68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

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2013年6月

あてはまる数は?(浦和明の星女子中学 2011年)

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1,2,3,4,5 の5つの数を並べて、となり合う数を足し合わせる操作を4回します。たとえば、5つの数を1 3 5 2 4 の順にならべたときは、下の図1のようになります。

1

このとき、次の問に答えなさい。

(1)下の図2のようになったとき、「ア」、「イ」に当てはまる数を答えなさい。

2

(2)下の図3のような結果になったとき、

① ◎にあてはまる数を答えなさい。

② A,B,C,D の4つの数の和と、☆に当てはまる数を答えなさい。

③ A,B,C,D に当てはまる数を答えなさい。

3

考え方と答え

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

スマホ向け解法集→「中学受験ー算数解き方ポータル」

どんな規則性が見つかりますか?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2011年)

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下の図のように,黒いタイルと白いタイルを順番に並べて山を作っていきます。

(1)6番目の山にふくまれる白いタイルの枚数を求めなさい。

(2)ある山にふくまれる白いタイルと黒いタイルの枚数の差が21枚であるとき,その山の一番下の段にあるタイルの枚数を求めなさい。

(3)となり合う2つの山のタイルの枚数が合わせて2113枚のとき,その2つの山にふくまれる白いタイルの枚数の合計を求めなさい。

1_2 

規則性と答え

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周期性→2回目に出会うのは?(六甲中学 2010年)

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図のような1辺の長さが8cmの正五角形があります。点Pは頂点Aから,点Qは頂点Bから図の矢印の向きに同時に出発します。点Pは毎秒5cm,点Qは毎秒3cmで辺上を動くとき、2点が2回目に頂点Aで出会うのは出発してから何秒後ですか。

1

考え方と答え

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数列の規則→3の入っている数字(南山中学 2010年)

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3の数字が使われている整数を小さい順に並べた数の列があります。

3,13,23,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,43,53,・・・・・・・・

(1)30番目の数を求めなさい。

(2)300は何番目の数か求めなさい。

考え方と答え

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ぬり分け問題→立体の色ぬり(芝中学 007年)

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底面、上面が大きさの異なる正方形で、側面が4つの等しい台形からなる立体があります。この立体に赤、青、黄色の3色の色をぬるとき、同じ色を2回ずつ使ってぬる方法は何通りですか?

ただし、立体を回転させたとき同じになるぬり方は、同じものとします。

アニメーション解説と答え

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並べ方の場合の数は?(麻布中学 2012年)

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下の図1のような6つのマス目があり、左上のマス目には「1」が書かれています。残りの5マスに2から6までの数字を1つずつ書き入れることを考えます。ただし、横の3つの数は、3で割った余りが異なるようにし、たての2つの数は2で割った余りが異なるように書き入れます。

1

たとえば、下の図2の2つは正しい書き入れ方です。

2

このとき、次の問に答えなさい。

(1)下の図3で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。

3

(2)下の図4で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。

4

(3)図1で、残った5つの数字の書き入れ方は何通りですか。

考え方と答え

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売買損益算→売った割合は?

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みかん1000個のうち、何個かを原価の3割増しで、残りのみかんを原価の1割引きで売り、全体として原価の1割3分にあたる利益がありました。1割引で売ったみかんは何個ですか。

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解説と解法例

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てんびん図を使って解く食塩水問題(六甲中学 2012年)

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空の水そうに食塩水と水を入れる2つの管A,B があります。この水そうに、管A を開いて5%の食塩水を毎分5kgずつ入れ始め、その2分後、さらに管B を開いて、水を毎分20kgずつ加えながら食塩水をうすめていきます。水そうの食塩水の濃度が1.2%になるのは、食塩水を入れ始めてから何分何秒後ですか。

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考え方と答え

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図形移動と重なり(駒込中学 2010年)

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次の図のように正六角形と長方形があります。正六角形が毎秒2cmの速さで、矢印の方向に進むとき、次の問いに答えなさい。

