68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

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2014年8月

点の移動と図形変化(女子学院中学 2009年)

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下の図は、長方形ABCD と直角三角形DCE を組み合わせた図形です。点アは、頂点A を出発して毎秒2cm の速さで辺ADを往復します。点イは、頂点B を出発して毎秒3cm の速さで辺BE を往復します。点ア、点イは同時に出発し、点ア と点イを結んでできる直線を、直線アイ と呼ぶことにします。このとき次の問に答えなさい。

   Pic_3515q

(1)直線アイ が辺AB と初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイ と辺AB がぴったり重なる場合は除きます。

(2)直線アイが四角形ABED を1つの三角形 と 1つの四角形に分けるのは、出発してから2分後までに何回ありますか。

(3)長方形ABCD の対角線AC と対角線BD が交わる点をFとします。直線アイ が点F を1回目に通るのと、2回目に通るのは、それぞれ出発してから何秒後ですか。

図解と解法例

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今年、2014年の東大寺学園中学の問題から(旅人算)

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ある池のまわりの道を,A君は自転車で,B君は徒歩で,それぞれ一定の速さで回ります。A君は,午前9時にある地点Pを出発し,午前10時に池のまわりをちょうど5周回って地点Pを通過しました。B君は,午前9時4分に地点PをA君とは反対向きに出発しました。2人が3回目に出会ったのは午前9時30分でした。2人が最初に出会ったのは午前9時何分何秒でしたか。

Ilm13_ac06005s Lpsa2102cs

考え方と解法例

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複雑な立体のようですが・・・(立教池袋中学 2011年)

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下の図は、直方体から円柱の半分を1個くりぬき、くりぬいた立体と同じ大きさの立体を3個付け加えたものです。

 Pic_2250q

(1)この立体の体積を求めなさい。

(2)この立体の表面積を求めなさい。

計算と解答例

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正三角形内の点の移動(芝中学 2012年)

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下の図のような正三角形ABC と、OA=OB=OC=12cmとなるような点Oがあります。いま、3点P,Q,R が点Oを同時に出発し、点PはOA間を、点QはOB間を、点RはOC間を、それぞれ毎秒1cm、2cm、3.5cm の速さで往復し続けます。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3444q

(1)3点P,Q,R が点Oで最初に出会うのは出発してから何秒後ですか。

(2)3点P,Q,R を結んでできる三角形が最初に正三角形になるのは出発してから何秒後ですか。

考え方と解法例

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小学生にもこんな問題が!(山手学院中学 2010年)

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119/75、115/73、111/71、・・・のように、順番に分母からは2を引いて、分子からは4を引いて分数を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)10番目の分数を答えなさい。

(2) 1に等しくなるのは何番目ですか。

(3)次に、119/75、123/77、127/79、・・・ のように、分母には順番に2を加え、分子には4を加えて分数を作ります。

「この分数は【 ア 】に近づいていきますが、【 ア 】より大きくなることはありません。」

【 ア 】にあてはまる整数はいくつですか。

Hpsa1101cs


考え方と解法例

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近年の名作問題から(豊島岡女子学園中学 2010年)

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下の図のように、正三角形ABC のそれぞれの辺を3等分する点をD,E,F,G,H,I とします。A~I のうち、3点を結んで三角形を作るとき、次の問に答えなさい。ただし、3点を結んで三角形ができないような結び方は考えないものとします。

    Pic_3682q

(1)3点E,F,I を結んでできる三角形の面積は正三角形ABCの面積の何倍ですか。

(2)3点を結んでできる三角形のうち、正三角形ABC の面積の3分の1になるものは何通りありますか。

図解と解法例

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おうぎ形の面積比は?(ラ・サール中学 2014年)

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対角線の長さが10cmの正方形Aがあります。その1辺を半径とするおうぎ形Bと、対角線を半径とするおうぎ形Cを図のように作ります。

(ア)2つのおうぎ形の面積の比を求めなさい。

(イ)2つのおうぎ形の面積の差を求めなさい。

1

考え方と解法例

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約数と倍数 (海陽中等教育学校 2014年)

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公園の周囲にたくさんの白色の「くい」が立っていて,その本数は150本以上200本以下であることか分かっています。

