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１，２，３，４，５ の５つの数を並べて、となり合う数を足し合わせる操作を４回します。たとえば、５つの数を１ ３ ５ ２ ４ の順にならべたときは、下の図１のようになります。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）下の図２のようになったとき、「ア」、「イ」に当てはまる数を答えなさい。
（２）下の図３のような結果になったとき、
① ◎にあてはまる数を答えなさい。
② Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の４つの数の和と、☆に当てはまる数を答えなさい。
③ Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ に当てはまる数を答えなさい。
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下の図のように，黒いタイルと白いタイルを順番に並べて山を作っていきます。
（１）６番目の山にふくまれる白いタイルの枚数を求めなさい。
（２）ある山にふくまれる白いタイルと黒いタイルの枚数の差が２１枚であるとき，その山の一番下の段にあるタイルの枚数を求めなさい。
（３）となり合う２つの山のタイルの枚数が合わせて２１１３枚のとき，その２つの山にふくまれる白いタイルの枚数の合計を求めなさい。
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図のような１辺の長さが８ｃｍの正五角形があります。点Ｐは頂点Ａから，点Ｑは頂点Ｂから図の矢印の向きに同時に出発します。点Ｐは毎秒５ｃｍ，点Ｑは毎秒３ｃｍで辺上を動くとき、２点が２回目に頂点Ａで出会うのは出発してから何秒後ですか。
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３の数字が使われている整数を小さい順に並べた数の列があります。
3，13，23，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，43，53，・・・・・・・・
（１）30番目の数を求めなさい。
（２）300は何番目の数か求めなさい。
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底面、上面が大きさの異なる正方形で、側面が４つの等しい台形からなる立体があります。この立体に赤、青、黄色の３色の色をぬるとき、同じ色を２回ずつ使ってぬる方法は何通りですか？
ただし、立体を回転させたとき同じになるぬり方は、同じものとします。
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下の図１のような６つのマス目があり、左上のマス目には「１」が書かれています。残りの５マスに２から６までの数字を１つずつ書き入れることを考えます。ただし、横の３つの数は、３で割った余りが異なるようにし、たての２つの数は２で割った余りが異なるように書き入れます。
たとえば、下の図２の２つは正しい書き入れ方です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）下の図３で、残った３つの数字の書き入れ方は何通りですか。
（２）下の図４で、残った３つの数字の書き入れ方は何通りですか。
（３）図１で、残った５つの数字の書き入れ方は何通りですか。
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みかん１０００個のうち、何個かを原価の３割増しで、残りのみかんを原価の１割引きで売り、全体として原価の１割３分にあたる利益がありました。１割引で売ったみかんは何個ですか。
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空の水そうに食塩水と水を入れる２つの管Ａ，Ｂ があります。この水そうに、管Ａ を開いて５％の食塩水を毎分５ｋｇずつ入れ始め、その２分後、さらに管Ｂ を開いて、水を毎分２０ｋｇずつ加えながら食塩水をうすめていきます。水そうの食塩水の濃度が１．２％になるのは、食塩水を入れ始めてから何分何秒後ですか。
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次の図のように正六角形と長方形があります。正六角形が毎秒2cmの速さで、矢印の方向に進むとき、次の問いに答えなさい。
（１）10秒後の図形が重なった部分の面積は，長方形の面積の何分のいくつになりますか。
（２）図形が重なった部分の面積が，正六角形の面積の５/６になるのは何秒後と何秒後ですか。
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（1）円Oの外側を同じ半径の円が接しながら滑らないように回転します。
①図１のように，円Ｐの位置から円P1→P2→P3の順に移ったとき，円Ｐの周上の点Ａが移った点A1，A2，A3の位置をそれぞれ解答欄の円P1，P2，P3の周上にかきなさい。
②円Ｐが円Oの回りを１回転して元の位置に戻ったとき，円Ｐは何回転していますか。
（2）図２では円Oの外側を半径が円Oの１/２倍の円Ｑが接しながら滑らないように回転します。円Oのまわりを１回転して元の位置に戻ったとき，円Ｑは何回転していますか。
（3）図３では円Oの内側を半径が円Oの1/３倍の円Ｒが接しながら滑らないように回転します。円Oの内側を１回転して元の位置に戻ったとき，円Rは何回転していますか。
