点の移動と図形変化（女子学院中学 2009年）

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下の図は、長方形ＡＢＣＤ と直角三角形ＤＣＥ を組み合わせた図形です。点アは、頂点Ａ を出発して毎秒２ｃｍ の速さで辺ＡＤを往復します。点イは、頂点Ｂ を出発して毎秒３ｃｍ の速さで辺ＢＥ を往復します。点ア、点イは同時に出発し、点ア と点イを結んでできる直線を、直線アイ と呼ぶことにします。このとき次の問に答えなさい。

　　　

（１）直線アイ が辺ＡＢ と初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイ と辺ＡＢ がぴったり重なる場合は除きます。

（２）直線アイが四角形ＡＢＥＤ を１つの三角形 と １つの四角形に分けるのは、出発してから２分後までに何回ありますか。

（３）長方形ＡＢＣＤ の対角線ＡＣ と対角線ＢＤ が交わる点をＦとします。直線アイ が点Ｆ を１回目に通るのと、２回目に通るのは、それぞれ出発してから何秒後ですか。

図解と解法例

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今年、２０１４年の東大寺学園中学の問題から（旅人算）

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ある池のまわりの道を，Ａ君は自転車で，Ｂ君は徒歩で，それぞれ一定の速さで回ります。Ａ君は，午前９時にある地点Ｐを出発し，午前10時に池のまわりをちょうど５周回って地点Ｐを通過しました。Ｂ君は，午前９時４分に地点ＰをＡ君とは反対向きに出発しました。２人が３回目に出会ったのは午前９時30分でした。２人が最初に出会ったのは午前９時何分何秒でしたか。

考え方と解法例

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複雑な立体のようですが・・・（立教池袋中学 2011年）

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下の図は、直方体から円柱の半分を１個くりぬき、くりぬいた立体と同じ大きさの立体を３個付け加えたものです。

　

（１）この立体の体積を求めなさい。

（２）この立体の表面積を求めなさい。

計算と解答例

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正三角形内の点の移動（芝中学 2012年）

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下の図のような正三角形ＡＢＣ と、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１２ｃｍとなるような点Ｏがあります。いま、３点Ｐ，Ｑ，Ｒ が点Ｏを同時に出発し、点ＰはＯＡ間を、点ＱはＯＢ間を、点ＲはＯＣ間を、それぞれ毎秒１ｃｍ、２ｃｍ、３．５ｃｍ の速さで往復し続けます。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ が点Ｏで最初に出会うのは出発してから何秒後ですか。

（２）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を結んでできる三角形が最初に正三角形になるのは出発してから何秒後ですか。

考え方と解法例

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小学生にもこんな問題が！（山手学院中学 2010年）

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１１９/７５、１１５/７３、１１１/７１、・・・のように、順番に分母からは２を引いて、分子からは４を引いて分数を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）１０番目の分数を答えなさい。

（２） １に等しくなるのは何番目ですか。

（３）次に、１１９/７５、１２３/７７、１２７/７９、・・・ のように、分母には順番に２を加え、分子には４を加えて分数を作ります。

「この分数は【　ア　】に近づいていきますが、【　ア　】より大きくなることはありません。」

【　ア　】にあてはまる整数はいくつですか。

考え方と解法例

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近年の名作問題から（豊島岡女子学園中学 2010年）

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下の図のように、正三角形ＡＢＣ のそれぞれの辺を３等分する点をＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ とします。Ａ～Ｉ のうち、３点を結んで三角形を作るとき、次の問に答えなさい。ただし、３点を結んで三角形ができないような結び方は考えないものとします。

　　　　

（１）３点Ｅ，Ｆ，Ｉ を結んでできる三角形の面積は正三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。

（２）３点を結んでできる三角形のうち、正三角形ＡＢＣ の面積の３分の１になるものは何通りありますか。

図解と解法例

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おうぎ形の面積比は？（ラ・サール中学 ２０１４年）

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対角線の長さが１０ｃｍの正方形Ａがあります。その１辺を半径とするおうぎ形Ｂと、対角線を半径とするおうぎ形Ｃを図のように作ります。

（ア）２つのおうぎ形の面積の比を求めなさい。

（イ）２つのおうぎ形の面積の差を求めなさい。

考え方と解法例

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約数と倍数 （海陽中等教育学校 ２０１４年）

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公園の周囲にたくさんの白色の「くい」が立っていて，その本数は150本以上200本以下であることか分かっています。

