点が移動する旅人算（筑波大学附属駒場中学 2010年）

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平面上に点Ｏと点Ｐがあり、下の図１のように、Ｏを中心とする円と、Ｐを中心とする円があります。さらに、Ｐを中心とする円の周上に点Ｑがあります。

　　　　

Ｐは、Ｏを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Ｏのまわりを１周するのに９秒かかります。このとき、Ｐを中心とする円もＰと共に動きます。また、Ｑは、Ｐを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Ｐのまわりを１周するのに５秒かかります。

Ｐ，Ｑは、図１の位置から同時に動き始め、たとえば１秒後には下の図２のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）動き始めてからＰがＯのまわりを１周するまでに、３点Ｏ，Ｐ，Ｑを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

（２）点Ｒは、Ｐを中心とする円の周上を、Ｑと逆回りに一定の速さで動き続け、Ｐのまわりを１周するのに３秒かかります。Ｒは、 Ｑと同じ位置から、Ｑと同時に動き始めます。

（ア）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を結ぶと初めて一直線になるのは、動き始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

（イ）動き始めてから2010秒後までに、４点Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

図解による解法例

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