(1)10秒後の図形が重なった部分の面積は,長方形の面積の何分のいくつになりますか。

(2)図形が重なった部分の面積が,正六角形の面積の5/6になるのは何秒後と何秒後ですか。

1

考え方と答え

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内接円と外接円の移動の法則(駒場東邦中学 2011年)

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(1)円Oの外側を同じ半径の円が接しながら滑らないように回転します。

1

①図1のように,円Pの位置から円P1→P2→P3の順に移ったとき,円Pの周上の点Aが移った点A1,A2,A3の位置をそれぞれ解答欄の円P1,P2,P3の周上にかきなさい。

②円Pが円Oの回りを1回転して元の位置に戻ったとき,円Pは何回転していますか。

(2)図2では円Oの外側を半径が円Oの1/2倍の円Qが接しながら滑らないように回転します。円Oのまわりを1回転して元の位置に戻ったとき,円Qは何回転していますか。

2

(3)図3では円Oの内側を半径が円Oの1/3倍の円Rが接しながら滑らないように回転します。円Oの内側を1回転して元の位置に戻ったとき,円Rは何回転していますか。

3

法則のイメージアニメーション

考え方と答え

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へだたりと時間のグラフ(明治大学付属明治中学 2011年)

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太郎君と花子さんが家から駅まで歩きます。花子さんの家は太郎君が駅に向かう途中にあり、太郎君の家と花子さんの家は285m離れています。太郎君と花子さんの歩く速さの比は7:5で、花子さんが家を出発し、遅れて太郎君が家を出発しましたが、太郎君が先に駅に着きました。下の図は太郎君と花子さんのへだたり(距離)と時間のようすをグラフに表したものです。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)花子さんの歩く速さは毎分何mですか。

(2)太郎君の家から駅までの道のりは何mですか。

1

考え方と答え

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時間と速度の関係グラフ(立教女学院中学 2010年)

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ある選手がグラフのように,スタートと同時に5.6秒かん一定の割合で速度を増していき,その後その最高速度のまま100mまで走り,10秒でゴールしました。最高速度は時速何kmですか。

1

考え方と答え

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速さと比(奈良学園中学 2008年)

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20分前に家を出たあゆみさんを追いかける場合、自動車で追いかけると5分後に、自転車で追いかけると12分後に追いつきます。このとき、次の問に答えなさい。ただし、あゆみさん、自動車、自転車の移動する速さは一定とします。

(1)自動車で追いかける速さと自転車で追いかける速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)ある日、家を出たあゆみさんを追いかけるのに、同時に追いかけた自転車と自動車では、自動車で追いかけた方が10分早く追いつきました。あゆみさんが家を出たのは追いかける何分前か答えなさい。

考え方と答え

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信号までの距離(渋谷教育学園渋谷中学 2010年)

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A君は家から学校まで0.8㎞の距離を歩いて登校しています。毎朝同じ時刻に家を出て,途中に信号が1つありますが,止まらずに分速80mの速さで歩くと8時に学校に着きます。昨日も分速80mの速さで歩いていましたが,信号で45秒間止まりました。信号が青に変わったあと分速120mで走ったら8時ちょうどに学校にに着きました。信号は家から何mの距離にありますか。

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考え方と答え

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ちょっと難しい通過算(麻布中学 2012年)

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列車A,B はそれぞれ一定の速さで、並行(へいこう)する線路の上を逆向きに走っています。ある地点を列車の先頭が通過してから最後尾が通過するまでの時間は、A が15秒、B が20秒です。また、A とB がすれ違うのに要する時間は18秒です。列車A とB の速さの比と長さの比をそれぞれ求めなさい。

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考え方と答え

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流水算より→川の流れと船の速さ(武蔵中学 2007年)

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21kmはなれた川のA地点とB地点を船で往復しました。AからBへ上るときは2時間6分かかり、BからAへ下るときは、川の流れが1時間あたり1.4km速くなっていたので、1時間15分ですみました。次の問に答えなさい。