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太郎君と花子さんが家から駅まで歩きます。花子さんの家は太郎君が駅に向かう途中にあり、太郎君の家と花子さんの家は２８５ｍ離れています｡太郎君と花子さんの歩く速さの比は７：５で、花子さんが家を出発し、遅れて太郎君が家を出発しましたが、太郎君が先に駅に着きました。下の図は太郎君と花子さんのへだたり（距離）と時間のようすをグラフに表したものです｡このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）花子さんの歩く速さは毎分何ｍですか。
（２）太郎君の家から駅までの道のりは何ｍですか。
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ある選手がグラフのように，スタートと同時に5.6秒かん一定の割合で速度を増していき，その後その最高速度のまま100mまで走り，10秒でゴールしました。最高速度は時速何kmですか。
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２０分前に家を出たあゆみさんを追いかける場合、自動車で追いかけると５分後に、自転車で追いかけると１２分後に追いつきます。このとき、次の問に答えなさい。ただし、あゆみさん、自動車、自転車の移動する速さは一定とします。
（１）自動車で追いかける速さと自転車で追いかける速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）ある日、家を出たあゆみさんを追いかけるのに、同時に追いかけた自転車と自動車では、自動車で追いかけた方が１０分早く追いつきました。あゆみさんが家を出たのは追いかける何分前か答えなさい。
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Ａ君は家から学校まで0.8㎞の距離を歩いて登校しています。毎朝同じ時刻に家を出て，途中に信号が１つありますが，止まらずに分速80mの速さで歩くと８時に学校に着きます。昨日も分速80mの速さで歩いていましたが，信号で45秒間止まりました。信号が青に変わったあと分速120mで走ったら８時ちょうどに学校にに着きました。信号は家から何ｍの距離にありますか。
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列車Ａ，Ｂ はそれぞれ一定の速さで、並行（へいこう）する線路の上を逆向きに走っています。ある地点を列車の先頭が通過してから最後尾が通過するまでの時間は、Ａ が１５秒、Ｂ が２０秒です。また、Ａ とＢ がすれ違うのに要する時間は１８秒です。列車Ａ とＢ の速さの比と長さの比をそれぞれ求めなさい。
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２１ｋｍはなれた川のＡ地点とＢ地点を船で往復しました。ＡからＢへ上るときは２時間６分かかり、ＢからＡへ下るときは、川の流れが１時間あたり１．４ｋｍ速くなっていたので、１時間１５分ですみました。次の問に答えなさい。
（１）水の流れがないとき、この船の速さは時速何ｋｍですか。
（２）ＢからＡへ下るときの川の流れが、もし上りのときより１時間あたり０．４ｋｍおそくなっていたとすると、下りにはどれくらいの時間がかかりますか。
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20㎞はなれた２地点ＡとＢの間を、誠君と真一君が同じ道を通って、それぞれ一定の速さで1往復するものとします。誠君はＡからＢへ、真一君はＢからＡへ向けて同時刻に出発したあと、２人はまず途中のＰ地点ですれ違って、さらにその3時間20分後にＰから２㎞だけＡ地点に近いＱ地点で２人は再びすれ違いました。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）２人の速さの和は毎時何㎞ですか。
（２）２人が最初にＰ地点で出会うのは、出発してから何時間何分後ですか。
（３）誠君と真一君の速さは、それぞれ毎時何ｋｍですか。
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125個の立方体が，縦横５つずつ５段に積み重ねられています。下の図のように，となり合う２つの面の色のついた部分で，表面に垂直な方向に型抜きをすると，残った立方体はいくつになりますか。
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１マス2cmの方眼用紙に下の図の黒い部分のようにＳという文字をかいて切り取ります。この図形をABを軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。
ただし、底面が同じで高さが等しい円柱と円すいの体積の比は３：１です。また、計算を簡単にするために円周率は３で計算しなさい。
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はるきさんとゆうとさんが画集を見ています。
〔はるき〕この絵はエッシヤーという画家が描いた「滝」という作品なんだ。どこかおかしいと思わないかい。
〔ゆうと〕上から流れ落ちてきた水がいつの間にか，また上にもどっている｡これは現実ではありえないことだよ。
〔はるき〕この絵は，ところどころに，ありえないつながりがかくされているんだ。「ペンローズの三角形」という図形をヒントにして，描かれているんだよ｡
問１
図２のエッシャーの絵の中には，ペンローズの三角形をヒントにしたありえないつながりがかくれています。その場所を３か所探し，解答用紙の絵に三角形を描き入れなさい。
