68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

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2014年2月

正方形と円(SAPIX入室、組分けテストより)

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円の中にある正方形の一辺の長さは12cm。

黄色い部分の面積は?

親子で考えた解法例

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べん図を使うと解きやすい問題(開成中学 2005年)

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40人の生徒に対して、問題A,B の2題によるテストを行いました。得点は、2題とも正解ならば10点、A,B のどちらか1題だけが正解ならば5点、どちらも不正解ならば0点としました。その結果について、次のことがわかっています。

(ア)40人の平均点は、ちょうど6点でした。

(イ)得点が0点と5点の生徒は、合わせて30人いました。

(ウ)問題A が正解だった生徒の人数は、問題B が正解だった生徒の人数の2倍でした。

このとき、問題A が正解で、問題B が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

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考え方と解法例

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長さの比と面積の比(桐朋中学 2011年)

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下の図で、四角形ABCD は長方形です。三角形AQP と三角形BRQは合同で、三角形DPT と三角形CTS は合同な直角二等辺三角形です。また、点X,Y がそれぞれQR,PT上にあり、直線PX,XY は五角形PQRST の面積を3等分しています。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3496q

(1)五角形PQRST の面積を求めなさい。

(2)QX とXR の長さの比を求めなさい。

(3)PY と YT の長さの比を求めなさい。

図解と解法例

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単位換算→絵の具の量と面積(2014年 雙葉中学)

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下の図は正方形と円を組み合わせたものです。1番小さい円の半径は5cmです。4つの円の中心は同じで、半径は5cmずつ大きくなっています。赤、青、黄色の絵の具を表のような割合で混ぜて、むらさき、緑、オレンジを作り、

3_3 の部分をむらさき、

4 の部分は緑、

5 の部分はオレンジでぬりました。

どの絵の具も1gでぬれる面積は同じです。円周率は3.14です。

2_3

1_3

(1)むらさきでぬった部分の面積は何c㎡ですか。

(2)赤の絵の具は8.2g使いました。黄色の絵の具は何g使いましたか。小数第2位を切り上げて、小数第1位まで答えましょう。

考え方と解法例

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長方形の重なり(2013年 大阪星光学院中学)

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下の図は、たて3cm,横4cm,対角線の長さが5cmの2つの長方形を、対角線が重なるように置いたものです。2つの長方形が重なった斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

参考イメージ図と解法例

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取ったカードの推理(神奈川大学附属中学 2010年)

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1から13までの整数をひとつずつ書いた13枚のカードがあります。A,B,C,Dの4人が,この中から1枚ずつ取り出したところ,(ア)~(ウ)であることがわかりました。

(ア)Aが取ったカードの数は,Bが取ったカードの数の3倍である。

(イ)Aが取ったカードの数と,Cが取ったカードの数の差は4である。

(ウ)Cが取ったカードの数は,Aが取ったカードの数とDが取ったカードの数の平均である。

このとき,4人が取ったカードの数の合計はいくつですか。考えられるすべての場合を答えなさい。

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推論と答え

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相似三角形をどうを利用するか?(市川中学 2012年)

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図の正方形ABCDで、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

参考イメージ図と解法

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魔方陣→これだけでわかるの?(洗足学園中学 2011年)

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図のような3×3のマスに、たて、横、ななめの和がどこも等しくなるように数を入れました。さて、「あ」に入る数はいくつでしょうか?

127_2

考え方と解法例

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光の反射する性質(須磨学園中学 2013年)

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角A が50°で、辺AB と辺AC の長さが等しい二等辺三角形があります。いま、下の図のように頂点Bを出た光が辺AC と辺ABで反射して、辺BC 上の点F に届きました。このとき、角CFD の大きさは120°でした。このとき、角アの大きさを求めなさい。ただし、反射とは、下の図の右側のように、角度が等しくなる性質があります。

Pic_3371q_2

イメージ参考図と解法2例

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年齢算→何歳ですか?(愛光中学 2010年)

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父,母,兄,妹の4人家族がいます。兄は妹より4歳年上です。現在,母の年齢は兄の年齢の3倍で,8年後には父の年齢は妹の年齢の3倍になります。父は母より[①]歳年上です。また,現在の4人の年齢を足すと96歳です。現在,母の年齢は[②]歳,妹の年齢は[③]歳です。

