひとつの辺を軸(じく)として回転させてたおしたときの三面和を考えます。下の図2のように図1の状態から右に1回たおしたときの三面和は「7」です。

2

また、下の図3のように図1の状態から手前に1回たおしたときの三面和は「9」です。このとき、次の問に答えなさい。

3

(1)サイコロを図1の状態から、下の図4のように右に続けてたおしていきます。図1の状態から2回たおしたとき、3回たおしたとき、4回たおしたときの三面和をそれぞれ答えなさい。

4

(2)図1の状態からサイコロを、まず右に1回たおし、次に手前に1回たおし、次に右に1回たおし、次に手前に1回たおし、・・・というように、下の図5のようにたおしていきます。

5

(ア)図1の状態から2回たおしたとき、 図1の状態から3回たおしたとき、図1の状態から4回たおしたときの三面和をそれぞれ答えなさい。

(イ)図1の状態から、2010回たおしたときまでの2011個の三面和の合計を求めなさい。

規則性と答え

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計算の規則→難しそうな記号ですが、どんな規則?(鎌倉学園中学 2009年)

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409

規則性と答え

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図形の規則性→うずまきの長さ(久留米大学附設中学 2010年)

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808

8081

計算と答え

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周期性と規則性を見つける超難問(筑波大学附属駒場中学 2006年)

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下の図1のような、4つの面が同じ大きさの正三角形でできているコマと、下の図2のような、コマの面と同じ大きさの正三角形がたくさん描いてある板があります。コマの1つの面には☆印がついていて、はじめに、この☆の面が図2の★のついた三角形とぴったり重なるように置いてあります。

1

11

板についている面の1つの辺を動かさないようにコマをたおし、別の面を下にする操作を何回か行って、コマを動かすことを考えます。たとえば、1回目の操作で、コマは図2の○印の3つの三角形のどれかに移動します。また、たとえば3回目の操作で図2の●印の三角形、4回目の操作で図2の■印の三角形、5回目の操作で図2の▲印の三角形にコマは移動できて、いずれも☆の面が●、■、▲の三角形に重なります。コマが移動できる板上の三角形の個数について、次の問に答えなさい。ただし、はじめにコマを置いた★印の三角形は個数に含めません。

(1)2回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは何個ありますか。3回目、4回目の操作についても、同じものを求めなさい。

(2)8回以下の操作でコマが移動できる三角形は全部で何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

(3)100回以下の操作でコマが移動できる三角形のうち、☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

イメージ図と答え

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数列の規則性→基本問題(日本女子大学附属中学 2010年)

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5の倍数を次のように(  )のグループに分けていきます。これについて次の(1)(2)の問いに答えなさい。

 (5),(10,151),(20,25,30),(35,40,45,50),・・・・・
1番目 2番目   3番目        4番目

(1)200は何番目の( )に入っていますか。

(2)10番目の( )に入っている数の和はいくつですか。

考え方と答え

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塗り方の場合の数→何色でぬり分けられる?(お茶の水女子大学附属中学 2010年)

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図の線でかこまれた部分を、色分けしてぬっていきます。同に色がとなりあわないようにぬると最低何色の色が必要ですか。

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イメージと答え

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図形の場合の数→高さの種類は何通り?(浅野中学 2010年)

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図の(A)のような、三辺の長さが1cm、3cm、9cmの直方体を3個用意して、地面から積み重ねていきます。例えば(B)のように積み重ねると、地面からの高さは13cmになります。この直方体を3個積み重ねたときにできる地面からの高さは、全部で何通りあるかを求めなさい。

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組み合わせと答え

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分け方の場合の数→地道に数えていくしか・・・(慶応義塾中等部 2011年)

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10を0より大きい3つの整数に分ける分け方は,(1,1,8),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),(2,4,4),(3,3,4)の8通りあります。20を0より大きい3つの整数に分ける分け方は何通りありますか。

分け方の数え方

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道順→さいころの転がり方(城北埼玉中学 2010年)

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図のさいころをます目の大きさが,さいころの1つの面と同じ大きさの方眼紙の上をすべらないように,右下のゴールまで最も少ない回数で転がします。

(1)さいころの転がし方は何通りありますか。

(2)右下にゴールしたときの上の面の目の数はいくつになりますか。全ての目の数を求めなさい。

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イメージと解答

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売買損益→価格と比(SAPIX 2009年8月マンスリーテストより)

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ある商品を定価の30%引きで36個売ったときの利益と、25%引きで24個売ったときの利益は同じです。この商品1個の原価が480円のとき、この商品1個の定価は何円ですか?

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親子で考えた解法例

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食塩水問題より→慣れるとてんびん図はとても便利

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12%の食塩水450gに20%の食塩水をいくらか加え、ある濃度の食塩水にするのを、まちがえて同量の水を加えたため9%の食塩水ができました。何%の食塩水をつくる予定でしたか。

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てんびん図の図解と解法例

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図形の移動問題より→糸の軌跡と長さ(栄光学園中学 2010年)

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1辺2cmの正三角形と糸があります。正三角形のAの位置に糸の端を固定し(図1),正三角形の周囲に時計回りに糸を巻きつけていくと(図2),糸のもう一方の端PがちょうどAの位置にきました。

728

この状態から,次の(ア),(イ)の作業を行います。
(ア) 糸をぴんと張った状態に保ったまま,巻きつけてある糸をほどいていきます。
(イ) ほどききったあとも,糸をぴんと張った状態を保ったまま,三角形の周囲に反時計回りに,糸の端PがふたたびAの位置にくるまで巻きつけていきます。
このとき,次の問に答えなさい。ただし,糸は伸び縮みせず,太さは完全に無視できるものとします。
(1)糸の長さが6cmのとき,(ア),(イ)の作業で,糸の端Pが通る経路を,解答用紙にコンパスを用いて,ていねいにかきなさい。経路をかくために使ったその他の線も消さずに残しておくこと。
(2)糸の長さが300cmのとき,(ア),(イ)の作業で,糸の端Pが通る経路は何cmになりますか。円周率を3.14として求めなさい。また,求め方も記しなさい。

イメージと答え

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点の移動問題より→円周上をまわる2点の速度と比 (四天王寺中学 2007年)

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円周上を点A,Bが移動します。円周を4等分する点あ、い、う、え、があり、点Aは地点「い」で1秒、地点「う」で2秒、地点「え」で3秒、地点「あ」で4秒止まり、各地点間の移動には2秒かかります。点Bは、どこにも止まることなく一定の速さで動きます。はじめに点A,Bともに地点「あ」を出発し、点Aは左回りに、点Bは右回りに動き出し、点Aがちょうど1周して地点「あ」に着いたときに点Bと出会いました。

(1)点Aと点Bが初めて出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後ですか?

(2)点Aと点Bの速さの比は何対何ですか?

(3)3回目に点Aと点Bが出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後になりますか?

親子の会話とアニメーションによる解法例

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