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不思議な休憩室

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根気強さが試される、面白い問題(筑波大学附属駒場中学 2002年)

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ある数に対して、次のような操作を行います。

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その数が、

ア : 1ケタのとき、その数に同じ数をかける

イ : 2ケタのとき、

(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

ウ : 3ケタのとき、

(百の位の数)×(百の位の数)

         +(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

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上の操作を1回と数え、操作の結果できた数に対して、

この操作をくり返し行います。

たとえば、最初の数が「5」のとき、

1回目の操作 : 5×5=25

2回目の操作 : 2×2+5×5=29

3回目の操作 : 2×2+9×9=85

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初の数が「4」のとき、10回目の操作の結果を答えなさい。

(2)最初の数が「3」のとき、200回目の操作の結果を答えなさい。

(3)最初の数が「2」から「9」までのいずれかの整数のとき、1回目から2002回目までの操作の結果に出てくる2002個の数の合計について考えます。この合計が最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。

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規則性と解法例

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