今,1つの「くい」を選んで赤色にぬり,時計回りに9本ごとに「くい」を赤色にぬっていったところ,1周したところで,ちょうど最初の赤色にぬった「くい」に着きました。

次に赤色でない「くい」を1つ選んで青色にぬり,時計回りに6本ごとに「くい」を青色にぬっていったところ,同じく1周したところでちょうど最初に青色にぬった「くい」に着きました。また途中では,赤色の「くい」を青色にぬることはありませんでした。

さらに,赤色でも青色でもない「くい」を1つ選んで黄色にぬり,時計回りに12本ごとに「くい」を黄色にぬっていったところ,同じく1周したところでちょうど最初に黄色にぬった「くい」に着きました。また途中では,赤色の「くい」も青色の「くい」も黄色にぬることはありませんでした。

このとき公園の周囲にある最後まで色をぬられなかった白色の「くい」の本数を求めなさい。

Ilm13_bb13006s_2

考え方と解法例

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公立中高一貫校適性検査より、比例問題(千葉市立稲毛高校附属中学 2011年)

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1

ABCDの4種類のおもりがあります。その4種類のおもりをてんびんにのせたところ,図1のような組合せでつり合っています。図をよく見て,あとの問いに答えなさい。

2

(問1)図1のつり合う組合せから考えると,Aの重さはDの重さの何倍ですか。

(問2)図2のように,ある物体Xの重さを量るために,てんびんの片方にX,もう片方におもりAを置いたら,Aの方が重いことがわかりました。このあと,Xの重さを量るとあるおもり3個でつり合うことがわかりました。このときXとつり合うおもり3個として考えられる組合せを例にならって,すべて書いてください。
(例)おもりB2個とおもりC1個でつり合うと考えたときは

→(C,B,B)と書きます。

ただし,(C,B,B)と(B,C,B)と(B,B,C)は同じものとします。

解答までの解説

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この立体の最小の表面積は?(渋谷教育学園渋谷中学  2013年)

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一辺の長さが1cmの立方体を19個積み重ねて、ある立体を作ったところ、

真上から見た図と正面から見た図は下のよう|こなりました。

この立体の表面積がもっとも小さくなるとき、その表面積は何c㎡ですか。

ただし、この立体の底面には9個の立方体がすぺてしきつめられています。

1

立体の見取り図と解答例はこちらで!

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今年の問題から→どう等積移動しますか?(頌栄女子学院中学 2014年)

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下の図は半径12cmの円で、点A~Fは円周を6等分する点です。

色のついた部分の面積を求めなさい。

1

等積移動と答え

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作図しながら考える図形問題(高槻中学 2014年)

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(1)標準レベル(2)応用レベル(3)応用レベル

下の図の四角形ABCD は、ADとBCが平行な台形です。

辺AB上に点E があり、四角形ABCD はCE によって面積が二等分されます。また、辺BC上に点F があり、四角形ABCD はDF によって面積が二等分されます。さらに、辺CD上に点G があり、四角形ABCD は BGによって面積が二等分されます。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3742q

(1)AE の長さと BF の長さを求めなさい。

(2)EG の長さを求めなさい。

(3)三角形EFG の面積と四角形ABCD の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例

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シンプルな基本図形問題(芝浦工業大学中学 2010年)

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半径2cmの円を図のように置いたとき、斜線部分の面積は何c㎡になりますか。

1

図解と解法例

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相似形の活用(神戸女学院中学 2012年)

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下の図のように、1辺8cmの正方形の内部を線で区切ります。

Pic_3632q

次の問に答えなさい。

(1)赤い部分【ア】の面積を求めなさい。

(2)青い部分【イ】の面積を求めなさい。

(3)辺BC上に点Pをとり、直線APで青い部分【イ】の面積が2等分されるとき、PCの長さを求めなさい。

図解と解法例

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正五角形と正六角形の角度 (女子学院中学 2014年)

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下の図Ⅱのように、正六角形の中に正五角形があります。

角ア~角エの大きさを求めなさい。

  Pic_3707q

図解と解法例

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プールのニュートン算(奈良学園登美ヶ丘中学 2009年)

