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不思議な休憩室

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2016年5月

どんな立体でしょうか?(カリタス女子中学 2012年)

下の図は、ある立体の展開図です。

太線は、点Oを中心とした半円です。

この立体の表面積を求めなさい。

  Pic_3519q_2

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図解と解法例

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組み立てた容器の容積は?(灘中学 2010年)

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下の図は、1辺の長さが6cmの正三角形から、

1辺の長さが1cmのひし形3つを切り取って作られたものです。

この図形を、AB、BC、CAを折り目として折り曲げ、

UAとPA、QBとRB、SCとTCをそれぞれはりあわせて、

ふたのない容器を作ります。この容器の容積は、

どの面も長さが1cmの正三角形でできた三角すいの体積の何倍ですか?

1

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組み立てた容器と解法例

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折り紙の切り取り(鎌倉女学院中学 2010年)

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1辺の長さが20cmの正方形の紙を下の図1のように折り、

AC を1:4 に分ける点とBCのまん中の点を結んだ線で切り、

色の付いた部分を取り除きます。

このとき、残った紙を広げたときの図形を図2から選んでください。

また、その面積は何c㎡ですか?

Pic_3029q

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図解と解法例

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折った部分の面積は?(青山学院中等部 2007年)

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直角三角形ABCを図のように2回折りました。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

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図解による解法例

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考え方に一工夫(青山学院中等部 2012年)

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5236

上の図形の面積を求めるのに、

よしお君はDCの長さをまちがえて2cm短くしたため、

面積が正しい面積より22㎡少なくなりました。

さち子さんはEDの長さをまちがえて3cm長くしたため

面積が正しい面積より15c㎡少なくなりました。

正しい面積は何c㎡でしたか。

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考え方と解法例

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速さの比と距離の比の関係は?(雙葉中学 2013年)

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太郎と花子がA地点とB地点の間を往復します。

太郎と花子の速さの比は5:4で、それぞれの速さはいつも変わりません。

2人は同時にAを出発し、C地点で初めて出会いました。

AからCまでと、CからBまでの距離の比は何対何ですか?

Ilm19_aa01016s  Ilm19_aa01022s

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考え方と解法例

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根気強さが試される、面白い問題(筑波大学附属駒場中学 2002年)

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ある数に対して、次のような操作を行います。

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その数が、

ア : 1ケタのとき、その数に同じ数をかける

イ : 2ケタのとき、

(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

ウ : 3ケタのとき、

(百の位の数)×(百の位の数)

         +(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

---------------------------------------------

上の操作を1回と数え、操作の結果できた数に対して、

この操作をくり返し行います。

たとえば、最初の数が「5」のとき、

1回目の操作 : 5×5=25

2回目の操作 : 2×2+5×5=29

3回目の操作 : 2×2+9×9=85

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初の数が「4」のとき、10回目の操作の結果を答えなさい。

(2)最初の数が「3」のとき、200回目の操作の結果を答えなさい。

(3)最初の数が「2」から「9」までのいずれかの整数のとき、1回目から2002回目までの操作の結果に出てくる2002個の数の合計について考えます。この合計が最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。

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規則性と解法例

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おうぎ形がころがる軌跡は?(淑徳与野中学 2009年)

下の図のように、1辺が18.28cmの正三角形アの外側の線に沿って、半径が6cm、中心角が60°の扇形イをすべらないように時計回りに元の位置まで転がします。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3413q

(1)扇形が通る部分を正しく図示したものを、下の図A~D から1つ選び、その図の扇形が通る部分に、長方形、正三角形、扇形に分割する線を引きなさい。

Pic_3414q

(2)扇形が通る部分の面積を求めなさい。ただし、1辺の長さが6cmの正三角形の面積は、15.59c㎡ とします。

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おうぎ形の軌跡と解法例

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美しい角度問題です!(奈良学園中学 2011年)

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この図は、辺の長さが同じ正五角形、正方形、正三角形からできています。
赤線は、正三角形の頂点と正方形の頂点を結んでいます。
図の中の角ア、イの大きさをそれぞれ求めなさい。 517-6

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足し算をしないで計算しましょう!(海城中学 2012年)

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5153

どう工夫して計算しますか?

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図解と解法例はこちらに!

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基本的な良問です(慶應義塾中等部 2012年)

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5133

図のように、平行四辺形ABCDの辺BC上にBE:EC=2:1となる点Eをとり、

AEとBDの交点をFとします。

四角形FECDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を、

最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

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図解と解法例はこちらに!