今，１つの「くい」を選んで赤色にぬり，時計回りに９本ごとに「くい」を赤色にぬっていったところ，１周したところで，ちょうど最初の赤色にぬった「くい」に着きました。

次に赤色でない「くい」を１つ選んで青色にぬり，時計回りに6本ごとに「くい」を青色にぬっていったところ，同じく１周したところでちょうど最初に青色にぬった「くい」に着きました。また途中では，赤色の「くい」を青色にぬることはありませんでした。

さらに，赤色でも青色でもない「くい」を１つ選んで黄色にぬり，時計回りに12本ごとに「くい」を黄色にぬっていったところ，同じく１周したところでちょうど最初に黄色にぬった「くい」に着きました。また途中では，赤色の「くい」も青色の「くい」も黄色にぬることはありませんでした。

このとき公園の周囲にある最後まで色をぬられなかった白色の「くい」の本数を求めなさい。

考え方と解法例

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公立中高一貫校適性検査より、比例問題（千葉市立稲毛高校附属中学 ２０１１年）

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ＡＢＣＤの４種類のおもりがあります｡その４種類のおもりをてんびんにのせたところ，図１のような組合せでつり合っています。図をよく見て，あとの問いに答えなさい。

（問１）図１のつり合う組合せから考えると，Ａの重さはＤの重さの何倍ですか。

（問２）図２のように，ある物体Ｘの重さを量るために，てんびんの片方にＸ，もう片方におもりＡを置いたら，Ａの方が重いことがわかりました。このあと，Ｘの重さを量るとあるおもり３個でつり合うことがわかりました。このときＸとつり合うおもり３個として考えられる組合せを例にならって，すべて書いてください。
(例)おもりB２個とおもりC１個でつり合うと考えたときは

→(C，Ｂ，Ｂ)と書きます。

ただし，(C，Ｂ，Ｂ)と(Ｂ，C，Ｂ)と(Ｂ，Ｂ，C)は同じものとします。

解答までの解説

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この立体の最小の表面積は？(渋谷教育学園渋谷中学 2013年）

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一辺の長さが１ｃｍの立方体を１９個積み重ねて、ある立体を作ったところ、

真上から見た図と正面から見た図は下のよう|こなりました。

この立体の表面積がもっとも小さくなるとき、その表面積は何ｃ㎡ですか。

ただし、この立体の底面には９個の立方体がすぺてしきつめられています。

立体の見取り図と解答例はこちらで！

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今年の問題から→どう等積移動しますか？（頌栄女子学院中学 ２０１４年）

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下の図は半径１２ｃｍの円で、点Ａ～Ｆは円周を６等分する点です。

色のついた部分の面積を求めなさい。

等積移動と答え

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作図しながら考える図形問題（高槻中学 ２０１４年）

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（１）標準レベル（２）応用レベル（３）応用レベル

下の図の四角形ＡＢＣＤ は、ＡＤとＢＣが平行な台形です。

辺ＡＢ上に点Ｅ があり、四角形ＡＢＣＤ はＣＥ によって面積が二等分されます。また、辺ＢＣ上に点Ｆ があり、四角形ＡＢＣＤ はＤＦ によって面積が二等分されます。さらに、辺ＣＤ上に点Ｇ があり、四角形ＡＢＣＤ は ＢＧによって面積が二等分されます。このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）ＡＥ の長さと ＢＦ の長さを求めなさい。

（２）ＥＧ の長さを求めなさい。

（３）三角形ＥＦＧ の面積と四角形ＡＢＣＤ の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例

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シンプルな基本図形問題（芝浦工業大学中学 ２０１０年）

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半径２ｃｍの円を図のように置いたとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡になりますか。

図解と解法例

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相似形の活用（神戸女学院中学 2012年）

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下の図のように、１辺８ｃｍの正方形の内部を線で区切ります。

次の問に答えなさい。

（１）赤い部分【ア】の面積を求めなさい。

（２）青い部分【イ】の面積を求めなさい。

（３）辺ＢＣ上に点Ｐをとり、直線ＡＰで青い部分【イ】の面積が２等分されるとき、ＰＣの長さを求めなさい。

図解と解法例

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正五角形と正六角形の角度 （女子学院中学 2014年）

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下の図Ⅱのように、正六角形の中に正五角形があります。

角ア～角エの大きさを求めなさい。

　　

