食塩水の濃度は？（灘中学 ２０１２年）

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濃度が a ％の食塩水Ａ が入っているビーカーに、食塩水Ｂ を加えてよくかき混ぜると、濃度が c ％の食塩水Ｃ ができました。このとき、食塩水Ｃ は食塩水Ａ に比べて、全体の重さが８％増え、含まれている食塩の重さが２０％増えました。また、濃度については c = a ＋ 0.5 となりました。このとき次の問に答えなさい。

（１）食塩水Ｂ の濃度は食塩水Ａ の濃度の何倍ですか。

（２）食塩水Ｂ の濃度は何％ですか。

参考イメージ図と解法

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対角線の使い方（学習院中等科 算数入試問題 2004年）

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下図の青い部分と黄色い部分の面積をそれぞれ求めなさい。

親子で考えた解法例

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正三角形の動く範囲は？（灘中学 2011年）

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平面上に ３ｃｍ だけ離れた２点Ａ，Ｂ があり、１辺の長さが６ｃｍの正三角形の板 Ｔ を最初に図１の位置に置きます。Ｔ が下の①、②、③、④の順に動き、図１の位置に戻るまでにＴ が通過する部分の面積を求めなさい。

①　右に３ｃｍずらす　　②　Ａ の周りに時計回りに６０°回す

③　左に３ｃｍずらす　　④　Ｂ の周りに時計周りに６０°回す

イメージ図と答え

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補助線をどこに引くか？（灘中学 2013年）

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下の図の直角三角形ＡＢＣ において、点Ｍは辺ＡＢ のまん中の点です。また、角アの大きさは１５度、ＡＣ と ＭＤ の長さはともに ５ｃｍ です。このとき、角イ の大きさと、ＢＤ の長さを求めなさい。

　

図解と解法例

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点が移動して描く図形は？（麻布中学 ２００５年）

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一辺１ｃｍの正三角形が図１のようにしきつめられています。点Pがその辺上を，途中で同じ点，同じ辺は通らないように１秒間に１ｃｍの速さで動きます。Pがある三角形の頂点から出発して４秒後に初めてもとの頂点に戻るとき，Pが動いてできる図形は，例えば図２のようになります。このとき，次の問いに答えなさい。

（１） Ｐが図の頂点Oから出発して，5秒後に初めてもとの頂点Oに戻るとき，Ｐが動いてできる図形を一つ答のらんにかきなきい。

（２）Pが図の頂点Oから出発して５秒後に初めてもとの頂点Oに戻る動き方は何通りありますか。ただし，動いてできる図形が同じ場合でも逆まわりは異なる動き方とします。

（３）Ｐがある三角形の頂点から出発して６秒後に初めてもとの頂点に戻るとき，Ｐが動いてできる図形を考えます。それらをすべて下の答えのらんに一つずつかきなさい。ただし、移動や裏返しで重ね合わせることができる図形は同じものとします。また，答のらんはすべて使うとは限りません。

解説図と解答図例

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体積比は？（第１１回算数オリンピック、トライアル問題より）

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立方体を、その１つの面と平行な平面で切り、２つの直方体Ａ、Ｂに分けます。Ａの表面積とＢの表面積の比が１：２のとき、Ａの体積とＢの体積を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

考え方と答え

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速さと時間の関係を図解して解く！（女子学院中学 ２０１０年）

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花子さんは、自転車に乗って分速３２０ｍでＪ町からＧ町に向かった。バスはＪ町とＧ町を往復している。花子さんは、バスがＧ町を出発してから５分後にＪ町を出発し、花子さんが出発してから２０分後にバスと出会った。バスはＪ町に到着してから５分後に出発し、花子さんと出会ってから３５分後に花子さんを追いぬいた。

（１）バスの時速は何kｍですか。

（２）Ｊ町からＧ町までの道のりは何kmですか。

図解と解法例

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立方体をカットした立体の組み合わせ（学習院中等科 ２０１１年）

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図１は１辺が３ｃｍの立方体です。図２は、図１の立方体を切って、体積を１/２にした三角柱です。図３は、図２の三角柱を切って、体積を１/３にした立体です。