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立方体の回転(開智中学 2010年)

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1辺の長さが6cmの立方体ABCDーEFGHがあります。

この立方体を、2点A、Hを結んでできる直線の周りに

60゜回転してできる立方体をA B’C’D’-E’F’G’Hとします。

2つの立方体の重なった部分の体積は何立方cmですか。

Bandicam_20160512_085924459Ilm18_ab05016s


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図解と解法例はこちらで!

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クイズの正解者は何人?(フェリス女学院中学 2006年)

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10人がクイズに答えました。このクイズには4つの問題 A,B,C,D があり、

正解するとそれぞれ 1点、1点、3点、5点 がもらえます。

10人の得点の平均は8.3点でした。

全員が正解した問題はなく、正解した人が最も少なかったのは、問題 C でした。

このとき、問題C,D を正解した人はそれぞれ何人でしたか?

Hiva0117cs

解法例はこのページの下の方にあります!

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1212_2

解法例

逆転の発想が必要な問題です。

10人の得点の平均が8.3点なので、全員の得点の合計は、

      10×8.3=83点 です。

10人が全員全問正解すると、

      10×(1+1+3+5)=100点 です。

10人が間違えた点数は、100-83=17点 になります。

全員が正解した問題がないので、問題A,B,C,D はそれぞれ

1人は間違えており、17点のうち、1+1+3+5=10点 が、

決まります。

残り、17-10=7点 分間違えた問題は、正解した人が

最も少なかったのが、問題 C なので、最も間違えた問題はC です。

他より1問多く C を間違えると、3点なので、残りは7-3=4点。

4点になるには、3点(C)+1点(AまたはB)を間違えたことになり、

    問題C を間違えた人は、3人 → 正解は 7人

    問題D を間違えた人は、1人 → 正解は 9人

とわかります。

三角すいと四角すいの展開図(栄光学園中学 2012年)

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(1)4つの面が正三角形である三角すいの展開図として考えられるものをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

(2)下の図のように、底面が正方形で4つの側面がすべて正三角形である四角すいと、その展開図を考えます。

 Pic_3044q

考えられる展開図は、上の図の例のほかに7つあります。それをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

解答の展開図はコチラ

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三角すいの道順の数(市川中学 2012年)

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下の図のように、すべての面が正三角形でできた三角すいABCD があり、各辺のちょうどまん中の点を、それぞれE,F,G,H,I ,J とします。

Pic_3048q

点P は点A を出発し、三角すいABCD と正三角形EFG の辺上を動き、1回の移動で必ずとなりの点に動きます。たとえば、点B のとなりの点は、E,H,J です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)点P は、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど7回の移動で初めて点A にもどる動き方は何通りありますか。

(2)点P は、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど4回の移動で点A にいる動き方は何通りありますか。

道順の解法例

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ややこしい問題ですが、難しくはない!(大阪星光学院中学 2013年)

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5046

計算と解答例

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色が塗られた部分の面積は?(浦和明の星女子中学 2013年)

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図1は底面が半径3cmの円で,高さが12cmの円柱であり,(ア)と(イ)を結んでできる直線は底面に垂直です。また,図2はABの長さが12cm,角Bが直角である三角形の形をした紙です。いま,この紙をA,Bがそれぞれ円柱の(ア),(イ)の部分に重なるようにして巻きつけたところ,3周して,Cがちょうど(イ)のところにきました。紙を巻きつけた状態で円柱全体に色をぬり,その後,この紙を円柱からはずしました。このとき,三角形の形をした紙の,色がついた部分の面積を求めなさい。ただし円周率は3,14とします。

1

イメージ図と解法例

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3目並べ、必ず勝つには?(海陽中等教育学校(特別給費) 2013年)

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あなたと海陽君が「3目並べ」をします。「3目並べ」とは,図1の表の①~⑨の9か所に先攻が○,後攻が×を交互に入れていき,縦,横,斜めのいずれかに○が3つ連続して並べば先攻の勝ち,×が3つ連続して並べば後攻の勝ちとなるゲームのことです。

1_2

あなたが先攻で⑦をとり,海陽君が後攻で⑨をとりました(図2)
次にあなたは残りの7か所①~⑥,⑧のどこをとれば,その後に相手がどのようにとっても,あなたがうまくとれば必ず勝つことができますか。すべて選んで,①~⑥,⑧の記号で答えなさい。

必勝法と解答例

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