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考え方と答え

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透明になる立方体(立教新座中学 2011年)

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下の図1は、スイッチの入れ方によって透明になったり、不透明になったりする1辺10cmの立方体の装置を表しています。この装置を図2のように、たて、横、高さ6個ずつすき間なく積み重ねて立体を作ります。

Pic_2690q

この立体を机の上に置き、それぞれの立方体のスイッチの入れ方でいろいろな立体を表すものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)下の図3のような立体を表すとき、透明な立方体は最低何個ありますか。また、最大何個ありますか。ただし、どの側面から見ても図3のような見取り図になるものとします。

Pic_2691q

(2)下の図4のように、8個の立方体以外をすべて透明にして、1辺20cmの立方体を表すものとします。このとき、図2の立体の中における図4の立方体の位置は全部で何通りありますか。

             Pic_2692q

(3)上から見て下の図5のように見えるとき、透明な立方体は最低何個ありますか。

      Pic_2693q

(4)どの方向から見ても図5のように見えるとき、透明な立方体は最低何個ありますか。

参考イメージ図と解き方

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進む時計は何時何分?(頌栄女子学院中学 2011年)

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1時間に2分の割合でおくれる時計A と、1時間に5分の割合で進む時計B があります。午後3時にこの2つの時計を合わせました。この日、時計A が午後9時46分を指しているとき、時計B は午後何時何分を指していますか。

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考え方と解法例

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Sの字を回転させた体積(白百合学園中学 2010年)

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1マス2cmの方眼用紙に下の図の黒い部分のようにSという文字をかいて切り取ります。この図形をABを軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

ただし、底面が同じで高さが等しい円柱と円すいの体積の比は3:1です。また、計算を簡単にするために円周率は3で計算しなさい。

1

イメージ図と答え

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平均算を応用した数の推理(女子学院中学 2013年)

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下の図のような矢の的があります。A,B,C,D,E,F の6人が2回ずつ矢を射って、2回の合計を得点とします。6人の得点の平均は、小数第2位を四捨五入すると 8.2点で、A,C,F の3人の得点の平均は、ちょうど12点でした。また、Fの得点はBの得点よりも4点多く、E とF だけが1回ずつ的を外しました。このとき、D,E の2人の得点の平均は何点ですか。

     Pic_3428q Ilm10_da03001s

推理と解法手順

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積み重ねた立方体の個数(東邦大学付属東邦中学 2012年)

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同じ大きさの立方体を、面と面がぴったりと重なるようにいくつか積み重ねて立体を作りました。
その立体を真上から見た図と、正面から見た図は右のようになっています。このとき、次の問いに答えなさい。3_4

(1)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も少ない場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。

(2)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も多い場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。

(3)この図のようになる立体は全部で何通りありますか。

イメージ参考図と答え

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相当算→実人数は何割にあたるか?(同志社中学 2010年)

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ある中学校のA組とB組の生徒は、全員が電車、自転車、徒歩のいずれかの方法で通学しています。A組の生徒の3/8は電車通学、1/2は自転車通学で、徒歩で通学しているのは4人です。B組の生徒数はA組より12.5%多く、電車通学の人数はA組と同じで、自転車通学の生徒の割合もA組と同じです。B組の徒歩通学の生徒は何人ですか。

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考え方と答え

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正八面体の展開図 (慶應義塾普通部 2009年)

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正三角形を8枚使って、図1のような立体を作りました。次に、A,Bのように各辺の真ん中の点を結んで線を引いた後、図2のように展開しました。このとき、線AB以外の部分の線を展開図に書き込みなさい。

Pic_0453

イメージ図と答え

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どう計算するか?(栄東中学、東大クラス選抜 2010年)

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2つの数の積について、A~Eの5つの式が成り立ちます。このとき★に入る数を求めなさい。ただし、同じ記号には同じ数が入ります。

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計算方法と解法例

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角度問題の定石とは?(鎌倉学園中学 2013年)

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下の図のように、平行な2直線と2個の正六角形があります。

図の角アの大きさを求めなさい。

 Pic_3417q

解法の定石と答え

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こんがらがったひもを切る植木算とは?(市川中学 2011年)

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図のように、1本のひもがからまっています。点線の上の黒丸のところをハサミで切ったときに、このひもは何本に切り離されますか?

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法則と答え

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