図４は、図１の立方体を７つ合わせて作った立体です。図５は、図４の立体に図2､3の立体をそれぞれいくつか合わせて、どこから見ても同じになるように作った立体です。

このとき、図５の立体について、次の問いに答えなさい。

（１）辺の数を求めなさい。

（２）ＡＢＣを通る平面でこの立体を切ったとき、切り口の面積を求めなさい。

（３）体積を求めなさい。

イメージ参考図と答え

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ちょっと変わった通過算です。（吉祥女子中学 2012年）

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生徒が一列に並んで歩いています。先頭の生徒から一番後ろの生徒までの長さは １００ｍ です。先生が、その列の先頭から一番後ろまで走ったところ、２０秒かかりました。そのあと、一番後ろから先頭まで走ったところ、４０秒かかりました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）先生の走る速さは、毎分何ｍですか。

（２）この列が、長さ８０ｍの橋を渡り始めてから、渡り終わるまでにかかる時間は何分何秒ですか。

考え方と解法例

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木の葉形面積の変形版（白百合学園中学 2003年）

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下図のように、正方形の各頂点を中心にして、同じ長さの半径で線を引いたとき、図の色のついた部分は、正方形の面積の何％に相当するか答えなさい。　

図解と解答例

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動く歩道の速さと長さ（徳島文理中学 2012年）

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は１８秒です。文理君が、この歩道を１秒間に２歩のペースで歩いたとき、歩道に乗っている時間は１２秒でした。歩道の動く速さは一定で、文理君の１歩の幅は常に５０ｃｍ とします。

（１）文理君が普通の道をこのペースで歩くと、１２秒間で何ｍ 歩きますか。

（２）この【動く歩道】は、６秒間で何ｍ 動きますか。

（３）この【動く歩道】は、何ｍ ありますか。

（４）１秒間に ３歩のペースで歩くと、【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

考え方と解法例

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出題頻度の高い面積問題です（桐蔭学園中学 2009年）

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１辺６ｃｍの正方形に図のように線を引いたとき、

四角形ＪＫＬＭの面積を求めなさい。　

　　　　　

参考イメージ図と解法例

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旅人算を比で考える問題（麻布中学 ２００７年）

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ある池の周りをA君とB君は同じ方向に、Ｃ君は逆方向に、それぞれ一定の速さで回ります。Ａ君はＢ君を15分ごとに追いこし、Ｂ君はC君と２分ごとに出会います。Ｂ君が７分かかって走る距離をC君は８分で走ります。このとき、Ａ君とC君の速さの比を求めなさい。

考え方と解法例

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角度と面積は？（愛光中学 2010年）

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下の図において、角あ の大きさ＝[　ア　]度、

　角い の大きさ＋角う の大きさ＝[　イ　]度、

　四角形ＡＢＣＤ の面積＝[　ウ　]ｃ㎡ です。

　ア、イ、ウに入る値を答えなさい。

図解と解法例

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使い方をマスターしたいてんびん図(洗足学園中学 2011年）

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４％の食塩水10gに６％と10％の食塩水を加えて，７％の食塩水を100g作りました。このとき，６％の食塩水は何ｇ加えましたか。なお，この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

てんびん図による解法例

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図形を使った場合の数を考える問題（早稲田中学 ２００７年）

下の図のような高さが ６ｃｍ の正三角形の内部の点Ｐ から辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ へ垂線を引き、その長さをそれぞれ ｘｃｍ、ｙｃｍ、ｚｃｍ とします。ｘ、ｙ、ｚ がすべて整数であるような点Ｐは三角形ＡＢＣ の内部に何個存在しますか。

　　　　

考え方と解法例

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水槽問題→残った水の体積は？（同志社中学 ２０１０年）

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たて６ｃｍ、横９ｃｍ、高さ１２ｃｍの直方体の容器に、いっぱいまで水を入れ、その中に半径３ｃｍ、体積１１３立方ｃｍの球を２つ入れました。水はこぼれて、横から見ると、図１の状態になりました。次に、容器を４５゜傾けると水はさらにこぼれ、中の球は移動して図２の状態になりました。１つの球の半分が水面より上にでています。容器の中に残っている水の量は何立法ｃｍですか。

考え方と答え

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図形の移動と重なり（横浜共立学園中学 ２００９年）

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下の図のように，直線L上にAB＝ACの二等辺三角形と台形があります。図の位置から二等辺三角形が直線Lの上を矢印の方向に移動していきます。台形は動きません。