(1)水の流れがないとき、この船の速さは時速何kmですか。

(2)BからAへ下るときの川の流れが、もし上りのときより1時間あたり0.4kmおそくなっていたとすると、下りにはどれくらいの時間がかかりますか。

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イメージ参考図と答え

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旅人算→2人の速さは?(渋谷教育学園幕張中学 2008年)

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20㎞はなれた2地点AとBの間を、誠君と真一君が同じ道を通って、それぞれ一定の速さで1往復するものとします。誠君はAからBへ、真一君はBからAへ向けて同時刻に出発したあと、2人はまず途中のP地点ですれ違って、さらにその3時間20分後にPから2㎞だけA地点に近いQ地点で2人は再びすれ違いました。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)2人の速さの和は毎時何㎞ですか。

(2)2人が最初にP地点で出会うのは、出発してから何時間何分後ですか。

(3)誠君と真一君の速さは、それぞれ毎時何kmですか。

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考え方と答え

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立方体のくりぬき(筑波大学附属中学 2012年)

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125個の立方体が,縦横5つずつ5段に積み重ねられています。下の図のように,となり合う2つの面の色のついた部分で,表面に垂直な方向に型抜きをすると,残った立方体はいくつになりますか。

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数え方のイメージ図と答え

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回転体問題→Sの字を回転させた体積(白百合学園中学 2010年)

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1マス2cmの方眼用紙に下の図の黒い部分のようにSという文字をかいて切り取ります。この図形をABを軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

ただし、底面が同じで高さが等しい円柱と円すいの体積の比は3:1です。また、計算を簡単にするために円周率は3で計算しなさい。

1

イメージ図と答え

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見取り図、投影図問題より→エッシャーの絵(千代田区立九段中等教育学校 2010年)

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はるきさんとゆうとさんが画集を見ています。

〔はるき〕この絵はエッシヤーという画家が描いた「滝」という作品なんだ。どこかおかしいと思わないかい。
〔ゆうと〕上から流れ落ちてきた水がいつの間にか,また上にもどっている。これは現実ではありえないことだよ。
〔はるき〕この絵は,ところどころに,ありえないつながりがかくされているんだ。「ペンローズの三角形」という図形をヒントにして,描かれているんだよ。

1

問1

図2のエッシャーの絵の中には,ペンローズの三角形をヒントにしたありえないつながりがかくれています。その場所を3か所探し,解答用紙の絵に三角形を描き入れなさい。

〔はるき〕このペンローズの三角形は,現実にはありえない立体だけど,それぞれの面が正しく対応するようこ整理していくと,図3の例のように現実にありえる立体として描くことができるんだ。
〔ゆうと〕本当だね。穴のあいた三角形に厚みを持たせた立体に見える。
〔はるき〕図4の不思議な図形も,面を整理すると現実にありえる穴のあいた台形の立体に描き直しことができるよ。

問2

図3の例にならって,図4のありえない形を描き直します。解答用紙には図の外わくの細が描かれています。その外わくに合わせて。定規を使い,現実にありえる立体を表す図を完成させなさい。さらに,側面になった部分を図3のようにえんぴつでぬりなさい。

2

イメージ解答例

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展開図問題より→浦和中サイコロ(さいたま市立浦和中学 2012年)

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太郎くんは,立方体の6つの面に,漢字の「浦」「和」「中」の文字を,ひとつの面にひと文字ずつ,すべての面に記入した「浦和中サイコロ」を工作用紙でつくりました。この「浦和中サイコロ」では,サイコロを手にとって,どの頂点から3つの面が見えるようにながめても,「浦」「和」「中」3種類の漢字が見えるように文字を配置しました。
次の「浦和中サイコロ」をもとにして,問1~問3に答えなさい。