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プールに常に一定の割合で水道管から水を入れており、満水になった水は一定の割合であふれ出ています。この状態でプールの水をすべてくみ上げるには、ポンプ3台を使うと24時間かかり、ポンプ8台を使うと4時間かかります。このとき、次の問に答えなさい。ただし、どのポンプも一定時間に水をくみ上げる量は同じものとします。

(1)水を入れる割合はポンプ何台分ですか。

(2)この状態で、満水のプールの水をポンプ6台を使ってくみ上げると何時間かかりますか。

Ilm03_ab03029s

考え方と解法例

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立方体の中の三角形の回転(市川中学 2012年)

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下の図のように、1辺の長さが2cmの立方体ABCD-EFGHがあります。点P が立方体の辺上を点F から点G を通って点Hまで動きます。さらに面EFGH上で、2点E,P を結ぶ直線上に点E からの長さが1cm となるような点Qをとります。このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_3087q_2

(1)点Q が動いたあとを下の図2に描きなさい。

        Pic_3088q

(2)角FEP が30度となるところに点Pをとるとき、三角形AQHを辺AE を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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方陣算のおもしろい変形問題(カリタス女子中学 2010年)

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下の図1は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ 4つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。

        Pic_3466q

下の図2は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。

図2の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。このとき、次の問に答えなさい。

        Pic_3467q

(1)図2のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。

(2)図2のアはいくつですか。

推理と解法例

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普連土りんご農園の収穫期→仕事算(普連土学園中学 2011年)

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普連土りんご農園に収穫期がやってきました。10人ですると16日で収穫を終え,15人ですると8日で収穫を終えます。10日で収穫を終えるには,何人ですればよいですか。ただし,りんごは毎日同じ数だけ実が熟すものとします。

2191

考え方と答え

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規則性のある植木算・・・(3)は難問ですよ!(巣鴨中学)

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図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは1本、次は2本、その次は4本、・・・というように2倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を3.25m、小さな木どうしの間は1.25mとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。

(1)初めから数えて、大きな木の3本目と4本目の間の距離は、大きな木の2本目と3本目の間の距離より何m長いか求めなさい。

(2)初めから数えて、大きな木の5本目と6本目の間の距離を求めなさい。

(3)初めの大きな木から測って100mのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。

1

考え方と答え

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1~6までの数の魔方陣(桐蔭学園中学 2006年)

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Pic_0916q

上の図のAからFには、数字の1から6までのどれかが1つずつ入り、

Aにはすでに「1」が入っています。

四角形B,C,F,D の4つの頂点に入る数の和、 

四角形C,E,D,A の4つの頂点に入る数の和、

四角形B,E,F,A の4つの頂点に入る数の和、

がそれぞれ等しいとき、E に入る数はいくつですか。

考え方と解法例

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時計算の応用問題→今年の問題から(神戸女学院中学部 2014年)

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円周上に1時間で1周する点A と、5時間で1周する点B があります。下の図のように、円周を5等分する点を①、②、③、④、⑤とし、円の中心を点Oとします。はじめ、点A,Bは、①から同時に時計回りに出発し、再び点A,Bが同時に①にくるまで回り続けます。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_3760q

(1)点Bは1分間に点Oを中心として何度回転しますか。

(2)いま、点Bが②と③の間にあり、点Aが④と⑤の間にあります。2つの点がしばらく動き続けると、AとBの位置が入れかわります。入れかわるまでにかかる時間を求めなさい。

(3)(2)で入れかわった位置に点A,Bがくるのは、スタートから何時間何分後ですか。

考え方と解法例

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これも流水算→動く歩道の速さと長さ(徳島文理中学 2012年)

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は18秒です。文理君が、この歩道を1秒間に2歩のペースで歩いたとき、歩道に乗っている時間は12秒でした。歩道の動く速さは一定で、文理君の1歩の幅は常に50cm とします。

(1)文理君が普通の道をこのペースで歩くと、12秒間で何m 歩きますか。

(2)この【動く歩道】は、6秒間で何m 動きますか。

(3)この【動く歩道】は、何m ありますか。

(4)1秒間に 3歩のペースで歩くと、【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

Hodo

考え方と解法例

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