（１）二等辺三角形が図の位置から７ｃｍ移動したとき，二等辺三角形と台形の重なった部分の面積は何ｃ㎡ですか。

（２）二等辺三角形と台形の重なった部分の面積が二等辺三角形の面積の１/４になるのは，二等辺三角形が図の位置から何cm（①）移動したときと何cm（②）移動したときですか。

移動後のイメージ図と解法例

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N進法の考え方（学習院女子中等科 ２０１２年）

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５個並んだマスに黒色をぬって整数を表すことにします。黒色をぬる場所によって、

とします。このようにすると、

と表せます。

では、

（１） はいくつを表しますか。

（２）このぬり方で１３を表してください。

（３）このぬり方で、０からいくつまでの整数をを表すことができますか。

（４）同じように並んだマスを用いて、０から１２９の整数を表すには、最低いくつのマスを並べる必要がありますか。

ぬり方の規則性と解答例

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立方体の切り口を考える（早稲田中学 ２０１０年）

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下の図は、１辺の長さが ６ｃｍ の立方体です。この立方体を３つの点 Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面で切断します。ＡＱ＝３ｃｍ、ＢＱ＝２ｃｍ、ＣＲ＝２ｃｍ のとき、次の問に答えなさい。

（１）切り口は何角形ですか。

（２）ア～ニは辺上の点で、たがいに１ｃｍずつ離れて並んでいます。切り口の多角形のＡ，Ｂ，Ｃ 以外の頂点をア～ニからすべて選びなさい。

（３）ＰＱ の延長と ＣＢ の延長が交わる点をＤ とします。切り口の多角形の面積は三角形ＡＤＢ の面積の何倍ですか。

（４）できた２つの立体のうち、点Ｒ を含む方の立体の体積を求めなさい。

図解と解法例

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今年出題された仕事算の基本問題（吉祥女子中学 2013年）

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からの水そうがあります。この水そうを水でいっぱいにするのに、ポンプＡ を使って水を入れると５４分、ポンプＢ では３６分かかります。はじめにＡとＢの２個のポンプを使い、とちゅうでＢを止めたところ、全部で２５分かかりました。Ｂのポンプを使っていたのは何分何秒ですか。

考え方と解法例

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パズルのような等積移動（東洋英和女学院中学部 ２００８年）

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下の図は直角二等辺三角形と円の一部からできています。影になった部分の面積合計は何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。

等積移動イメージと解法例

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ニュートン算（開成中学 ２０１１年）

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西山動物園では、開門前に長い行列ができていて、さらに、一定の割合で入園希望者が行列に加わっていきます。開門と同時に、券売機を５台使うと２０分で行列がなくなり、開門と同時に、券売機を６台使うと１５分で行列がなくなります。また、もし開門のときの行列の人数が５０人少なかったとすると、開門と同時に券売機を７台使うと１０分で行列がなくなります。開門前の行列に並んでいる人数はいつも同じものとして、次の問に答えなさい。

（１）開門のとき、行列の人数は何人ですか。

（２）開門と同時に、券売機を１０台使うと、何分で行列がなくなりますか。

考え方と答え

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面積比を求める問題（慶應義塾中等部 ２０１０年）

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図のように，三角形ABCの中に，ぞれぞれＡＰ：ＰＱ＝２：１，ＢＱ：ＱＲ＝３：１，ＣＲ：ＲＰ＝３：２になるような点Ｐ，Ｑ，Ｒをとります。三角形ABCの面積が441ｃ㎡のとき，三角形PQRの面積は，何ｃ㎡になりますか。

面積比の参考図と解答例

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持っていたタイルの枚数は？（浦和明の星女子中学 ２００８年）

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Ａさんは，たての長さｌｃｍ，横の長さ２ｃｍの長方形の形をしたタイルを敷き詰めて，正方形の形に並べることにしました。例えば，１８枚のタイルを並べると，下の図のようになります。Ａさんがいま持っているタイルをすべて使うと，ある大きさの正方形の形に並べられますが，さらに３０枚のタイルかあれば，その正方形より１辺の長さが２ｃｍ長い正方形の形に並べられます。持っているタイルは何枚でしょうか。

参考イメージ図と答え

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