数の性質の規則性は？（学習院中等科 2012年）

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４ケタの整数があります。いま、この整数の千の位と十の位の数字を交換し、百の位と一の位の数字を交換した整数を考えます。ただし、交換してできた整数は４ケタの整数になるとは限りません。

たとえば、元の整数が １２０３ のとき、交換してできる整数は ３１２になると考えます。

元の整数と数字を交換してできる整数の和を考えるとき、次の問に答えなさい。

（１）この和は、常にある整数の倍数になります。この整数を答えなさい。

（２）この和が １５８５７ になりました。もとの整数として考えられる数の中で、最も大きい数を答えなさい。

（３）この和が ５ケタ の整数の中で最も小さい数になりました。元の整数として考えられる数の中で最も大きい数を答えなさい。

規則性と解法例

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時計算の難問に挑戦！（開成中学 2014年）

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ある世界では、１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、１時間 が２５分、１分が２５秒に区切られていて、下の図のような時計を用いて時間を計っています。現在の時間は午後２時５分０秒で、時計の短針（黒）、長針 （白）、秒針は正しい時刻を指しています。この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

　

（１）これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（２）さらに時間が進んで最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（３）現在（午後２時５分０秒）から、３本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。ちょうど１００回目となるのは何日後で、午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。ただし、現在から２時間２０分後の午前０時から１日後が始まるものとします。

考え方と解法例

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トンネルの長さは何ｍ？（洗足学園中学 ２０１４年）

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毎秒20mで走る長さ100mの普通列車Ａと，毎秒26mで走る長さ220mの急行列車Ｂが同じ向きに走っています。ＡとＢがあるトンネルに同時に入り始め，同時に列車全体がトンネルから出たとすると，このトンネルの長さは何ｍですか。

考え方と解法例

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時間が同じ場合の速さと距離（智弁学園和歌山中学 ２０１０年）

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下の図の各点は一直線上に等間隔に並んでおり，図の太線と細線の曲 線はともに半円がつながってできたものです。これらの曲線の端から端まで手の指でそれぞれ一定の速さでなぞったところ，なぞるのにかかった時間は同じでし た。このとき，太線の曲線を指でなぞる速さは，細線の曲線を指でなぞる速さの何倍ですか。

考え方と答え

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海城中学、今年の問題から→相似形はどこに？（２０１４年）

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図のような平行四辺形があります。このとき、ＡＢの長さとＢＣの長さの比を最も簡単な整数の比で表してください。

図解と解法例はこちらから！

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方陣算のおもしろい変形問題（カリタス女子中学 2010年）

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下の図１は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ ４つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。

　　　　　　　　

下の図２は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。

図２の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　

（１）図２のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。

（２）図２のアはいくつですか。

推理と解法例

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面積比問題より→台形の面積比（青山学院中等部 ２０１２年）

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台形ＡＢＣＤと三角形ＡＢＥの面積が等しいとき、三角形ＤＦＥの面積は台形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか。

イメージ参考図と答え

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複雑な立体のようですが・・・（立教池袋中学 2011年）

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下の図は、直方体から円柱の半分を１個くりぬき、くりぬいた立体と同じ大きさの立体を３個付け加えたものです。

　

（１）この立体の体積を求めなさい。

（２）この立体の表面積を求めなさい。

計算と解答例

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基本的な良問です（慶應義塾中等部 ２０１２年）

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図のように、平行四辺形ABCDの辺BC上にBE：EC＝２：１となる点Eをとり、AEとBDの交点をFとします。四角形FECDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を、最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

図解と解法例

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小学生の方程式問題（鴎友学園女子中学 ２００９年）

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ＡさんとＢさんが，あるゲームを４回行いました。その各回の得点について，以下のことがわかっています。

・１回目は，ＡさんとＢさんの得点は同じ

・２回目は，１回目のそれぞれの得点より，Ａさんは120点多く，Ｂさんは400点少ない

・３回目は，ＡさんもＢさんもそれぞれ２回目の得点の1．25倍

・４回目は，３回目のそれぞれの得点より，Ａさんは40点多く，　Ｂさんは80点多い

・ＡさんとＢさんの４回目の得点をあわせると1920点

１回目のＡさんの得点は何点でしたか。

計算と解答例

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べん図を使うと解きやすい問題（開成中学 2005年）

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４０人の生徒に対して、問題Ａ，Ｂ の２題によるテストを行いました。得点は、２題とも正解ならば１０点、Ａ，Ｂ のどちらか１題だけが正解ならば５点、どちらも不正解ならば０点としました。その結果について、次のことがわかっています。

（ア）４０人の平均点は、ちょうど６点でした。

（イ）得点が０点と５点の生徒は、合わせて３０人いました。

（ウ）問題Ａ が正解だった生徒の人数は、問題Ｂ が正解だった生徒の人数の２倍でした。

このとき、問題Ａ が正解で、問題Ｂ が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

考え方と解法例

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分配算問題より→分配算の基本問題

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７３００円をAがBの２倍より２００円多く、BがCの３倍になるように分けると、Aは何円ですか。

考え方と答え

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四角に当てはまる数は？（久留米大学附設中学 ２０１０年）

記号＜Ａ、Ｂ＞は、ＡをＢで割ったときの余りを表すものとします。たとえば、＜８，３＞＝２、＜10、３＞＝1です。このとき、次の□にあてはまる整数をすべて求めなさい。

＜＜７０，９＞＋＜１８，７＞，＜２０，□＞＞＝３

考え方と答えはこちらで！

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小円が動いた部分の面積（六甲中学 ２０１０年）

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半径１０ｃｍの大円と半径３ｃｍの小円があり，小円の周上には1か 所・印が付いています，図のように，アの位置でその・印は大円の周上にあります。この位置から小円を大円に沿ってすべらないように回転させ，次に・印が大 円の周上に来るのがイの位置です。図の斜線の部分の面積を求めなさい。

イメージと解答

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底面積が違うのにどう比較するのか？（明治大学付属明治中学 ２０１１年）

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２つの円柱形の容器Ａ，Ｂがあり，Ａには高さ18cm，Ｂには高さ 6cmまで水が入っています。Ａに入っている水の３/８をＢに移したところ，ＡとＢの水の高さは同じになりました。このとき，最初に入っていたＡとＢの水 の量を最も簡単な整数の比で表すと，（ア）：（イ）です。

図解と解法例

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