重なった立方体の切り口は？（久留米大学附設中学 2012年）

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下の図のように、１辺の長さが ６ｃｍの立方体の上に、

１辺の長さが ３ｃｍの立方体を置きます。

３点Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面でこの立体を切ったとき、

次のような立体の体積を求めなさい。

ただし、点Ａ，Ｂ，Ｄ は頂点、点Ｃ は辺の中点で、

点Ａ から点Ｄまで結ぶ辺は一直線になっています。

　　　　　

（１）小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

（２）大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

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解法のヒント！

（１）まず、同一平面上にある点Ａ と点Ｂ， 点Ａ と点Ｃ を

下の図１のように直線で結ぶと、３点Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面は

図１の点Ｅ，Ｆ を通ることがわかります。

　　　　　

ここで、点Ｂ と点Ｆ を結ぶと、

下の図２のように点Ｇ を通ることがわかります。

　　　　　

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解法例

 

すると、求める体積は、図２の三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱ となります。 

三角すいＢ－ＥＧＰ と 三角すいＢ－ＡＦＱ の相似比が １：２ なので

２つの三角すいの体積比は、１×１×１　：　２×２×２ ＝ １ ： ８ で、

三角すい台 ＥＧＰ－ＡＦＱ の体積は、三角すいＢ－ＥＧＰ の７倍で、

１．５×１．５÷２×３÷３×７＝６３/８（立法ｃｍ）

と求められます。

（２）頂点Ｂ から、ＦＣ と平行に線を引くと、下の図３のように頂点Ｈ で交わります。

　　　　　

求める体積は、

大きい立方体から三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳ を除いたものになります。

求め方は（１）と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳ が

（１）の三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱ と相似であることに注目して、

相似比が １：２ より、体積比は、１：８ なので、

三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳ の体積は、

６３/８ × ８ ＝６３立法ｃｍとなります。

よって、求める体積は、６×６×６ － ６３ ＝ １５３立法ｃｍ です。

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