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2017年11月

トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、

半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第1コースが1周200mで、

第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、

B君がアより前方の位置から第2コースを、

同時に走り始めたとき、

B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。

B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。

2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。

C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、

メートルの単位で考えて、最も小さい整数を答えなさい。

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考え方と解法例

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輪が通過した部分の面積は?(2017年 灘中学 1日目)

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平面上に辺ABの長さが6cmの直角二等辺三角形ABCの板があり、

半径が6cmの円の形をした輪をはじめ下の図1の位置に置きます。

図1
21211

この輪が、下の①、②、③の順に動き、

図1の位置にもどるまでの間に通過する部分の面積は何c㎡ですか?

ただし、板は動かず、輪の太さは考えないものとします。

また、回転の向きは時計まわりです。

①点Cの周りに60°回る。

②点Bの周りに30°回る。

③点Aの周りに60°回る。
Bandicam_20170212_150824427

なお、下図4は、図1、図2、図3の位置にある輪を

重ね合わせてかいたものです。


図4

21212

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Gifyajirusi

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空いている面に入る数字は?(栄光学園中学 2017年)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032

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11gif

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進み方は何通り?(海陽中等教育学校 2014年)

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Pic_4069q

上の図1のように正方形のマス目がたくさん並んでいます。 

左下のマス目から出発して、上下左右のマス目に1マスずつ移動していきます。

移動したマス目はぬりつぶし、一度通ったマス目は通らないことにします。 

たとえば、右→上と進むと、下の図2のようにぬりつぶされ、

また、下の図3のようにぬりつぶされる進み方は、

 右→上→左 、 上→右→下

の2通りがあります。

     Pic_4070q

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4071q

(1)上の図4のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。 

(2)上の図5のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。

(3)左下も含めて 6マスぬしつぶすと、

  それがちょうど立方体の展開図になるような進み方があります。

  このうち、はじめに右に進む進み方は 4通りあります。

  進み方をすべて描きなさい。

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点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)

P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか? 

(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。 

(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。

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立方体を何個使っていますか?(鎌倉学園中学 2017年)

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同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作りました。

その立体の

(A) 真正面から見た図

(B) 真上から見た図

(C)真横から見た図 を見て、

何個の立方体からできているか答えなさい。

ただし、使う立方体の個数は最も少ない個数を考えます。

例→  5個

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Xの長さは何cm?(筑波大学附属中学 2012年)

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下の図のように半径2cmのおうぎ形と,

高さが2cmの台形が重なっています。

アの面積とイの面積か等しいとき,

Xの長さは何cmになりますか。

ただし,円周率は3.14とします。

1_2

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魔方陣 (麻布中学 2006年) 

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下の図のAからGに、

1から9までの整数のうち異なる7つの
数を入れます。

このとき、たて、横、ななめにならぶ3つずつの
数の組が5組できます。

この5組の3つの数の和がすべて
等しくなるようにします。

このようにするとき、中央の「D」に
入る数が異なる場合を2通り書きなさい。

      Pic_1707q

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