1
(問1) 「浦和中サイコロ」の辺を切り,展開図をつくろうと思います。何か所の辺を切ると図2の展開図の形になりますか。数字で答えなさい。(図2の展開図では文字が省略してあります)
(問2) 図2の展開図では「浦」「和」「中」の文字はどこの面になりますか。展開図の5面それぞれにあてはまる漢字を書き入れなさい。ただし,漢字の向きは考えないこととします。
(問3) 図3の正方形ABCDは,「浦和中サイコロ」のそれぞれの面と同じ大きさの正方形です。この正方形の各辺を3等分する点をとり,点線部分を山析りにして正方形EFGHをつくりました。この正方形EFGHの面積が20c㎡のとき,「浦和中サイコロ」の1辺の長さは何cmになりますか。数字で答えなさい。

2

次に太郎くんは,「浦和中サイコロ」を図4の左下(グレーに着色した場所)に図5のように置いて,たて方向またはよこ方向に合計5回倒しました。
次の図4~図6をもとにして,問4に答えなさい。

3

(問4) 5回倒すと,図6の太線部分にサイコロが到着します。そのとき,①~⑥の各場所に「浦和中サイコロ」を到着させる転がし方は何通りありますか。図6の①~⑥の中に,その数を書き入れなさい。ただし,後戻りする方向と斜め方向にサイコロを倒すことはできません。

考え方と答え

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表面積問題より→立体を重ねた表面積(立教新座中学 2010年)

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下の図1のような、たて12cm、横4cm、高さ2cmの直方体が10個あります。

1

これらの直方体を次のように積み重ねたとき、立体の表面積を求めなさい。

(1)図2のように、下から4個、3個、2個、1個と積み重ねた立体の表面積を求めなさい。

2

(2)下の図3のように、(1)の積み重ね方で、1番下の段の両はしの直方体2個と、下から3段目の直方体2個を横向きに置き直した立体の表面積を求めなさい。

3

考え方と答え

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立体の切り口→どんな立体ですか?(駒場東邦中学 2010年)

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図1はある7面体の展開図の一部分であり,面(あ)と面(い)を組み合わせると図2のように1辺の長さ10cmの正方形となります。ここでA,Bはそれぞれ各辺のまん中の点を表します。

①足りない面(う)の名称を答え,解答用紙の図2にある線分の長さを用いて,面(う)を作図しなさい。ただし,作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

②この7面体の体積を求めなさい。

1

作図と答え

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円柱ではなくても・・・(東京都市大学付属中学 2009年)

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底面の半径が2cm、高さ10cmの円柱を、図のように点A、Bを通る平面と、点C、Dを通る平面で切り、3つの立体に分けます。1番大きい立体の体積は何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

1

考え方と答え

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体積と面の数(慶應義塾湘南藤沢中等部 2009年)

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下の図のように、1辺の長さが3cmの立方体を積み上げて、立体を作っていく。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)5番目にできる立体の体積を求めなさい。

(2)29番目にできる立体の面の数を求めなさい。たとえば、2番目にできる立体の面の数は10枚である。

(3)面の数が602枚になるのは何番目のときですか。

1

規則性と答え

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小円の半径は?(吉祥女子中学 2010年)

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図のように、大きな円の内側に、同じ大きさの6個の円がすきまなく並んでいます。また、点線は小さな円の中心を結んだ直線です。大きな円の半径が15cmのとき、次の問いに答えなさい。
 ①小さな円の半径は何cmですか。
 ②図の太線部分の長さは何cmですか。

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イメージと解答

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円とおうぎ形問題→面積を二つに分ける(愛知淑徳中学 2010年)

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図のように上下左右に1cm間隔で並んだ●が63個と,中心が●で半径が1cmの円が6個あります。いま,図の中に2つ以上の●を通る1本の直線を引いて,2つの部分に区切り,それぞれの部分にある円や円の一部の面積の和が同じになる場合を考えます。図の中の直線「あ」はその一つの例です。このような直線はいろいろ考えられますが,そのうち,円の中心の●を通るものは2本あるので,その2本をかきなさい。

510

イメージと答え

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