根気強さが試される、面白い問題（筑波大学附属駒場中学 2002年）

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ある数に対して、次のような操作を行います。

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その数が、

ア　：　１ケタのとき、その数に同じ数をかける

イ　：　２ケタのとき、

（十の位の数）×（十の位の数）

　　　　　　　　　＋（一の位の数）×（一の位の数）を計算する

ウ　：　３ケタのとき、

（百の位の数）×（百の位の数）

　　　　　　　　　＋（十の位の数）×（十の位の数）

　　　　　　　　　＋（一の位の数）×（一の位の数）を計算する

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上の操作を１回と数え、操作の結果できた数に対して、

この操作をくり返し行います。

たとえば、最初の数が「５」のとき、

１回目の操作　：　５×５＝２５

２回目の操作　：　２×２＋５×５＝２９

３回目の操作　：　２×２＋９×９＝８５

となります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）最初の数が「４」のとき、１０回目の操作の結果を答えなさい。

（２）最初の数が「３」のとき、２００回目の操作の結果を答えなさい。

（３）最初の数が「２」から「９」までのいずれかの整数のとき、１回目から２００２回目までの操作の結果に出てくる２００２個の数の合計について考えます。この合計が最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。

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規則性と解法例

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