〔はるき〕このペンローズの三角形は，現実にはありえない立体だけど，それぞれの面が正しく対応するようこ整理していくと，図３の例のように現実にありえる立体として描くことができるんだ。
〔ゆうと〕本当だね。穴のあいた三角形に厚みを持たせた立体に見える。
〔はるき〕図４の不思議な図形も，面を整理すると現実にありえる穴のあいた台形の立体に描き直しことができるよ。
問２
図３の例にならって，図４のありえない形を描き直します。解答用紙には図の外わくの細が描かれています。その外わくに合わせて。定規を使い，現実にありえる立体を表す図を完成させなさい。さらに，側面になった部分を図３のようにえんぴつでぬりなさい。
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太郎くんは，立方体の６つの面に，漢字の「浦」「和」「中」の文字を，ひとつの面にひと文字ずつ，すべての面に記入した「浦和中サイコロ」を工作用紙でつくりました。この「浦和中サイコロ」では，サイコロを手にとって，どの頂点から３つの面が見えるようにながめても，「浦」「和」「中」３種類の漢字が見えるように文字を配置しました。
次の「浦和中サイコロ」をもとにして，問１～問３に答えなさい。
（問１） 「浦和中サイコロ」の辺を切り，展開図をつくろうと思います。何か所の辺を切ると図２の展開図の形になりますか。数字で答えなさい。（図２の展開図では文字が省略してあります）
（問２） 図２の展開図では「浦」「和」「中」の文字はどこの面になりますか。展開図の５面それぞれにあてはまる漢字を書き入れなさい。ただし，漢字の向きは考えないこととします。
（問３） 図３の正方形ＡＢＣＤは，「浦和中サイコロ」のそれぞれの面と同じ大きさの正方形です。この正方形の各辺を３等分する点をとり，点線部分を山析りにして正方形ＥＦＧＨをつくりました。この正方形ＥＦＧＨの面積が20ｃ㎡のとき，「浦和中サイコロ」の１辺の長さは何cmになりますか。数字で答えなさい。
次に太郎くんは，「浦和中サイコロ」を図４の左下（グレーに着色した場所）に図５のように置いて，たて方向またはよこ方向に合計５回倒しました。
次の図４～図６をもとにして，問４に答えなさい。
（問４） ５回倒すと，図６の太線部分にサイコロが到着します。そのとき，①～⑥の各場所に「浦和中サイコロ」を到着させる転がし方は何通りありますか。図６の①～⑥の中に，その数を書き入れなさい。ただし，後戻りする方向と斜め方向にサイコロを倒すことはできません。
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下の図１のような、たて１２ｃｍ、横４ｃｍ、高さ２ｃｍの直方体が１０個あります。
これらの直方体を次のように積み重ねたとき、立体の表面積を求めなさい。
（１）図２のように、下から４個、３個、２個、１個と積み重ねた立体の表面積を求めなさい。
（２）下の図３のように、（１）の積み重ね方で、１番下の段の両はしの直方体２個と、下から３段目の直方体２個を横向きに置き直した立体の表面積を求めなさい。
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図1はある７面体の展開図の一部分であり，面（あ）と面（い）を組み合わせると図２のように１辺の長さ10ｃｍの正方形となります。ここでＡ，Ｂはそれぞれ各辺のまん中の点を表します。
①足りない面（う）の名称を答え，解答用紙の図２にある線分の長さを用いて，面（う）を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
②この7面体の体積を求めなさい。
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底面の半径が２ｃｍ、高さ１０ｃｍの円柱を、図のように点Ａ、Ｂを通る平面と、点Ｃ、Ｄを通る平面で切り、３つの立体に分けます。１番大きい立体の体積は何立方ｃｍですか。ただし、円周率は３．１４とします。
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下の図のように、１辺の長さが３ｃｍの立方体を積み上げて、立体を作っていく。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）５番目にできる立体の体積を求めなさい。
（２）29番目にできる立体の面の数を求めなさい。たとえば、２番目にできる立体の面の数は10枚である。
（３）面の数が602枚になるのは何番目のときですか。
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図のように、大きな円の内側に、同じ大きさの６個の円がすきまなく並んでいます。また、点線は小さな円の中心を結んだ直線です。大きな円の半径が１５ｃｍのとき、次の問いに答えなさい。
①小さな円の半径は何ｃｍですか。
②図の太線部分の長さは何ｃｍですか。
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図のように上下左右に１ｃｍ間隔で並んだ●が63個と，中心が●で半径が１ｃｍの円が６個あります。いま，図の中に２つ以上の●を通る１本の直線を引いて，２つの部分に区切り，それぞれの部分にある円や円の一部の面積の和が同じになる場合を考えます。図の中の直線「あ」はその一つの例です。このような直線はいろいろ考えられますが，そのうち，円の中心の●を通るものは２本あるので，その２本をかきなさい。
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