図解と解法例

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プールのニュートン算（奈良学園登美ヶ丘中学 2009年）

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プールに常に一定の割合で水道管から水を入れており、満水になった水は一定の割合であふれ出ています。この状態でプールの水をすべてくみ上げるには、ポンプ３台を使うと２４時間かかり、ポンプ８台を使うと４時間かかります。このとき、次の問に答えなさい。ただし、どのポンプも一定時間に水をくみ上げる量は同じものとします。

（１）水を入れる割合はポンプ何台分ですか。

（２）この状態で、満水のプールの水をポンプ６台を使ってくみ上げると何時間かかりますか。

考え方と解法例

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立方体の中の三角形の回転（市川中学 2012年)

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下の図のように、１辺の長さが２ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。点Ｐ が立方体の辺上を点Ｆ から点Ｇ を通って点Ｈまで動きます。さらに面ＥＦＧＨ上で、２点Ｅ，Ｐ を結ぶ直線上に点Ｅ からの長さが１ｃｍ となるような点Ｑをとります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）点Ｑ が動いたあとを下の図２に描きなさい。

　　　　　　　　

（２）角ＦＥＰ が３０度となるところに点Ｐをとるとき、三角形ＡＱＨを辺ＡＥ を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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方陣算のおもしろい変形問題（カリタス女子中学 2010年）

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下の図１は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ ４つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。

　　　　　　　　

下の図２は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。

図２の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　

（１）図２のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。

（２）図２のアはいくつですか。

推理と解法例

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普連土りんご農園の収穫期→仕事算（普連土学園中学 ２０１１年）

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普連土りんご農園に収穫期がやってきました。10人ですると16日で収穫を終え，15人ですると８日で収穫を終えます。10日で収穫を終えるには，何人ですればよいですか。ただし，りんごは毎日同じ数だけ実が熟すものとします。

考え方と答え

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規則性のある植木算・・・（３）は難問ですよ！（巣鴨中学）

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図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは１本、次は２本、その次は４本、・・・というように２倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を３．２５ｍ、小さな木どうしの間は１．２５ｍとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。

（１）初めから数えて、大きな木の３本目と４本目の間の距離は、大きな木の２本目と３本目の間の距離より何ｍ長いか求めなさい。

（２）初めから数えて、大きな木の５本目と６本目の間の距離を求めなさい。

（３）初めの大きな木から測って１００ｍのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。

考え方と答え

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１～６までの数の魔方陣（桐蔭学園中学 2006年）

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上の図のＡからＦには、数字の１から６までのどれかが１つずつ入り、

Ａにはすでに「１」が入っています。

四角形Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｄ の４つの頂点に入る数の和、　

四角形Ｃ，Ｅ，Ｄ，Ａ の４つの頂点に入る数の和、

四角形Ｂ，Ｅ，Ｆ，Ａ の４つの頂点に入る数の和、

がそれぞれ等しいとき、Ｅ に入る数はいくつですか。

考え方と解法例

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時計算の応用問題→今年の問題から（神戸女学院中学部 ２014年）

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円周上に１時間で１周する点Ａ と、５時間で１周する点Ｂ があります。下の図のように、円周を５等分する点を①、②、③、④、⑤とし、円の中心を点Ｏとします。はじめ、点Ａ，Ｂは、①から同時に時計回りに出発し、再び点Ａ，Ｂが同時に①にくるまで回り続けます。このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）点Ｂは１分間に点Ｏを中心として何度回転しますか。

（２）いま、点Ｂが②と③の間にあり、点Ａが④と⑤の間にあります。２つの点がしばらく動き続けると、ＡとＢの位置が入れかわります。入れかわるまでにかかる時間を求めなさい。

（３）（２）で入れかわった位置に点Ａ，Ｂがくるのは、スタートから何時間何分後ですか。

考え方と解法例

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これも流水算→動く歩道の速さと長さ（徳島文理中学 2012年）

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は１８秒です。文理君が、この歩道を１秒間に２歩のペースで歩いたとき、歩道に乗っている時間は１２秒でした。歩道の動く速さは一定で、文理君の１歩の幅は常に５０ｃｍ とします。

（１）文理君が普通の道をこのペースで歩くと、１２秒間で何ｍ 歩きますか。

（２）この【動く歩道】は、６秒間で何ｍ 動きますか。

（３）この【動く歩道】は、何ｍ ありますか。

（４）１秒間に ３歩のペースで歩くと、【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

考え方と解法例

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